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第27章 数学符号的产生(1)

数学家克莱因

英国数学家克莱因指出:代数上的进步是由于引进了较好的符号体系,这对它本身的发展和分析的发展比16世纪技术上的进步更为重要。事实上,采取了这一步,才能使代数成为一门科学。

数学大量的运算和推理都是通过数学符号进行的。数学符号是一种特殊的数学语言,它能清楚地表达数学概念、运算过程和人的思维过程。在叙述上起着节约时间的作用,而且还能精确而深刻地表述着某种概念、方法与逻辑的关系。伟大的德国数学家莱布尼兹说过:“符号(指数学符号)的巧妙和符号的艺术,是人们绝妙的助手,因为它们使思考工作得到节约……在解释说明上有所方便,并且以惊人的形式节省了思维。”俄国数学家罗巴切夫斯基也说过,数学符号的语言更加完善、准确、明晰地提供了把一些概念传达给别人的方法。

数学中使用的符号

学习数学,是从学习数学符号开始的。在历史上,从0到9这十个阿拉伯数字符号被引入数学以后,曾引起了数学的一场革命。

法国数学家韦达是第一个将符号引入数学的人。他的代数著作《分析术新论》是一部最早的符号代数著作。不过,现在的数学符号体系主要采取的是笛卡尔使用的符号。他提出用26个英文字母中的最后字母X、Y、Z表示已知数等等。借助于符号,数学就变得简洁明了,使用方便,而数学本身的发展也加快了。

数学符号一般有以下几种:

(1)数量符号:2/5,3,1.424242…,3+2i,e,x,∞等等。

(2)运算符号:加减乘除(+,-),根号(),比号(∶)等。

(3)关系符号:“=”是相等符号,“≈”是近似符号,“≠”是不等号。

(4)结合符号:圆括号(),方括号〔〕等。

(5)性质符号:正负号(+-),绝对值符号(||)等。

(6)省略符号:三角形(△),因为(∵),所以(∴),总和(∑)等。

加法符号“+”

加号是1489年德国数学家魏德迈首先在其所写的一本算术书中使用的。

加号的来历经过一段曲折的发展道路。古代许多国家除了用文章式的书写加法外,还有的将数学衔接在一起书写来表示加法。例如,古希腊和印度人就不约而同地把两个数字写在一起表示加法,这种记法的痕迹直到今天还可以看到。15世纪,在欧洲已采用了拉丁字母的“p”(Plus的第一个字母,意思是相加)或“”。例如,4P3表示4+3,3P5就表示3+5。中世纪后期,欧洲的商业逐渐发达起来。一些商人常在装货的箱子上画一个“+”号,表示质量超过了。在1489年之后,经过法国数学家韦达的提倡和宣传,加号开始普及。

关于加号的由来,还有下述说法:

符号“+”是由拉丁文“et”演变而来的,原字就是“and”,是“增加”的意思。14世纪至16世纪欧洲文艺复兴时期,意大利数学家塔塔里亚用意大利文“Piu”(就是“Plus”,“相加”的意思)的第一个字母表示加,并写成“φ”。

加号正式得到大家的公认,还是1630年。

在中国,以“李善兰恒等式”闻名于世的数学家李善兰曾经用“上”表示加号(用“下”表示减号),由于我国当时社会上普遍使用算筹和珠算进行加、减、乘、除四则运算,因而没有提出和准行专门使用的数学运算符号,李善兰提出的加(减)号没有得到推广使用。

减法符号“-”

在古代,许多国家如古希腊和印度人表示两数相减,就把这两个数写得离开一些距离,这样表示相减当然是不明确的。另外,古希腊数学家基奥芬特曾使用符号“ψ”表示减号,符号“-”先由拉丁文“minus”缩写成m,后又略去字母m演变而来,原意是“减去”的意思。加号与减号开始用于商业,分别表示“盈余”和“不足”的意思。传说,卖酒人用线条“-”记酒桶里的酒卖了多少,在把新酒灌入大桶时,就将线条勾销,成为“+”,灌回多少酒,就勾销多少条,久而久之,符号“+”就被用来表示加号,符号“-”表示减号。

中世纪后期,欧洲商业逐渐发达,一些商人常在装货箱子上画一个“-”号,表示质量略有不足。虽然如此,“-”号仍是德国数学家魏德曼1489年在他的著作中首先使用的,后来经过法国数学家们的大力提倡和宣传,“-”号开始普及,直到1630年“-”号才获得大家的公认。

乘法符号“×”

“×”号是英国数学家威廉·奥特雷德在1631年提出的,在他的著作中用“×”表示乘法。如果说“+”号是表示量增加的一种方法的话,那么“×”号则是表示量增加得更快的一种方法,因而把“+”号斜过来写。“×”号出现以后,曾遭到德国数学家莱布尼兹的坚决反对,理由是:“×”号与拉丁字母“X”相似,很容易混淆。莱布尼兹赞成用“·”表示相乘。1637年,法国数学家笛卡尔也采用“·”号表示相乘,“×”号与“·”号相持不下,一直到今天这两种运算符号都在继续使用着。莱布尼兹曾提出用“∩”表示相乘,这个符号现在主要运用在集合论中,表示集合的交集。如果A表示所有等腰三角形组成的集合,B表示所有直角三角形组成的集合,那么,它们的交集A∩B就是所有等腰直角三角形组成的集合。

另外,“·”与“×”还可以描述两个矢量a,b的点积与叉积。若|a|=a,|b|=b,夹角(a,b)=θ,则a·b=abcosθ,a×b=(absinθ)c0,其中c0表示垂直于a,b两矢量的单位矢量,方向服从右手系。

除法符号“÷”

“÷”号也是奥特雷德在1631年提出的,他还曾经用“∶”表示“除”或者“比”。在他之后,莱布尼兹也提出用“/”表示除。

中世纪时,阿拉伯数学很发达,出现了一位大数学家阿尔·花拉子模。他曾用除线“-”或“/”表示除,例如623,819,2/27,…人们认为,现在通用的分数记号即来源于此,至于“÷”号的由来,基于较长一段时间的“÷”号与“∶”号的混用,都认为各自的符号优越。后来出现了第三种意见,这就是1630年在英国人约翰·比尔的著作里,他把阿拉伯人的除号“-”与比的记号“∶”结合起来构成了“÷”号。

在一些外国的出版物中,很少看到“÷”,一般都是用“∶”来代替,因为比的记号的用法与“÷”号基本上一样,大可不必再画出中间的一条线,所以除号“÷”现在用得越来越少了。

等号“=”、大于号“>”、小于号“<”

现在通用的符号“=”是1540年英国牛津大学数学教授锐考尔德开始使用的,锐考尔德在《智慧的磨刀石》中说:“两条等长的平行线作为等号,再相等不过了。”就是说,他认为最能表示相等的是平行且相等的两条线段。16世纪法国数学家维叶特也曾使用过“=”,但在他写的著作中,这个符号并不表示相等,而是表示两个量的差别。到了1591年,经法国数学家韦达在他的著作中大量地使用等号“=”以后,等号才逐渐为人们所接受和公认。但是等号“=”真正被大家普遍使用,却是17世纪以后的事情了,这是因为德国数学家莱布尼兹广泛地使用这个符号,而且他的影响又很大。在等号“=”通用之前,与等号含意相同的缩写符号“est”也流行过一段时间。

大于号“>”及小于号“<”,是1631年英国著名的代数学家赫锐奥特(1560~1621)创用的。至于“≮”、“≯”、“≠”这三个符号的出现,那是近代的事了。

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