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第28章 数学符号的产生(2)

小括号“()”或称圆括号是1544年出现的,中括号“[]”或称方括号、大括号“{}”或称花括号都是1593年由数学家韦达引入的,它们是为了适应多个量的运算而且有先后顺序的需要而产生的。在小括号产生以前人们曾用过括线“”,例如,10+8+19=10+27=37,而且在小括号产生以后,括线仍在应用着,它的痕迹到现在还遗留在根号的记法上。

近年来,在记数法中,也应用了小括号,例如,为了把八进制与通常的十进制在写法上区别开来,通常把八进制数的外面加一个小括号,并在右下方写一个“8”字,如(1023)8,就表示八进制中的1023,如要用十进制数写出来,就是(1023)8=1×83+0×82+2×8+3×80=531。

根号“”

平方根号是法国数学家笛卡尔首先在他的著作中使用的,他把立方根号写成C,例如,8的立方根写成为C.8。在笛卡尔之前数学家卡当曾用及表示平方根,R是Radix(拉丁文“根”)的缩写变形。

德国学者在1480年前后,曾用“·”表示平方根,如·3就是3的平方根,用“··”表示4次方根,用“···”表示立方根。16世纪初,小点带上了一条尾巴,这可能是写快时带上的。到了1525年,在路多尔夫的代数里8,v8表示8,48,笛卡尔的根号比路多尔夫的根号多了一个小钩并加上了括线,这对于被开方数是多项式时就方便得多,而且不至于发生混淆了。

指数符号“an”

用指数来表示数或式的乘幂,经过了复杂的演变过程。远在14世纪时,法国数学家奥利森开始采用了指数附在数字上的记法,1484年,法国数学家舒开在他的著作《三部曲》里用123,105和1208表示12x3,10x5和120x8。他又用120表示12x0,用7-1表示7x-1。

意大利数学家邦别利在他的《代数》一书中把x、x2和x3写成①、②和③。例如,1+3x+6x2+x3就写成为:1P3①P6②P1③。1585年,荷兰数学家斯提文把这个式子写成10+31+62+13。斯提文还采用了分数指数12表示平方根,13表示立方根等等。

笛卡尔在1637年系统地采用了正整数指数。他把1+3x+6x2+x3写成1+3x+6xx+xxx,他和别人有时也采用x2这种记法,但不固定。一直到了1801年由高斯采用x2代替xx后,x2成了标准的写法。面对于较高的幂指数,笛卡尔用x4,x5,…来表示,但没有用xn。牛顿最早使用了正指数、负指数、整数指数和分数指数,而且指出了不论什么指数,都可以用an来表示,并给出了an的定义。

对数符号“log”、“ln”

对数符号“log”最早是由莱布尼兹在数学书中引进的。它的正源来自于拉丁文logaritus(对数)的前三个字母,进一步的缩写lg则表示以10为底的对数即常用对数。常用对数也叫布里格斯对数。如果以无理数e为底,c=2.718281828459045…=limn→∞(1+1n)/+n,则称为自然对数,自然对数用符号“ln”来表示,记号“ln”是由欧拉引进的,是拉丁文anturalis和拉丁文logitumus合成的。

虚数单位i、π、e以及a+bi

虚数单位“i”首先为瑞士数学家欧拉所创用,到德国数学家高斯提倡才普遍使用。高斯第一个引进术语“复数”并记作a+bi。“虚数”一词首先由笛卡尔提出。早在1800年就有人用(a,b)点来表示a+bi,他们可能是柯蒂斯、棣莫佛、欧拉以及范德蒙。把a+bi用向量表示的最早的是挪威人卡斯巴·魏塞尔,并且由他第一个给出复数的向量运算法则。“i”这个符号来源于法文imkginaire——“虚”的第一个字母,不是来源于英文imaginarynumber(或imaginaryquautity)。复数集C来源于英文complexnumber(复数)一词的第一个字母。

圆周率“π”来源于希腊文πelφela——“圆周”的第一个字母。“π”这个记号是威廉·琼斯在1706年第一个采用的,后经欧拉提倡而通用。

用“e”来表自然对数的底应归功于欧拉。他也是第一个证明了e是无理数的人。公式eiθ=cosθ+sinθ为欧拉首创,被称为“欧拉公式”。式子eiπ+1=0将i、π、e、1这四个最重要的常数连在一起,被认为是一个奇迹。

函数符号

“数学从运动的研究中引起出了一个基本概念,在那以后的两百年里,这个概念几乎在所有的工作中占中心位置,这就是函数——或变量间的关系——的概念。”

伽利略用文字和比例的语言表达函数关系。17世纪中叶,詹姆斯·格列格利在《论圆和双曲线的求积》中,定义函数是这样一个量:它是从一些其他量经过一系列代数运算而得到,或者经过任何其他可以想象的运算得到的。

约翰·伯努利、欧拉都认为函数是一个变量和一些常量经任何运算得到的解析式。整个18世纪占统治地位的函数是一个解析表达式。持这种观点的还有拉格朗日、达朗贝尔、高斯、傅里叶等。

柯西在他1821年的书中首先给出变量的概念,又给出了一个量是另一个量(自变量)的函数的概念,这个概念近似于现在的函数概念。狄利克雷给出了(单值)的函数的定义,即如果对于给定区间上的每一个x的值有唯一的一个y值同它对应,那么y就是x的函数。这个定义实际上与现在中学教科书上的定义一样。

在函数符号的引入上,1665年,牛顿用“流量”(fluent)一词表示变量间的关系。莱布尼兹用“函数”(function)一词表示随着曲线上点的变动而变动的量——这个量可以是切线、法线等。约翰·伯努利还用“X”或“ξ”表示一般的x的函数;1718年,他又改写为“φx”。现在的记号,f(x)是欧拉于1734年引进的。“f”来源于拉丁文functio,而不是英文function。

求和符号“∑”、和号“S”、极限符号及微积分符号

求和符号“∑”,正源来自于希腊文“σovaρω”(增加),用它的第一个字母的大写。数列中的和号,正源也是拉丁文samma——“和”的第一个字母。很多人认为它来源于英文Sum(和)似有误。现在的积分号“∫”是莱布尼兹创用的,记号“∫”是英文sum——“和”的第一个字母的拉长,微分号也是由他首创的。极限符号的正源,是拉丁文“limes”(极限),而法文limeite和英文limit均有“极限”的意思,但不是正源。极限符号的读法一般按英文limit的读法。

其他符号

由于英文的通用,数学中的许多代号和符号大都为英文的简写。如Max、Min(最大、最小)来源于英文MaximusValue(最大值),MinimusValue(最小值);A·P和G·P分别表示等差数列和等比数列,它们来源于Arithmeticalprogression(算术数列、算术级数)Ceometriealprogression(几何级数、等比数列);质数通常用P表示,来源于primenumber(质数、素数);Im(z)和Re(z)表示z的虚部和实部,分别来源于Imaginarypart(角)、side(边),用于平面几何中(a,s,a)、(s,s,s)等;直线常用l表示,源于line;点用户表示源于point;RtΔ源于Right(angle)triangle等。

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