上述认识体系的分类是按照它们的性质或大体上按逻辑划分的。但是认识的历史过程多少有些不同。物理体系的概念好像在人类文明的很早时期就已经出现。然而，将物理认识抽象为数学表述，以及使物理定律和数学理论之间的基本差别不再很大，人们花了很长时间。迟至公元400年，中国古代数学家祖冲之（公元429～500年）才求得小数点后7位圆周率值π(圆周长与圆直径的比值)。这一个数字大约持续了1000年才获得进一步发展。19世纪前后，抽象体系中的某些新概念兴起。如概率（Laplas，Pierre Simon，1812），非欧几里德几何学（Bolyai，John和Lobachevski，Niolai Ivanovich，1826）等。抽象思维和物理观察开始分家，应用数学从抽象体系中分离出来进入认识的物理体系。从这种意义上讲，抽象数学和应用数学在性质上是不同的。如果有人坚持认为应用数学是数学的分支，可以把它称为“概”数学。这个“概”字是从不同于“周期函数”的“概周期函数”中引伸而来的。20世纪20年代之后，产生了信息方面的概念。Turing"s问题确定之后，信息论(Shanon，Clanud Elwood，1948)和控制论(Wiener，Norbert，1948)改变了认识的观念。随后，新概念如模糊和灰色体系补充了这种改变。这种改变的主要结果是引入人或主观性。从认识的信息观点说，应用数学成为主观数学或信息数学。由于认识体系的历史过程，不是按性质或逻辑分类。因此，方法论中的缺陷还需要深入检验。
二
认识和知识
翁文波先生认为知识是对客观世界的抽象，它可以寄存在物质介质之中，如文字、磁盘、电波等。但它的性质是什么呢？对于知识性质这样一类问题，恐怕很难有公认的见解，个人只能以自己的一种观点作为起点，其实谁的或怎样的观点并不重要，重要的是一个求知的人是否考虑了这些问题。如果考虑了这些问题，并形成了系统体系，那么就会用更深刻的观点来看有关的一切。翁文波先生个人认为：知识应该说是一种认识的结果。地球绕太阳转，在哥白尼提出日心说之前是事实，之后既是事实又是知识。引力这一事实早已存在，这一思想也早已有之，但只有当牛顿用精确的数学公式表达万有引力时，才成为科学知识。所以科学的知识是无穷尽的。如果把不是事实的说成知识，那就叫迷信。
发展演化
《老子？经下篇》第三十六章说：“道生一，一生二，二生三，三生万物。万物负阴而抱阳，冲气以为和。”即“道是万物化生的总原理，无极生太极，太极生阴阳，阴阳二气相交而生第三者，如此生生不息，便繁衍了万物，因此万物禀赋阴阳二气的相交而生。这阴阳二气互相激荡而生成新的和谐体，始终调养万物。”事物都在不断发展演化中，自然灾害事件也不例外，预测也就是根据其发展演化，提取信息以预知其发展趋势而达预测目的的。
形与象和唯理与唯象
在唐朝文献中，以“象”表示实际体系，以天地为代表；以“形”表示抽象概念，以阴阳为代表。《圣教序》（公元639年）说：“象显可徵，虽愚不惑；形潜莫睹，在智犹迷。”意思是说：实体的东西是明显的，笨人也不会迷惑；抽象的概念，聪明人也会搞糊涂。唯理者侧重于讲道理，也就是从理论出发，一种理论解释一种现象。如果理论错了，就是运用再好的方法也等于南辕北辙。比如，本来用加减运算就能求解的问题，偏用微积分来运算。要知道在数学中越复杂的运算，假设的成分越多，使用起来失真的东西也就越多，结果与实际情况也就相差甚远。唯象者就不存在这些弊端，它是从实际出发，发现问题和解决问题。预知信号中信号的物理意义和定义至少有一部分是已确定的，或者是可以推理得到的。这样看待信息可以说是唯理的。拟合信号，即对于信息的定义和性质不作任何事先的假设，而从实际情况里面找出信息来，这样看待信息可以说是唯象的。科学内部过去有过唯理和唯象的争议，现在，通过两者之间的相互补充，已经没有纯粹的唯理学派和唯象学派了。
局部与整体，零与整
《墨子？经下》说：“于一有知焉，有不知焉，说在存。”大意是说：对于一个体系，可以知道其中的一个局部，一时还不知道其它局部，但体系是客观存在的。
《墨子？经上》说：“体，分于兼也。”意为“部分”（体）要和“整体”（兼）区分开来。西方文明发展的表现之一就是拆零，他们善于把整体拆开来研究。中国古老文化表现之一就是天地合一，从整体角度看。在自然科学领域，中西方结合是大有前途的。
常态与异态
常，是常规、常见、常识、常数、一般、习惯、典型等；异，是异常、异体、异议、特殊、例外等等。概率论的数理统计方法是属于求常的方法。它的统计量如平均、众数、期望、方差等等都是一批数据的共同性质。这一方法的指导思想是样本越多越好，样本越多，其平均值越接近总体的均值，从而有较大的可靠性，容易得出有代表性、规律性的研究结果。它适用于事物的常态预测。信息预测是提取信息的方法，是属于求异的方法，例如在信号处理上，就是提取为数不多的有用信息，再用加减运算来表达，这种方法可以预测某些突发事件的发生。
数与数学
《汉书？律历志上》说：“数者一十百千万也。”数为数学上最基本的概念之一。一般认为：“数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学。”①培根曾说过，数学是“通向科学大门的钥匙”。伽利略也说：“自然界中伟大的书是用数学语言表达的。”许多问题的研究都是从数学入手的，数学在实践中的应用又推动了数学的发展。牛顿力学推动了微积分的产生，爱因斯坦的相对论促进了微分几何的发展。翁老在数学应用方面也受益匪浅，在对天灾预测的探索中，就是从研究质数问题入手的。对质数研究，过去认为没有什么实用价值，但谁也没料到，质数研究在密码学中得到了应用。翁老通过对质数的加减运算，找到了一把“丈量”天灾的“尺子”。如果在质数问题上进一步探索的话，可能会找到一把破译无序世界的钥匙。
连续与不连续
关于连续与不连续的问题，我国古代哲学家早已有所认识。说明连续性的有《庄子？天下篇》中惠施（约公元前370-公元前310年）中的命题：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”否定连续性的《墨子？经下》中的命题：“必半，无（毋）非半不可也。”
②客观世界中的时间和空间都是连续的，需要定义原点和单位；许多物质和事件却是不连续的，如电子、细胞、婴儿、星球以及地震、暴雨、战役、革命等都是一个一个存在的，不存在半个或半次。现代数学中有许多分支，如解析数论、代数几何、微积分等，大都是与连续性有关的，主要适用于时间和空间问题。但是，对于可数物质和事件的发生和发展规律还研究得甚少。翁老认为，最基础的质数加减法问题也还没有完全掌握。
鼎革与创新
我们的知识永远在革新。正如《易？杂卦》所说：“革，去故也，鼎，取新也。”欧几里德是两千多年前的大数学家，但他对非欧几里德几何却一窍不通。和他去讨论概率论，他大概也会大惊小怪。爱因斯坦是现代的大科学家，与他解释模糊数学或灰色体系，可能也不十分容易。我们在这一知识迅速更新的时代，对于新知识可以有两种态度：
第一种态度是在博览群书之后，学习其中前人（特别是外国人）的部分精华，著书立说。 第二种态度是在博览群书之后，发现其中前人（特别是外国人）的一些错误或不足之处，创立新说，供后人学习。这一态度，意义深远，但困难重重。与其他人创新，你去学习，不如你去创新，供他人去学习。所谓创，颜师古说：“创，始造之也。”也正如《孟子？万章章句上》所说：“天之生此民也。使先知觉后知，使先觉觉后觉也。”翁先生希望人们采取第二种态度，先一步创新，以告后人，但必须有决心，去克服极大的困难。我们在读书研究过程中要敢于挑错，发现问题比什么都重要，这实际就是创新。研究的主要任务，至少可以有三种提法：读书为主；学习为主；求知为主。爱读书是最低层次的追求；学习他人的知识进了一步；善求知者层次最高。求知是人生的一个主要目的。但是求知是不易的，创新更加困难。这与固化在人们头脑中的“排中律”有关。排中律不仅在人们的头脑中根深蒂固。而且充斥在科学的许多领域和学科。中国有句老话叫“死马当成活马医”，其中有着非常深刻的哲学内涵。什么叫死、什么叫活，恐怕在医学界还没有定论。有的人认为人停止了呼吸就意味着死亡，但是如果及时进行人工呼吸等抢救措施，也许能“起死回生”；有的人说只要心脏停止了跳动了就可以断定人死了，但是，如果及时打一针强心剂或者使用起搏器也许能使心脏重新跳动。这就向我们提出一个问题，就是人在生死之间，存在着一个不死不活的状态，这种状态是极其复杂的。我们推而广之，世间的许多事情不是排中律所能解释的，而且大量的是处在“不死不活”状态。如果我们站在哲学的高度来审视这个世界，就会发现科学中的薄弱环节，甚至是错误的东西，这样才谈得上创新。创新的第一个困难在于过去学到的知识中，包括许多将来要被修正的错误。书读得越多，错误的知识也越多。一份今天考满分的考卷，到100年后，可能只能评50分。所以自己已学到的知识，可能就是创新的障碍。例如：一个硬币被投到桌面上多次，其中有a次正面向上，b次反面向上，问投到无穷次后，a与b之差，或a-b是几？这是一个偏叠加问题，也可以说成为：“醉汉散步问题”。
假设有一个醉汉，在一条无穷长的道路上散步，他每走一步向前或向后的机会相等，问他走了无穷步后，他在何处。这可能有三种答案：（1）在原地；（2）在无穷远；（3）在不定的某地。翁老认为他在无穷远，这是一个可能被有的老师打零分的答案。翁老用二项分布，推导了醉汉走了n步以后，可能离起步点的步数。又用计算机模拟证实。吕牛顿又推导出n为大数的近似公式，这样他也有被打零分的可能性，如果这个醉汉的位置离开计算值太远了，我们就提取出一条信息：“知道他不是真醉，而是假醉。这就是用“否定的否定”来提取信息的方法。这种方法用处广泛，效果良好。创新的另一个困难在于社会和学术界接受新知识有惰性和偏见。例如，伽利略发明了望远镜，使原来依稀若云的星空，清晰地出现在人类面前。他还发现了木星的四个卫星，但当时有些笃信（圣经）的人根本不相信这是真的，他们甚至不愿去看一看伽利略的望远镜，即使有人看了，也说：“这些好象是用魔术的符咒把新行星从天空咒了出来。”现实生活中，类似的情况也是常见的。例如，过去有一位科学家曾建议我国采用吹氧炼钢，但工业界不采用，等到国外广泛推广，我国方才引进“国外”先进科学技术，弥补国内空白。可惜这位科学家未能亲眼看到。还有，科技和教育制度，对创新的鼓励，也有很重要的关系。创新在于重新认识，如果我们认为已有的知识完全正确，那就没有必要创新，所以要重新认识一切，包括我们自己和世界。在最基础的数学世界中的三个概念（集合、公理、关系）中，都可以提出问题。在更具体的物理世界中的三个概念（物质、时间、空间）中问题更多，例如，时间和空间都有原点和单位的问题。1984年，翁文波先生预测世界石油年产量，结果得到的数值和以后数年的实际产量比较接近，关键问题是取1918年为时间的原点，10年为时间的单位，这些时间的原点和单位，接近人类石油工业发展的时间和步调。每个系统，都有适应于自己的时间和空间的原点，并且可能又随着时间和空间的变化而变化，相对论的一个观点可以认识为空间的原点是可以运动的。由于我们未能从认识到自己已有知识的可变因素，往往把应该创新的问题漏掉了，现代的许多实际运算中，时间和空间的原点都是不变的，我们不妨变他一变，可能会发现一些有意义的新现象。
（吕牛顿、张清编）
①《辞海》缩印本，上海辞书出版社，1980年版，第1473页。
②著斤（音酌），即斫、斩的意思，该句的意思是斫物必须是可分半的，如果不能分半就是不能斫的了。
