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第8章 数学教学的趣味知识推荐(4)

1741年,欧拉不能忍受俄国统治者的昏庸腐败,离开了生活14年的彼得堡,踏上了普鲁士国土。1759年,他成为柏林科学院的领导人,为普鲁士王国解决了大量的社会实际问题。如社会保险、运河水力、造币规划等。他成功地将数学应用到各种实际的科学和技术领域。

1762年,俄国的叶卡特琳娜二世继位。在这位有为的女王敦请下,欧拉重返彼得堡,继续他的研究和工作。1766年,欧拉的左眼又失明了,使他完全成了一个盲人。但他仍以顽强的毅力,采用口述,由别人记录的方法,坚持他的研究。

1777年,更大的不幸降临,欧拉的家里不慎失火,他的着述几乎全都变为灰烬。这对于70岁高龄的欧拉来说,是一个致命的打击。然而,欧拉却以惊人的毅力,重新开始他的着述。他的头脑里如一卷百科全书,他不停地口述,助手为其记录,居然把他葬身火海的着作全都重新写了出来,而且还进行了一次订正!

1783年9月18日,欧拉走过了76年的历程与世长辞。他死后,数学家们把他的着作编成全集出版,竟达72卷之多。

在欧拉的着作中,“无限小分析”方法是从欧拉开始的;变分学基础是欧拉方程;拓扑学中有欧拉数;刚体力学有欧拉角;复变函数中有欧拉函数;数论中有欧拉定理……后人称欧拉为“数学分析的化身”。在世界数学发展史上,人们把18世纪称为“欧拉时代”。

14.命运多舛的数学之星

1832年5月30清晨,在法国同提勒的一个湖边,有位农民发现一个受了枪伤的青年躺在地上。这位好心的农民立刻找来村民,把这个青年抬进了医院。可惜,由于他伤势过重,流血过多,第二天就死去了。过后,人们才知道,这位青年不满20岁,是因为与人决斗而死的。不久,人们又知道,这位青年精通数学,留下了虽然是薄薄60页的书稿,但却有着十分重要的科学价值。又过了数年,数学界、物理学界和化学界的学者们猛然发现,这位早亡的不满20岁的青年创立了一个数学上的新分支——群论。这一理论可以使人们深入地探讨各种不同的学科,诸如算术、结晶学、粒子物理以及鲁比克魔方的翻法……能应用于数、理、化各个领域,因此,法国人把他誉为“法兰西科学之光”。这位19岁的青年就是埃瓦里特·伽罗华。

伽罗华1811年10月26日出生于巴黎近郊的布拉伦镇。父亲是一位热衷民主共和的政治家,母亲是一位受过良好教育的法官的女儿。12岁时,他考入一所着名的皇家中学。在中学里,迷上了令同学们生厌的数学,之后便一发不可收,课内课外阅读了大量数学书籍。其中,他居然用了一周时间,一口气读完了勒让德的经典着作《几何原理》。

有一天,主持课外数学讲座的理查老师,为了刹一刹课外活动小组个别学生的傲气,故意给学生们留了一道数学难题让他们课后去做。伽罗华整整做了一个通宵,终于在第二天凌晨把这道题做完了。他敲开理查老师的家门,理查披着睡衣走出房间,听说伽罗华来交作业,就冷谈地说:“留下来我看看吧,恐怕你们这些人还没有谁能完成这个题目!”

伽罗华走了后,理查又忙别的事情去了。直到这天晚上,他才无意中拿起了伽罗华的作业随便看上一眼。谁知不看则已,一看便不能释手,最后竟大呼起来:“奇才,奇才!”

原来,理查是从数学大师高斯的着作思考题中找出了一道怪题,此类题就是造诣很高的成年数学专门人才,也得费很大劲才能做出来。谁知伽罗华居然做出了几个不同解法。他被这少年的超人智慧折服了,他暗下决心,一定要下大力气培养他。

当理查问伽罗华做此题的感受时,伽罗华平静地说:“高斯提出的问题我已经考虑好久了。其中的习题有的我已经做了好几遍了。”当伽罗华讲述他理解此题的经过和思路时,讲到精采处,理查情不自禁地鼓起掌来。他对其他教师说:“伽罗华最适宜在数学的尖端领域中做研究工作。”之后,他帮助伽罗华撰写了第一篇数学论文《循环连分数定理》,并推荐在《纯粹与应用数学年鉴》上发表。

16岁时,伽罗华考入巴黎师范大学。入学半年,他向法国科学院提交了有关群论的第一篇论文。不久,他又以超人的才气完成了几篇数学研究文章,以应征巴黎科学院的数学特别奖。谁知命运对他极不公正,使他连遭厄运。

当科学院第一次审查会开始时,法国数学家柯西是一位心胸狭隘的人。当他打开公文包时,耸耸肩,却说:“非常遗憾,伽罗华的论文不知怎么丢失了。”于是审查会不得不草草收场。伽逻华还曾向法国科学院寄过几篇数学论文,经手的人是常务秘书傅立叶。傅立叶也是一位大数学家。岂知事不凑巧,傅立叶接到手稿后不久去世了,人们在他的遗物中也没有找到伽罗华的手稿。

1831年1月17日,科学院第三次审查伽罗华的论文。主持人是大数学家泊松。泊松出于傲慢与偏见,认为伽罗华只是一个普通高校的普通大学生,难有什么创见,因此没有认真听伽罗华的论文宣读,便草率地下了一个结论:“完全不能理喻。”

尽管命运如此不公,但伽罗华仍继续他的数学研究。他涉足了方程论、群论、可积函数等众多领域,创立了“伽罗华理论”,为群论打下了坚实的基础。除此之外,他还在数学中建立了许多概念,他的研究成果在大量的、各种各样的数学研究中得到广泛应用。在他的着作基础上,产生了许多全新的数学分支……

伽罗华还是一个倾向民主共和的积极分子。为了纪念法国人民攻占巴士底狱,他参加了反对复辟王朝的群众游行示威,并因此被逮捕,在狱中被关押8个月。

就在他出狱不久,为了一桩至今仍是谜团的恋爱纠纷,被迫接受决斗,因而惨死枪下。

也许他知道此次决斗凶多吉少,于是他留下了遗言给他的同伴。信中写道:“我请求大家不要责备我不是为自己的祖国而献出生命……苍天作证,我曾经用尽办法试图拒绝决斗,只是出于迫不得已才接受了挑战。”

他还在自己留下的60页数学手稿中留下了字条:“这个论据需要补充,现在没有时间。”

伽罗华英年早逝,无疑是数学界的一大损失。一些大学者们认为,他的死,“至少使数学发展推迟了几十年。”

15.玻洛汉姆桥上的数学发现

爱尔兰的都柏林市有一座名叫玻洛汉姆的桥。至今,桥头仍立着一块石碑,碑文刻的是:“1843年10月16日,当威廉·哈密顿经过此桥时,他天才地发现了四元数的乘法基本公式。”人们经过这里,都要驻足观看碑文,缅怀哈密顿对科学的伟大贡献。

哈密顿,1805年生于爱尔兰首府都柏林。他的父亲是一位律师兼商人,母亲是名门小姐,父母都很有才华。但是,到他14岁时,双亲都不幸相继去世。从此,他的叔叔詹姆士·哈密顿成了他的监护人。詹姆士是一位精通多种语言的专家,哈密顿从小就受其影响,在语言上得到了早期发展。正是早期的语言发展,提高了他的逻辑思维能力,为他在数学的成就奠定了基础。

12岁时,哈密顿读完了《几何原本》,接着,又读完了法国数学家克莱罗的《代数基础》。13岁时,从美国来了一位数学神童。于是,两位神童互相切磋,取长补短,使他在数学上的兴趣大增。17岁时,哈密顿就掌握了微积分,并学会了计算日食和月食的数理天文学。18岁时,他参加了都柏林三一学院的入学考试,在100多名考生中,他以第一名的成绩被录取。

1827年,22岁的哈密顿大学还没有毕业,就写成了《光线系统理论》的论文。这篇论文为几何光学的建立奠定了素材基础,并且引入了所谓光学的物征函数。后来,哈密顿又对该论文作了三个补充,从数学理论推演出,在双轴晶体中按某一特殊方向传播的光线,将产生折射光线的一个圆锥。这个论点后来被光学实验证实了。

当时学院里有一位很有影响的天文学教授叫布瑞克莱,他十分欣赏哈密顿的才华。1827年,布瑞克莱宣布辞去都柏林三一学院天文学教授的职位。他极力推荐,并说服校方,年仅22岁的哈密顿就成了布瑞克莱的继承人,成为天文学教授。与此同时,哈密顿又荣获了爱尔兰皇家天文学家的称号。

但是,哈密顿的志向不在天文学上,他全力以赴地钻研数学。1828年开始,他就着手研究四元数。四元数是实数、复数这个数系的发展,是超复数的一种,即属于四维矢量。用现代术语来说,它是一个线性代数的组成部分。

然而,经过十几年的苦心钻研,哈密顿仍然没有成功。1843年,已经是他研究四元数的15个年头了。这年的10月16日黄昏,哈密顿的妻子见丈夫整日埋头书堆,劳累不堪,于是费了好大劲才把他劝动,拉他外出散步。

当时秋高气爽,景色宜人。哈密顿在妻子的陪同下,漫步在皇家护城河畔的林荫道上。一阵阵秋风吹来,带着成熟的果香。哈密顿贪婪地呼吸着河畔清新的空气,不禁心旷神怡。他暂时忘了他醉心的数学题目,陶醉在大自然之中。

他们夫妻俩走上了玻洛汉姆桥,驻足桥上,望着暮色中的街景桥影,哈密顿的大脑思维突然再度活跃起来,闪光、跳荡、寻觅、联想……突然,他的思维大门一下子打开了,智慧的冲击波冲破了以往的障碍束缚,他一下子悟出了四元数运算的奥秘。他立刻掏出随身携带的笔记本,把他头脑中闪光的要点迅速记录下来。追求15年之久的四元数研究目标,终于在玻洛汉姆桥上找到了它的解法。哈密顿唯恐思路中断,急忙拉起他的夫人往家里跑去,这时,其他散步的男女老少都用奇异的目光看着这一对怪人。

回到家里,哈密顿把自己关进书房,一连几天不肯出来,甚至连饭都得让人送进去。最后,他终于从数百页演算纸里,抄清出了一篇极有价值的论文。

1843年11月,哈密顿在爱尔兰科学院宣布发现“四元数”,从而轰动了当时的数学界。四元数的发现,有力地推动了向量代数的发展。过去,复数理论只可用于平面向量,而空间向量问题则要用四元数向量部分来解决。哈密顿还把四元数引入微积分,定义了描述函数的数量或方向两个方面的变化的一系列概念。例如“梯度”、“旋量”等,成为研究物理学、工程学的重要计算工具。

10年之后,哈密顿写成了《四元数讲义》,并于1857年发表。当时着名的物理学家麦克斯韦正在研究电和磁,他苦于无法描述电磁运动及其变化规律。电和磁都是带有方向性的量。要弄清电磁运动的规律,必须首先从数学方法上找到解决的途径。麦克斯韦曾长期用复数向量处理,却一直得不到正确结果。当哈密顿四元数问世后,终于使麦克斯韦走出困境,使他的电磁研究获得了成功,并得出了“麦克斯韦方程组”,预言了电磁波的存在。

哈密顿深知四元数在科学上的重大意义。于是,在他生命的最后20多年中,一直倾注全力进行研究。他预感到,四元数的应用将在物理界引起巨大的变革。可惜的是,在这种变革没有到来之际的1865年9月2日,他因为慢性酒精中毒而离开了人间,终年60岁。

16.“假结婚”走出国门的女数学家

1850年,莫斯科一位数学教师家里诞生了一位女婴,她就是俄国伟大的女数学家苏菲·柯瓦列夫斯卡娅。

幸运的是,苏菲从一降生,就生活在数学的天地里。原来,她住的房子,墙壁上四处裱糊着她父亲的数学讲义。苏菲从小就看着,读着这些半懂不懂的讲义长大。那些奇奇怪怪的数学符号给她留下了深刻的印象。伴随年龄的增长,在家庭女教师的解答下,她渐渐弄懂了这些符号和数学公式。

14岁的时候,苏菲不经别人帮助,就能看懂父亲的朋友带给她的数学教科书中三角公式的意义,15岁时,父亲同意她利用冬季居住彼得堡期间,学习高等数学。

长成大姑娘的苏菲十分想往完全的高等教育,可是当时俄国的大学对女子是紧闭大门的。当时,只有西欧一些大学肯收女学生,苏菲于是立志要到外国去。可是,专横的父亲不同意,他不希望女儿从自己的身边飞走。

当时,一些俄国姑娘为了离开专制的家庭,常常采用与外国人“假结婚”的办法出国,苏菲也如法炮制,与莫斯科大学一位外国学生协商,帮她实行“假结婚计划”。1868年,苏菲不顾父母的反对“结婚”了,第二年春天,她冲出国门,为了她喜爱的数学,来到了德国的海德堡。

又几经周折,苏菲进了德国最古老、最有名望的海德堡大学。三年期间,她修完了数学、物理、化学和生理学等大学课程。在大学里,她最喜欢的课程是“椭圆积分论”。当她得知这一理论是着名数学家魏尔斯特拉斯建立的,就热切地想去柏林向这位着名的教授学习。

1870年,苏菲来到柏林,尽管她带来了海德堡大学教授的推荐信,但柏林大学仍拒收她,唯一的理由就是“柏林大学不收女学生”。无奈,苏菲只好直接去找年已55岁,声名显赫的魏尔斯特拉斯教授。这位数学大师与苏菲一谈,深被她的求知欲所感动,便亲自与学校当局疏通,但学校当局及同事们都认为,数学不是女人的事,拒绝了他的极力推荐。

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