最原始的计算工具
计算是人类的思维活动。人类初期的计算主要是计数。最早用来帮助计数的工具是人类的四肢或身边的石头、绳子等。中国古语“屈指可数”，这说明了人们常用手指来计算简单的数。
在美国纽约的博物馆里，珍藏着一件从秘鲁出土的古代文物，名叫“基普”，意即打了绳结的绳子。基普是古人用来计算和记事的。传说公元前6世纪，波斯国王在一次战争中曾命令一支部队守桥，他把一条打了结的皮带交给留守将士，要他们每守一天，解开一个结，一直守到皮带上的结全部解完才能撤退。
没有文字时，我国古代的人们就用绳子打结的方法来计数。他们还使用小石子等其他工具来计数。例如，他们饲养的羊，早晨放牧到草地里，晚上必须圈到栅栏里。这样，早晨从栅栏里放出来的时候，出来一头就往罐子里扔一块石子；傍晚羊进栅栏时，过去一头就从罐子里拿出一块石子。如果石子全部拿光了就说明羊全部进圈了；如果罐里还剩下石子，说明有羊丢失，必须立刻去寻找。
最早的数学表
上中学数学课，计算时常常要用一些数学表：平方表、立方表、三角函数表……有了数学表，可以直接查表得到结果，大大方便了计算。这些数学表是在长期的逐步积累中发展、完善的。
在靠近幼发拉底河的古代巴比伦的庙宇图书馆遗址中曾挖掘出大量的泥土板，上面用楔形文字刻着乘法表、加法表、平方表、倒数表和平方根表等。这些都是人类最古老的数字表。中国历史上最早的数学表是“乘法九九表”。九九表在我国很早就已经普遍被人掌握了。在我国敦煌等出土的西汉竹简上，都记载着不完整的九九表。例如，敦煌的汉简中的九九表共十六句，即九九八十一；八八六十四；五七三十五；八九七十二；七八五十六；四七二十八；五五二十五；七九六十三；六八四十八；三七二十一；四五二十；五八四十；三五一十五。
今天，人们可以用电子计算器来代替许多数学表，但在很多情况下，人们还在使用九九表，因为它很方便易学，也很实用。
规矩的使用
规和矩发明于中国，是古人用来测量、画圆形和方形的两种工具。“规”就是画圆的圆规，“矩”就是折成直的曲尺，尺上有刻度。古人说“不以规矩，不能成方圆”，就是这个意思。规矩发明确切年代已无法查清，但在公元前15世纪的甲骨文中，已有规、矩二字了。汉朝著名的史学家司马迁著的《史记》中有这样的记载：夏禹治水的时候，是“左准绳，右规矩”。这说明在夏禹治水的年代（约公元前2000年）就有了规和矩这两种工具了。
规矩的作用，对于我国古代几何学的发展有着重要的意义。周代数学家商高曾对“用矩之道”作过理论总结：“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测探，卧矩以知远。”这一句话，精炼地概括了矩的广泛而灵活的用途。
古希腊人研究几何问题时，一般用直尺和圆规这两种工具。这种直尺没有刻度，只能画直线。希腊人作图只能从最基本的工具——直尺和圆规开始，完成尽可能多的几何图形。对用直尺圆规作图的研究，导致了许多数学定理的发现。
算盘与珠算
算盘是由我国大约在14世纪左右发明的，一直以来它都是我国最普遍的计算工具之一。用算盘来计算的方法叫珠算。
中国算盘以其制作简单、价格低廉、运算方便、易学易记的珠算口诀等优点，长盛不衰。除了中国，还有些地区也出现过算盘，但都没有流传下来。15世纪中期在《鲁班木经中》已有制造算盘的详细介绍。关于珠算术，明代吴敬《九章算法比类大全》记载最早。1537年我国徐心鲁写了一本系统介绍珠算算法的书，1592的程大位又写了《直指算法统宗》等，这都加快了算盘的推广，使珠算流传到许多国家。国际上曾多次进行计算速度的比赛，在和手摇计算机及电子计算机的对抗赛中，每次加、减法的冠军都是算盘，因此有了电子计算机的今天，人们仍广泛使用算盘。
最早的三角函数表
最早的三角函数表是公元2世纪的天文学家托勒密编制的。古希腊人在天文观测过程中，已经认识到三角形的边之间具有某种关系。到了托勒密的时代，人们在天文学的研究中发现有必要建立某些精确确定这些关系的规则。托勒密继承了前人的工作成果，并加以整理和发展，汇编了《天文集》一书。书中就包括了我们目前发现的最早的三角函数表。不过这张表和我们现在使用的三角函数表大不相同。
托勒密只研究了“角和弦”。他所谓的弦就是在固定的圆内，圆心角所对弦的长度。2X的弦（即角2X所对弦的长度）是AB，它于我们现在所说的sin（即AC/OA，我们把圆的半径定为单位长，所以OA＝1）的2倍：1/2角的弦2α＝sinα。托勒密在《天文集》中，编制了以（1/2）°范围间隔的从0°到180°之间所有角度的弦表，因此，它其实是现实意义下的以（1/4）°为间隔的0°到90°的正弦函数表。
今天我们研究的三角函数表里包括四种基本的三角函数：正弦、余弦、正切、余切。
三角函数及其应用的研究，现在已成为一个重要的数学分支——三角函数，它是现代数学的基础知识之一。
天文学家与对数
通常，人们公认苏格兰的纳皮尔公爵是对数的发明人。恩格斯曾把笛卡尔的坐标、纳皮尔的对数、莱布尼兹与牛顿的微积分共同称为17世纪数学的三大发明。著名的数学和天文学家拉普拉斯曾说：“对数，可以缩短计算时间，在实效上等于天文学家的寿命延长了许多倍。”
先看两个数列：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、…；1、2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024、2048、…。如果计算第二行中两个数的积，只要在第一行中找到相应的两个数，这两个数的和所对应的第二行中的数主要是所求的积。如果求16×28，可以通过这张表直接得出16对应4，128对应7，4＋7＝11，11对应的是2048，这就是16×28的积。纳皮尔发明的对数理论结构也与此相同，不过，当初他建立对数的思路与现在的对数概念还不完全一样。
有了对数，乘方、开方运算可以转化为乘法、除法运算；而乘、除法运算又可以转化为加、减法运算。高一级的数学运算转化为低一级的数学运算，这正是对数方法能够化繁为简的奥妙，也是对数方法的力量所在。
纳皮尔计算尺
纳皮尔尺是一种能简化计算的工具，又叫“纳皮尔计算尺”，是由对数的发明人纳皮尔发明的。它由10根木条组成，左边第一根木条上都刻有数码，右边第一根木条是固定的，其余的都可根据计算的需要进行拼合或调换位置。
纳皮尔尺可以用加法和乘法代替多位数的乘法，也可以用除数为一位数的除法和减法代替多位数除法，从而简化了计算。
纳皮尔尺的计算原理是“格子乘法”。例如，要计算934×14，先画出长宽各3格的方格，并画上斜线；在方格上方标上9、3、4，右方标上3、1、4；把上方的各个数字与右边各个数字分别相乘，乘得的结果填入格子里；最后，从右下角开始依次把三角形格中的各数字按斜线相加，必要时进位，便得到积293276。
纳皮尔计算尺只不过是把格子乘法里填格子的任务事先做好而已。需要哪几个数字时，就将刻有这些数位的木条按格子乘法的形式拼合在一起。
纳皮尔计算尺也传到过中国，北京故宫博物院里至今还有珍藏品。
机械计算机和分析机
算盘、对数计算尺等等都不能自动连续地进行运算，也不能储存运算结果，运算速度也不够快，因而人们就想制造一种能代替人工并进行快速计算的机器。
1642年，法国数学家帕斯卡发明了世界上第一台机械计算机。这台计算机是像钟表那样利用齿轮传动来实现进位，计算时要用小钥匙逐个拨动各个数字上的齿轮，计算结果则在带数字小轮的另一个读数孔中显示出来，计算结束后还要逐个恢复0位。这台计算机尺能做加减法，操作也非常复杂，但在当时是一个了不起的发明，成了计算工具变革的起点。以它为基础，此后人们发明了手摇计算机。
手摇机械计算机及后来的电动计算机，由于四项运算都需要计算人员的亲自操作，使得计算速度受到限制。为了克服这一点，英国的数学家查尔斯·巴贝奇，花费了几十年的时间，于1833年构思了一种分析机。这种分析机用刻有数字的轮子来存储数据，通过齿轮的旋转进行计算，用一级齿轮和械杆构成的装置传送数据，用穿空卡片输入程序和数据，用穿孔卡片和打印机输出计算结果。由于受当时技术条件的局限，巴贝奇耗费了大量资金也没有获得成功，只是搞了一个机器模型。但是，他的设想为现代电子计算机的诞生奠定了基础。
电子计算机
第一台电子计算机——埃尼阿克1946年在美国的宾夕法尼亚大学，诞生了世界上第一台电子计算机ENIAC。它是一个占地170平方米，重30吨的庞然大物，由18000个电子管组成，每小时耗电量为140千瓦，每秒钟可以进行5000次加法运算，它的最重要的特点是能按照人编写的程序自动地进行计算。
从1946年至今，经过60多年的发展，电子计算机的运算速度越来越快，复杂程度越来越高，体积越来越小，更新周期越来越短。就机器本身来说，电子计算机已“进化”到第六代了。
作为一种计算工具，电子计算机和一般计算工具相比，有以下几个特点：
（1）运算速度快。有的能够达到每秒进行十几亿次运算。速度较慢的也能每秒钟进行10万次运算。
（2）计算精度高。现代计算机的计算值可达64位数。
（3）具有“记忆”和逻辑判断能力。可以记录程序、原始数据和中间结果，还能进行逻辑推理和定理证明。
（4）能自动地进行控制，不必人工干预。电子计算机的应用已迅速渗透到人类社会的各个方面。从宇宙飞船、导弹的控制、原子能的研究及人造卫星到工业生产、企业管理等都不同程度地应用了计算机。
数学的“软工具”——逻辑方法
有这样一个二人游戏：桌面上放着一堆火柴，由两人轮流从这堆火柴里每次取走1~3根，谁取这堆火柴的最后一根，谁就是获胜者。要想取胜，就必须找出获胜的规律。
依次对5、6、…根火柴实验，可以发现，只要在某次取后分别留下8、12、20、…根火柴，就一定能获胜。也即获胜的规律是，必须每次取火柴后留下4n（n=0，1，2，…）根火柴，定会获胜。
拿火柴的一般获胜方法是个别的，以简单的情况出发，通过实验得出结论，然后再总结出一个一般性结论，这种方法就叫归纳法，它是人类认识客观法则的重要方法。
归纳法也是数学中的一个重要方法，除它之外，还有演绎法、综合法、模拟法、分析法等，它们统称逻辑方法。
数学家广泛地运用数学表、标尺、计算机等实物工具外，更常使用的就是软工具——逻辑方法。事实上，数学的许多定律、公式乃至科学分支学科，都是运用这些软工具获得的。几何学就是演绎的结果。其实正是因为数学家有一套系统的软工具，才使数学成为最系统、最严密的一门科学。
