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第12章 数学教学的趣味题型推荐(7)

75.商人的难题

朝圣者中的那位商人,与那种“善于计算银币行情,靠巧妙的兑换来发达”,以及“……那样勾心斗角,甚至运用全部名誉来作抵押”的金融投机家有区别。有一天早晨,当全体同伴沿途跋涉时,骑士、乡绅同商人并排走着。他们提醒他,他还没有把欠同伴的难题提出来。

“真的?”商人兴奋起来,“我这里就有。待会儿我们停下来休息时,就请你们考虑这个数字难题。今天早晨我们有一批人出发,我们可以一个跟着一个,称为‘鱼贯’;或一双一双,称为‘比翼’;或3个3个,称为‘品字’;或5个5个,称为‘梅花’;或6个6个,称为‘长三’;或10个10个,称为‘梅拾’;或15个一组,称为‘三五’;最后,还可以30人并排走。此外,再不能用任何其他方法,使得每队骑手是相等的。现在有一批朝圣者,能用64种方法编队行进,请告诉我,这批朝圣者共有多少人?”

当然,商人指的是可用64种方法编队的最少骑手数目。

[答案:这道难题归结为:求恰好具有64个因数的最小数,这些因数包括1及其本身。这个数为7560。7560个人可以按“鱼贯”、“比翼”、“品字”共64种方法,第64种方法是7560个成为一队。商人是谨慎的,他没有提到这是在怎样的道路上走。

为了求出给定的数N的质因数的数目,我们令N=apbqcr……这里a,b,c是质数。这时包括1和N本身在内的因子数目将等于(p+1)(q+1)(r+l)……这样,在商人的难题中:7560=2333×5×7。]

76.王牌

在一盘纸牌游戏中,某个人的手中有这样的一副牌:

(1)正好有十三张牌。

(2)每种花色至少有一张。

(3)每种花色的张数不同。

(4)红心和方块总共五张。

(5)红心和黑桃总共六张。

(6)属于“王牌”花色的有两张。红心、黑桃、方块和梅花这四种花色,哪一种是“王牌”花色?

[答案:据(1),(2),(3),此人手中四种花色的分布是以下三种可能情况之一:

(a)1237

(b)1246

(c)1345

根据(6),情况(c)被排除,因为其中所有花色都不是两张牌。根据(5),情况(a)被排除,因为其中任何两种花色的张数之和都不是六。

因此,(b)是实际的花色分布情况。根据(5),其中要么有两张红心和四张黑桃,要么有四张红心和两张黑桃。

根据(4),其中要么有一张红心和四张方块,要么有四张红心和一张方块。综合(4)和(5),其中一定有四张红心;从而一定有两张黑桃。因此,黑桃是王牌花色。

概括起来,此人手中有四张红心、两张黑桃、一张方块和六张梅花。]

77.停业的酒店

保罗·劳伦斯和辛格三位老板,共同出资经营一家酒店,但后来因故必须停业。此时,资金、利润及器皿类等,均可等分为3份,只剩21瓶酒其中7瓶还未开封,7瓶只剩一半的威士忌酒,另7瓶则是空瓶子。所以,三人便想把瓶子数和威士忌酒的量等分为3,却怎么也想不出分配法。若一人不得取4瓶以上相同的酒瓶,应如何分配?

[答案:保罗分未开封的酒2瓶,只剩一半威士忌的酒3瓶,空瓶2瓶;劳伦斯分末开封的酒2瓶,只剩半的威士忌酒3瓶,空瓶2瓶;辛格分末开封的酒3瓶,只剩一半威士忌的酒1瓶,空瓶3瓶。]

78.导弹相撞

两枚导弹相距41,620公里,处于同一路线上彼此相向而行。其中一枚以每小时38,000公里的速度行驶。另一枚以22,000kph的速度行驶。它们在碰撞前的1分钟时相距多远?应该不用铅笔、纸或计算器,便能解出此题。

提示:

我们给出了一些不必要的信息。

[答案:导弹在碰撞前1分钟相距1000公里。左侧的导弹以每小时38,000公里的速度行驶,而右侧的导弹以22,000kph的速度行驶。它们的相对速度为60,000kph。每小时有60分钟,这一速度相当于每分钟1000公里,因此它们在碰撞前的1分钟一定相距1000公里。我们故意使用整数,更易于心算。

我们给出的不必要信息是两枚导弹开始时相距41,620公里。要解此问题,您只需从发生碰撞的时刻向后回溯。相对速度为每分钟1000公里时,回溯到导弹碰撞前的1分钟,两导弹一定相距1000公里。]

79.解密码

下的数字密码中,每个字母其实代表一个独一无二的数字,而且符合下列条件:

1.任何一列中,最左边的数字不可为“0”;

2.字母与数字为一对一对应。即假设M代表“3”;

则所有的M都为“3”,而且其他字母皆不可为“3”。

S E N D+ M O R EM O N E Y

解码后, DESMOND 代表什么数字

[答案:DESMOND = 7591067

S E N D+ M O R EM O N E Y9 5 6 7+ 1 0 8 51 0 6 5 2]

80.取其精华

古书店里有一本十分精彩的书,共200页。A先生买下了它,观看时,A先生首先把他感兴趣的第3页到第12页共10页纸拆了下来,剩下的就是190页。随后,他又拆下了第56页到第75页共20页纸拆了下来。请问,这本书还剩下多少页?

[答案:既然A先生拆下第3页到第12页后剩下190页。我们应该依此推算出本书的编排,也就是3页、4页是一张纸,5页、6页是一张纸……那么A先生第二次拆下第56~75页,实际上拆了55~76页,因为55页和56页,75页和76页是印在同一张纸上的,不可能分开。所以这本书还剩下190-22=168(页)]

81.卖鸡蛋

大诗人贝涅吉克托夫是第一部俄文数学动脑筋题目文集的作者。根据这道题本身所提供的某些“信息”,确定了这道题的创作年份是1869年,而手稿中并末注明这个年份。下面把这位诗人以小说的形式写成的一道题目,介绍给读者。原题叫做“怪题巧解”。

一次,一个以贩卖鸡蛋为业的妇人,派她的三个女儿到市场上去出售90个鸡蛋。她给了最聪明的大女儿10个鸡蛋,给了二女儿30个鸡蛋,给了小女儿50个鸡蛋,对她们说:

“你们先商量一下,定好价钱以后,就要始终坚持同样的价格,不能让步。但我希望老大能运用她的智慧,即使是按照你们事先商定的价钱,她卖掉自己的10个鸡蛋所得的钱,同老二卖掉她那30个鸡蛋所得的钱一样多,并且帮助二妹把那30个鸡蛋卖掉,所得的钱还要同三妹卖掉那50个鸡蛋所得的钱一样多。你们三个人的进价和售价都必须彼此相同。

另外,我希望你们卖出的价钱,每10个蛋不能少于10分钱,总共90个鸡蛋不少于90分,也就是30个阿尔登。”现在把贝涅吉克托夫的话打断,好让读者去独立思考:三位姑娘是怎样完成她们的任务的?

[答案:贝涅吉克托夫故事的结尾是这样的:

这个题目的确是很伤脑筋。三位姑娘在去市场的路上边走边商量。后来,二姑娘、三姑娘都请大姐出主意,大姐想了想,说:

“妹妹们,我们以前都是十个蛋十个蛋地出卖的,这次我们不这样干,改成七个蛋七个蛋地卖。每七个蛋一份,我们给每一份订一个价钱,按妈妈的嘱咐,我们三个人都得遵守。是的,一分钱也不让价!每次卖一个阿尔登(3分),你们意见怎样?”

“那太便宜了。”二姑娘说。

“可是我们把七个一份按份出售的鸡蛋卖完后,提高剩余各蛋的价钱呀!我已经注意到,今天市场上卖鸡蛋的除我们三人外,再无他人,因此,不会有人压低我们的价钱。那么,剩下的这点宝货,只要有人急用,货又剩得不多了,价钱自然要上涨。我们就是要在剩下的那几个蛋上赚回来。”

“那么,剩下那几个蛋卖什么价钱呢?”

“每个蛋卖三个阿尔登。给钱吧,就这个价。急等鸡蛋下锅的买主是会出这个价钱的。”

“太贵了点。”又是二姑娘发言。

“那有什么,”大姐回答说,“我们‘七个一份’的鸡蛋卖的不是太便宜吗?两者刚好抵销。”

大家都同意了。

到了市场,姐妹三人各自找地方坐了下来卖她们的鸡蛋。买东西的男男女女看到鸡蛋如此便宜,都跑到三姑娘那儿,她的50个鸡蚤一下就差不多被抢光了:她七个一份做七份出售,卖了七个阿尔登,筐子里还剩下一个鸡蛋。二姑娘有30个鸡蛋,七个一份地卖给了四个顾客,筐子里还剩下两个鸡蛋,赚了四个阿尔登。大姐则卖了一份七个的蛋,赚了一个阿尔登,剩下了三个蛋。

这时,市场上赶来了一位女厨师,是奉主妇之命来采购的,她的任务是必须买到十只鸡蛋。原来,那位主妇的几个儿子回来探亲,都特别喜欢吃煎鸡蛋。女厨师在市场上转来转去,可鸡蛋都已卖光,卖鸡蛋的三个摊子上一共只剩下六个鸡蛋:一摊只有一个,另一摊只有两个,还有一摊只有三个。好吧把这些都买来吧!可以想见,女厨师首先跑到有三个蛋的摊子前面,这个正是大姐的摊子。女厨师问道:

“这三个鸡蛋卖多少钱?”

那位回答说:“三个阿尔登一个。”

“你怎么啦?发疯啦?”女厨师说。

那位则说:“随您的便,少一个钱也不卖。就这几个了。”

女厨师跑到筐里只有两个鸡蛋的摊子那里。“什么价钱?”

“三个阿尔登一个。不二价,蛋都卖光了。”

“你这个鸡蛋卖多少钱?”女厨师问三姑娘。

那位回答说:“三个阿尔登。”

女厨师一点办法也没有。只好把蛋买下。“把剩下的蛋都给我吧!”

于是,女厨师付了九个阿尔登给大姑娘,买下她的三个鸡蛋。这样,连同原先卖出的一个阿尔登,大姑娘就一共卖了十个阿尔登。二姑娘的两个鸡蛋拿到了六个阿尔登,连同以前卖四份鸡蛋的四个阿尔登共得了十个阿尔登。三姑娘剩下的一个蛋卖了三个阿尔登,加上以前卖七份鸡蛋的七个阿尔登,一共也拿到了十个阿尔登。

三姐妹回到家里,每人交了十个阿尔登给妈妈。]

82.“15点”的游戏

乡村庙会开始了。

今年搞了一种叫做“15点”的游戏。

艺人卡尼先生说:“来吧,老乡们。规则很简单,我们只要把硬币轮流放在1到9这个数字上,谁先放都一样。你们放镍币,我放银元,谁首先把加起来为15的三个不同数字盖住,那么桌上的钱就全数归他。”

我们先看一下游戏的过程:某妇人先放,她把镍币放在7上,因为将7盖住,他人就不可再放了。其他一些数字也是如此。

卡尼把一块银元放在8上。

妇人第二次把镍币放在2上,这样她以为下一轮再用一枚镍币放在6上就可加为15,于是她以为就可蠃了。但艺人第二次把银元放在6上,堵住了夫人的路。现在,他只要在下一轮把银元放在1上就可获胜了。

妇人看到这一威胁,便把镍币放在1上。

卡尼先生下一轮笑嘻嘻地把银元放到了4上。妇人看到他下次放到5上便可蠃了,就不得不再次堵住他的路,她把一枚镍币放在5上。

但是卡尼先生却把银元放在3上,因为8+4+3=15,所以他蠃了。可怜的妇人输掉了这4枚镍币。

该镇的镇长先生被这种游戏所迷住,他断定是卡尼先生用了一种秘密的方法,使他比赛时怎么也不会输掉,除非他不想蠃。

镇长彻夜末眠,想研究出这一秘密的方法。

突然他从床上跳了下来,“啊哈!我早知道那人有个秘密方法,我现在晓得他是怎么干的了。真的,顾客是没有办法蠃的。”

这位镇长找到了什么窍门?你或许能发现怎么同朋友们玩这种“15点”游戏而不会输一盘。

[答案:要明白“15点”游戏的道理,其诀窍在于看出它在数学上是等价于“井”字游戏的!使人感到惊奇的是,该等价关系是在着名的3×3魔方的基础上建立的,而3×3魔方在中国古代就已发现。

要了解这种魔方的妙处,先列出其和均等于15的所有三个数字的组合(不能使两个数字相同,不能有零)。这样的组合只有八组:1+5+9=15;1+6+8=15;2+4+9=15;2+5+8=15;2+6+7=15;3+4+8=15;3+5+7=15;4+5+6=15。

现在我们仔细观察一下以下独特的3×3魔方

294

753

618

应当注意的是,这里有八组元素,八组都在八条直线上:三行、三列、两条主对角线。每条直线等同于八组三个数字(它们加起来是15)中的一组。因此,在比赛游戏中每组获胜的三个数字,都由某一行、某一列或某条对角线在方阵上代表着。

很明显,每一次游戏与在方阵上玩的“井”字游戏有相同道理的。那个艺人卡尼先生在一张卡片上画上幻方图,把它放在游戏台下面,只有他能看到(别人是无法看到的)。只有一种位置的幻方图结构,但是它可以旋转出四种不同的组合形式,而每一种形式可通过反射,又产生出另外四种形式,共八种形式。在玩这种游戏时,这八种形式中的每一种都可用作秘诀,效果都是一样的。

在进行这“15点”游戏时,艺人卡尼先生暗自在玩卡片画上的相应“井”字游戏。玩这种游戏是决不会输的,假如双方都正确无误地进行,最后就会出现和局。然而,参加游艺比赛的人总是处于不利的地位,因为他们没有掌握“井”字游戏的秘诀。因此,艺人卡尼先生很容易设置埋伏,使其必然获胜。]

83.停电点蜡烛

沈尧芳家的电灯突然熄灭,原来是停电了。她点上事先准备好的两支蜡烛继续复习功课,直到又来了电。现已知:

(1)两支蜡烛长度一样,但粗细不同;

(2)粗蜡烛可点5小时,细蜡烛只能点4小时;

(3)到又来电时,一支蜡烛头是另一支蜡烛头的4倍。

请问,停电多少时间(即蜡烛的燃烧时间)究竟是多少?

[答案:两支蜡烛都点了3小时45分,这即是停电时间。]

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