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第5章 奇妙丰富的数(1)

一些奇妙的数学关系

大家都知道(8+1)2=81。如果你留心这些数字的构成关系,自然会再想一想,还有没有类似的情况。比如:(5+1+2)3=512;(4+9+1+3)3=4913;(5+8+3+2)3=5832;(1+7+5+7+6)3=17576;(1+9+6+8+3)3=19683;(2+4+0+1)4=2401;(2+3+4+2+5+6)4=234256;(6+1+4+6+5+6)4=614656。此外,某些整数的乘积有一些奇妙性质。如86×8=688,其乘积恰好是把86中的6和8分别放在乘数的前面和后面,只不过是把86的先后顺序颠倒一下。83×41096=3410968,很容易看出是把3和8分别处在41096的前面和后面。类似83这样的数,除去86外,还有71。这些数位带有神奇特点。

哪些数字能被3、9、11整除

一个整数,判断它能否被3和9整除,一个简单的办法是:把它的各位数字相加,其和是3或9的倍数,那么这个数便可以被3或9整除。如4782各位数字之和是4+7+8+2=21,21能被3整除,但不能被9整除。如762813各位数字之和是7+6+2+8+1+3=27,可以被9整除,这表明它是9的倍数。

而判断一个整数能否被11整除,就相对难一些了。如果一个整数,它的奇位数字之和与偶位数字之和的差是11的倍数,便能被11整除,否则便不能被11整除。如198、2573、364925,由(1+8)-9=0;(5+3)-(2+7)=-1;(6+9+5)-(3+4+2)=11,这说明198和364925能被11整除;而2573则不能被11整除。如若不信,你不妨试一试,看是否如此。

0.618——具有无限美感的数字

0.618这个数值,数学史上称为黄金分割数或黄金比。下面是与0.618有关的一些事物,可见其美感色彩之一斑。

建筑物的门、窗通常均设计为长方形,其短边占长边的比值均为0.618,给人以一种稳定、和谐的感觉;著名的埃菲尔铁塔第二层平台的下面与上面的比,雄伟的多伦多电视塔阁覆楼的上部与下部长度的比也均为0.618;埃及基沙的第一座金字塔,高146米,底部边长230米,比值也与0.618相近,从而给人以雄伟壮丽、气势磅礴之感;意大利人菲坡斯发现,一般人肚脐以上与肚脐以下的长度比约为0.618,此外,头脑至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度比,以及膝盖至脚底的长与膝盖的长的比也是0.618。并不是所有的人都完全符合这个比值,但凡符合者都能给人以体态轻盈匀称之感。还有人发现,二胡的千斤放在琴弦长度的0.618处音色优美;冬季室温在23℃左右,居住者感觉舒适,其与人体体温的比值也恰恰接近0.618。真是神奇的0.618。

在没有“0”之前

符号“0”起源于古印度,早在公元前2000年,印度一些古文献便有使用“0”的记载。在古印度,“0”读作“苏涅亚”,表示“空的位置”的意思。可见,古印度人把一个数中缺位的数学称为“苏涅亚”。之后“0”这个数从印度传入阿拉伯,阿拉伯人把它翻译成“契弗尔”,仍然表示“空位”的意思。后来,又从阿拉伯传入欧洲。直到现在,英文的“cipher”仍为“0”的含义。

我国古代没有“0”这个数码。当遇到要表示“0”的意思时,也遵照很多国家和民族的通用办法,采用“不写”或“空位”的办法来解决。如把118098记作“十一万八千□九十八”,把104976记作“十□万四千九百七十六”。可见,当时是用“□”表示空位的。后来,为了书写方便,便将“□”形顺笔改作“0”形,进而成为表示“0”的数码。根据史料记载,到南宋时期,当时的一些数学家已开始使用“0”来表示数字的空位了。

零就是无吗

数学上的“零”是对任何定量的否定,表示没有。但从辩论观点来看,它又具有丰富的内容:

1.在十进制记数中,把它放在一个自然数的右边,就使该数成10倍、100倍、1000倍的增大;在一个近似数(小数)的最右边放上0,表示这个近似数的精确度。如0.650表示精确到千分位,而0.65则表示精确到百分位。

2.零是正数与负数之间的界限,既不是正数,又不是负数,是惟一真正的中性数。

3.在代数运算中,一个方程的实质,只有当方程所有项都移到一边,而另一边为零时,才能清楚地显现出来。

4.在解析几何中,零是一个特定的坐标原点,它决定着其他点的选取和性质。

5.在现实生活中,零还有开始的意思,比如我们常说的“一切从零开始”,又比如过年时,除夕的晚上12点钟又称为零点,这便是一年开始的意思。我们常听的天气预报,总是说零下几度、零上几度,零在这里表示一定的临界。总之,零的用处有许多。随着知识的越来越多,你还会发现零的许多其他妙用呢!

十进制与人的10个手指头

人的手指头有时候是最好的计算个数的工具。当你数完8、9、10就该数11了,11就是10加上1,这叫做十进位制的记数方法。但你可曾知道,十进位制的来历是因为人长有10个手指头。

古时候,人类还没有发明文字,也没有算盘,计算物品的数目都是靠人的10个手指头。但是,用手指头记数的时候,最多能记到10。大于10的数就需要做个记号,用绳子打上结,打几个结表示几个,大结表示大的,小结表示小的;或者在石头、木头上画道,画几道表示几个。然后再扳着手指头从头数起,数到10时,再做个记号。然后还是扳着手指头从头数起……这样也就逐渐形成了记数的十进位制。

所以,人的手指的数目在人类数学文化的发展起了相当重要的作用。

电话号码中的学问

电话号码是一种代码,它是由数字组成的。每一部电话机都要有一个代号,不能和别的电话一样,这样打电话才不会打错。不同的国家和地区,电话号码的位数也不尽相同,这其中还有一些学问在里边。

如果用一位数字做代号,从0到9只能有10个不同的号码,再多就会重复。要是用两位数字做代号,把两位数颠来倒去地排,比如12、21、13、31……这样只可以安装100部电话。要是用三位数字,就可以排出1000个代号,那就能安装1000部电话。要是用六位数字就可以排出100万个代号。在大的城市或地区,需要安装很多很多电话,现在连六位数都不够用,已经有七位、八位数字的电话号码。而且,在很多单位里,一个电话号码的总机下面又带有很多分机。

其实,随着数字位数的升高,可以排出的电码增加是利用了数学中的排列组合原理。

为什么篮球队里没有1、2、3号队员

熟悉篮球运动的人都知道,在篮球队里,是没有1、2、3号这三个号码的队员的。这是为什么呢?

原来,篮球队里没有1、2、3号队员的原因主要是与比赛中裁判员的手势有关。在球类比赛中,罚球的情况比较多,篮球比赛也不例外。在篮球赛中,一次最多要罚三次球。当需要罚一次球时,裁判员要举起右手并伸出一个手指;罚两次球时伸出两个手指;罚三次球时出三个手指。但是,当一方球队的队员在比赛中犯规时,裁判员也要伸手指来表示犯规队员的号码。所以,为了避免引起误会,篮球队员的号码便从4号开始了。

在我们人类的一切活动中,包括体育运动,用手指示数是一种最简单明了的方法。但有时这种表示方法所表达的含义是很有限的。所以,当容易产生误会时,只好更换表达方式或是舍去不用,就像篮球队里舍去1、2、3这三个号码一样。

篮球比赛

数的家族

1、2、3、…;1/2、4/5、11/3、…;-3、-8、-11、…;2、π、e、…这些各种各样的数,都有自己的“身份”,它们共同组成数的家族。

第一组成员是正整数。小时候扳手指头学会的1、2、3、…就是正整数。这也是我们祖先最早认识的数。

第二组成员是分数。5个人分3个苹果,古人最初是这样做的:把一个苹果分成相同的五份,每人取一份,即1/5;对另两个苹果做同样的分配,最后每个人得到3个1/5,即3/5。分数的记载最先出现在4000多年前的古埃及纸草书中。

零的出现比较晚。在公元前200年,希腊人已有零号的记载。

负数在中国的西汉时期已经萌芽,并最先作为数学的研究对象出现在公元1世纪的《九章算术》中。

正整数、零和负整数就构成了全体整数。正分数和负分数构成了全体分数。整数和分数又统称为有理数。每个有理数都可以表示成两个整数的比。不能表示成两个整数的比的数称为无理数。无理数要比有理数多得多。有理数和无理数又统称为实数。这就是整个数的家族。

奇特的自然数

0、1、2、3、…这些人人熟悉而又简单的自然数,有着许多奇妙有趣的性质。

1930年,意大利的杜西教授作了如下的观察:在一个圆周上放上任意两个数,例如8、43、17、29,让两个相邻的数相减,并且总是大的减小的,如此下去,在有限步之内,必然会出现四个相等的数。

三位数也有奇妙的性质。任取一个三位数,将各位数字倒着排出来成为一个新的数,加到原数上,反复这样做,对于大多数自然数,很快就会得到一个从左到右读与从右到左读完全一样的数。比如从195开始:195+591=786786+687=14731473+3741=52145214+4125=9339。

只用四步就得到了上述结果。这种结果称为回文数或对称数。但是,也有通过这个办法似乎永远也变不成回文数的数。其中最小的数是196,它是被试验到5万步,达到21000位时,仍然没有得到回文数。在前10万个自然数中,有5996个数像196这样似乎永远不能产生回文数,但至今没有人能证实或否定这一猜测。在研究数的各种性质中,有许多既有趣又困难的问题,科学家们正努力加以解决。

小数的历史

有了小数之后,记数就更方便了。如圆周率近似值3.1416,若用分数表示,就得写成3927/1250,很麻烦。有位著名的美国数学史家说:“近代计算的奇迹般的动力来自三项发明:印度记数、十进分数(小数)和对数。”

在西方,一般认为小数是比利时数学家斯蒂文发明的。但最早使用现代意义的小数点的是德国数学家克拉维斯。

实际上,早在斯蒂文发明小数点之前很久,中国、印度和中亚就已经使用十进分数了。

公元3世纪,我国魏晋时期刘徽的《九章算术》中,有三处运用了十进分数的思想:十一万八千二百九十六二十五(118296.25),八十九三(89.3),一百一十九十二(119.12)。这种写法和西方直到19世纪仍在流行的小数记法,几乎完全相同。到了宋元时期,更有下列论法:中亚的阿尔卡西是世界上除中国人之外第一个应用十进分数的。他的用法体现在他1427年的《算术之钥》一书中。

不论是东方还是在西方,对小数的认识都经过了几百年甚至上千年的演变。

负数的产生

今天人们都能用正负数来表示相反方向的两种量。例如以海平面为0点,世界上最高的珠穆朗玛峰的高度为+8844.43米,最深的马里亚纳海沟深为-10911米。在日常生活中,则用“+”表示收入,“-”表示支出。在历史上,负数的引入经历了漫长而曲折的历程。

古代人在实践活动中遇到了一些问题,如相互间借用东西,对借入和借出双方来说,同一样东西具有不同的意义。分配物品时,有时暂时不够,就要欠一定的数量。再如从一个地方,两个人同时向两个方向行走,离开出发点的距离即使相同,但两者又有不同的意义。久而久之,古代人意识仅用数量表示一事物是不全面的,似乎还应加上表示方向的符号。为了表示具有相反方向的量和解决被减数大于减数等问题,逐渐产生了负数。

中国是世界上最早认识和应用负数的国家。早在2000年前的《九章算术》中,就有了以卖出粮食的数目为正(可收钱),买入粮食的数目为负(要付钱),以入仓为正,出仓为负的思想。这些思想,西方要迟于中国八九百年才出现。

虚数不虚

“虚数”这个名词,听起来好像“虚”,实际上却非常“实”。

虚数是在解方程时产生的。求解方程时,常常需要将数开平方。如果被开方数不是负数,可以算出要求的根;如果是负数怎么办呢?譬如,方程x2+1=0,x2=-1,x=±-1。那么-1有没有意义呢?1637年,法国数学家笛卡尔开始用“实数”、“虚数”两个名词。1777年,瑞士数学家欧拉开始用符号i=-1表示虚数的单位。而后人将实数和虚数结合起来,写成a+bi形式(a、b为实数),称为复数。

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