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第7章 数学教学的趣味知识推荐(3)

11.解析几何的问世

1617年,荷兰奥伦治公爵的军队里来了一名22岁的博士生,他就是伟大的数学家笛卡尔。

一天,部队开到布雷达城,无所事事的笛卡尔漫步在大街上,忽然看见一群人围在一起议论纷纷,原来在一堵墙上贴着一张几何难题的悬赏启事。启事上说,谁能够解开此题谁就能获得本城最优秀的数学家称号。笛卡尔出于好奇心抄下题目,回到军营,专心致志地研究这道几何难题。经过潜心钻研,两天后,他终于求得了答案,由此使他数学天才初露锋芒。

荷兰多特学院院长毕克曼十分赏识笛卡尔的才华,劝他说:“你有深厚的数学基础,才思敏捷,很适合数学研究。离开军队吧,我相信你将来会成功的。”

笛卡尔没有离开军队,但仍然迷恋数学,尤其想碰一碰古希腊几何三大问题。说起这三大问题,还有一个很古老的传说:

大约是2300多年前,古希腊的第罗斯岛上,一场可怕的瘟疫正在蔓延,人们生活在死亡的恐怖之中。他们来到神庙前祈求:“万能的神啊,请赐予我们平安吧!”谁知神庙里的主人欺骗这些可怜的人们说:“我忠实的信徒们,神在保佑着你们,只要你们把上供的正方体祭坛,在不改变原来形状的情况下,把它的体积增大到原来的两倍,神就会高兴,就能免除你们的灾难。”

濒于死亡的人们听后立即去改造神的祭坛,他们把祭坛的每边棱长扩充到原来的两倍。但神庙的主人看后说:“这哪里是原来的两倍,这是原来的八倍了。神不高兴啊!”

人们听后赶忙拆了重建,他们把体积改成了原来的两倍,可形状却是一个长方体。神庙的主人训斥道:“该死的信徒们,你们怎么把祭坛的形状改变了呢,这不是戏弄神吗?当心还有更大的瘟疫!”

惊慌失措的人们急忙去找着名的学者柏拉图,把希望寄托在这位大智者的身上。谁知柏拉图和他的学生们无论怎么用直尺和圆规去画,也同样找不到正确的办法,于是,立方倍积问题便成了一道几何难题。

后来,希腊人又碰到了把一个已知角分成三等分和化圆为方问题(即求一个正方形,使它的面积等于一个已知圆的面积)。

从此,立方倍积、三等分角、化圆为方这三个问题一直困扰着世世代代的数学家,不少人为此呕心沥血,穷毕生精力也找不到答案。这样一直延续了2000年。

笛卡尔认真总结前人的大量经验教训后猜想,古希腊三大几何难题,采用尺和规作图的办法。是不是本来就作不出呢?应该另找一条道路才是。

1621年,笛卡尔退出军界,与数学家迈多治等朋友来到巴黎,潜心研究数学问题。1628年,他又移居资产阶级革命已经成功的荷兰,进行长达20年的研究。这是他一生最辉煌的时期。

一天,疲惫不堪的笛卡尔躺在床上,望着天花板思考着数学问题。突然,他眼前一亮,原来,天花板上有一只蜘蛛正忙碌地编织着蛛网。那纵横交错的直线和四周的圆线相交叉一下子启发了他。困扰他多年的“形”和“数”问题,终于找到了答案。他兴奋地爬了起来,迫不及待地把灵感描绘出来。他发现了这样的规律,如果在平面上画出两条交叉的直线,假定这两条直线互成直角,那么就出现四个90度的直角。在这四个角的任一个点上设个位置,就可以建立起点的坐标系。

这个发现的基本概念简单到近乎一目了然,但却是数学上的伟大发现。它就是建立了平面上点与坐标(x、y)之间的对应关系。进一步构成了平面上点与平面上曲线之间的对应关系。从而把数学的两大形态——形与数结合了起来。不仅如此,笛卡尔还用代数方程描述几何图形,用几何图形表示代数方程的计算结果。于是,创造出了用代数方法解几何问题的一门崭新学科——解析几何。

解析几何的诞生,改变了从古希腊以来,延续两千年的代数与几何分离的趋向,从而推动了数学的巨大发展。虽然,笛卡尔在有生之年没有解开古希腊三大几何问题,但他开创的解析几何却给后人提供了一把钥匙。

解析几何的重大贡献,还在于它提供了当时科学发展迫切需要的数学工具。17世纪资本主义迅速发展,天文和航海等科学技术对数学提出了新的要求。例如,要确定船只在海上的位置,就要确定经纬度;要改善枪炮的性能,就要精确地掌握抛物体的运行规律。所有这些,涉及到的已不是常量而是变量。

12.和牛顿比肩的数学家

1684年,《学术学报》上发表了德国数学家莱布尼茨的一篇文章,宣布他发现一种微分法,即“一种求极大极小和切线的新方法,它也适用于分式和无理量,以及这种新方法的奇妙类型的计算”,1686年,他又发表了类似的文章,讨论“潜在的几何与分析不可分和无限”等。一年以后,物理学家牛顿出版了他的巨着《自然哲学之数学原理》,也谈到了他研究的求极大与极小的问题。实际上,他们俩人都发现了微积分的数学原理。于是,就有关创立微积分的优先权问题,发生了一场激烈的争论。遗憾的是,由于人们不明真相,使30多岁的莱布尼茨长期蒙受冤屈。1699年,瑞士数学家法蒂奥德迪利给皇家学会写文章,说莱布尼茨的思想获自牛顿。接着,不少科学家接踵而至,都说莱布尼茨不是发明者。萨维尔天文学教授凯尔,则指控莱布尼茨是剽切者。为此,莱布尼茨参与了争论,辩白自己的冤枉。但没有人相信他。1716年11月14日,莱布尼茨含冤逝世,朝廷竟不闻不问,教士们也借口说莱布尼茨是“无信仰者”而不予理睬。

直到莱布尼茨死后,英国皇家学会为牛顿和莱布尼茨发现微积分的优先权问题,专门成立了调查评判委员会。经过长期调查,终于弄清事实,委员会在《通讯》上宣布,牛顿的“流数术”和莱布尼茨的“无穷小算法”只是名词不同,实质上是一回事,他俩都是微积分的发明人。

原来事情是这样的,1676年,牛顿在写给莱布尼茨的信中,宣布了他的二项式定理,提出了根据流的方程求流数的问题。但在他们交换的信件中,牛顿却隐瞒了确定极大值和极小值的方法,以及作切线的方法等。而莱布尼茨在给牛顿的回信中写道,他也发现了一种同样的方法,并诉说了他的方法。这个方法与牛顿的方法几乎没有什么两样。二者的区别是:牛顿主要是在力学研究的基础上,运用几何方法研究微积分;而莱布尼茨主要是在研究曲线和切线的面积问题上,运用分析学方法引进微积分概念,得出运算法则。牛顿是在微积分的应用上更多地结合了运动学,造诣较莱布尼茨高出一筹。但莱布尼茨的表达式采用的数学符号,既简洁又准确地揭示出微分、积分的实质,远远优于牛顿。因此,他们二人发明微积分各有千秋。

莱布尼茨1646年6月21日出生于德国东部的莱比锡城。他的父亲是哲学教授,但在他6岁时父亲就过早去世了。然而,父亲留下的大量藏书却为莱布尼茨提供了丰富的知识源泉。

莱布尼茨8岁入学,少年时就可以用多种语言表达思想。15岁时考入有名的莱比锡大学,开始对数学发生兴趣。1666年,莱布尼茨转入纽伦堡的何尔道夫大学。这一年他发表了第一篇数学论文《论组合的艺术》,显示了他的数学才华。这篇论文,正是近代数学的一个分支“数理逻辑”的先声,他也因此成为数理逻辑的创始人。

大学毕业后,莱布尼茨获得法学博士学位,投身外交界。1672年3月他作为大使出访法国巴黎,为期4年。在巴黎工作之余钻研数学,结识了荷兰数学家惠更斯。并利用业余时间攻读笛卡尔、费尔马、帕斯卡等人的原着。为他步入数学王国的殿堂打下了坚实的基础。

1676年,莱布尼茨到汉诺威,在那里他博览群书,创立了微积分的基本概念和运算方法,成就了他一生最伟大的发明。

莱布尼茨陆续创立了一些表示微积分的符号:dx表示微分,即拉丁文“differentia”的第一个字母,意为“分细”。∫表示积分,即拉丁文“summa”的第一个字母“s”拉长,意为“求和”。他创立的这些符号,为数学语言的规范化和独立化起到了极为重要的推动作用。这些符号一直用到今天。

此外,莱布尼茨还提出了使用“函数”一词,首次引进了“常量”,“变量”和“参变量”,确立了“坐标”、“纵坐标”的名称。他对变分法的建立及在微分方程、微分几何、某些特殊曲线(如悬链曲线)的研究上都做出了重大贡献。

13.双目失明者创造的“欧拉时代”

1707年4月15日,瑞士巴塞尔城附近的里恩村,有一位叫保尔·欧拉的牧师家里诞生了一个男孩,这就是后世称其为“百科全书式的数学家”欧拉。

小欧拉自幼聪颖,7岁那年,父亲把他送到巴塞尔神学校去学习神学。起初,他对上帝创世深信不疑。一次,他问老师:“天上有多少颗星?”老师答不出来,只是说:“天上的星星都是上帝亲手嵌上去的。”于是,小欧拉问:“既然上帝亲手制作了星星,为什么记不住它们的数目呢?”他对上帝的信仰开始动摇,也不专心听课了。不久,学校开除了他。

父亲保尔通数学,见儿子不愿学神学,就开始向他传授数学知识。小欧拉如鱼得水,立刻入了迷。

1719年,欧拉12岁。父亲为了考一考儿子的能力,正赶上家里要修羊圈。于是,他给出了一个固定长度,让欧拉围成一个面积最大的方形羊圈。欧拉想来想去,把它围成了一个正方形。于是,小欧拉“巧围羊圈”的故事不胫而走,被巴塞尔大学的着名数学教授伯努利约翰知道了。这位教授竟亲自出城,找到欧拉的父亲,说要保举小欧拉去大学学数学。老欧拉却说:“教授,我希望他将来是一位神学家,而不是数学家。”约翰说:“可你知道吗,这孩子是个数学天才。如果你固执己见,会葬送这孩子的前程。”

在约翰教授的劝说下,老欧拉终于点头了,13岁的小欧拉被巴塞尔大学破格收录了。欧拉不负老师厚望,入学后勤奋好学,广闻博览,又善于独立思考,不久就可以与那些年龄大的同学比肩。他的老师约翰则根据他的特点因材施教,循循善诱,每周六的下午都挤出时间为他个别辅导,使他的学业突飞猛进。17岁时,欧拉便成为巴塞尔大学第一位最年轻的硕士。1726年,欧拉发表了讨论船桅最佳位置选择的论文,荣获巴黎科学院的奖金。

1727年,欧拉由丹尼尔推荐,受俄罗斯女王叶卡特琳娜的聘请,来到彼得堡科学院任院长,做丹尼尔的助手。1733年,丹尼尔回国,欧拉接替丹尼尔的工作,成为数学教授及彼得堡科学院的学部领导人。由于当时俄国统治集团长期陷入权力之争,无心科学事业,科学院的生存岌岌可危。1733年至1741年,欧拉的工作条件相当艰苦。他的许多不朽着作,都是在“膝上坐着孩子,肩上趴着猫”的情况下写出来的。欧拉还担负着许多社会责任,如承担菲诺运河的改造方案,宫廷排水设施的设计审定,为俄国学校编写教材,帮助政府绘制地图,制定度量衡标准,为气象部门提供天文数据,协助建筑单位进行设计结构的力学分析……由于他长期疲劳工作,又长期观测太阳,使他的视力迅速衰退。1735年,年仅28岁的欧拉右眼失明了。就在这时,有关“七桥问题”传入彼得堡科学院,欧拉出于对数学的热爱,又潜心研究起“七桥问题”。

“七桥问题”是古希腊人留下的一道难题。18世纪初,波罗的海沿岸的古城哥尼斯堡(今加里宁格勒),普雷格尔河横贯市区。这条河在市区内分成两个支流,把奈发夫岛截成两段并把两岛环抱起来,形成了一个美妙的“8”字。有好事者根据古人的“七桥问题”,就在这里建起了七座桥,把两个小岛和两岸连接起来。

于是,这个问题直观地摆在游人面前:一个人怎样才能一次走过七座桥,而且每座桥只经过一次,最后又回到出发点。

从此,无论是稚气未退的少年还是白发苍苍的老者,都想试一试自己的智力。他们在这七座桥上穿来走去,但都没有一个人能成功过。因此,这七座桥便很快地名扬欧洲,又引来一批批游客。但是,又有多少年过去了,还是没人成功。

这时,29岁的独眼青年欧拉也来到了哥尼斯堡,他在桥上走了几次之后,想道:“千百万人的无数次失败,是不是说明这样的走法根本就不存在呢?”

猜想是需要证明的。于是,欧拉埋头对这个猜想进行证明。他先用“穷举法”,即把所有可能的走法列成表格,逐一检查哪种走法能行得通。结果他发现这是一件相当繁琐的事情,要列出7×6×5×4×3×2=5040条路线来!这太困难。另外,他又想到,如果存在更多的桥,或一个城市有更多的街道,那可如何列呀?

于是,他换了一种思维方式,想到了莱布尼茨的“位置几何学”。经过细心推想,他把两个小岛和两岸陆地看成A、B、C、D四个点,而把7座桥看成是7条线,就画成了一幅图:

由于此图有点像蝉,所以后人称之为“欧拉金蝉”。通过这个图形,欧拉严谨地证明:不可能不重复地一次走遍这7座桥。

很明显,“七桥问题”是一个几何图形问题。但是,在此之前的传统几何学却把它排除在外,因为人们所熟知的几何理论,都是与“量”(长短、大小等)有关,而这个问题居然与“量”无关。“七桥问题”提出了一个新的几何学的分支——“拓扑学”。欧拉一举证明了“七桥问题”一时引起人们的敬慕和惊叹,求教的人络绎不绝。后人称他为“拓扑学的鼻祖”。接着,欧拉又继续研究,他的几何学超出了欧几里得的范围,从而奠定了“网络论”几何学科的基石。

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