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第6章 奇妙丰富的数(2)

由于虚数闯进数的领域时,人们对它的实际用处一无所知,在实际生活中似乎也没有用复数来表达的量,因此在很长一段时间里,人们对虚数产生过种种怀疑和误解。笛卡尔称“虚数”本意是指它是虚假的;莱布尼兹在公元18世纪初则认为:虚数是美妙而奇异的神灵,它几乎是既存在又不存在的两栖动物。挪威一个测量学家维塞尔提出把复数a+bi用平面上的点(a、b)来表示。后来,高斯又提出了复平面的概念,终于使复数有了立足之地。现在,复数一般用来表示向量(有方向的数量),这在水利学、地图学、航空学中的应用是十分广泛的。虚数越来越显示出其丰富的内容,真是“虚数不虚”。

无限大与无限小的概念

无论是实数还是复数,都有确定的量值。换句话说就是我们通常碰到的事物是有限的,总可以用这些数来计量的。

人类在长期认识过程中,又逐渐产生两个新的概念。最早的时候,人们将整个宇宙理解为地球,航海学测量地球半径为6370千米,对人来说,那是一个非常大的数。16世纪,哥白尼的“日心说”又将宇宙扩大到以太阳为中心的太阳系,太阳系的半径为60亿千米,约是地球半径的94万倍。地球与之相比只是沧海一粟。随着科学技术的发展,人们借助射电望远镜,又将宇宙范围扩展到银河系、星系团、超星系团以至总星系。这些星系的半径都是数百万光年(光年即光走一年的路程,大约94600亿千米)以上,这个数字简直是无法把握的。这样就出现了无限大的概念,数学上记为∞。它的含义是比任何实数都大的数,这个数当然是虚拟的,不是一个确定的数。

在微观世界,人类的认识也从分子到原子,从原子到原子核。原子核直径约为10-13厘米,原子核还可以分解为质子、中子,它们的直径更小。这一分解过程得以无穷尽地进行下去,这样就带来了无限小的概念。

无限大、无限小的含义已经涉及数的变化趋势了,这里从确定量到变量过渡中产生的数,是微积分的基础。

有理数与无理数的探索

平易近人的有理数

以正有理数来说,0表示什么也没有或出发点,自然数列1、2、3、…,表示从1开始一个一个地多起来;或者说从0开始,每个整数有唯一的一个“后继”,这些都是我们日常数物件(例如清点教室里有几张桌子)时的自然概念。而分数,例如表示把一块饼平均切成9小块,取其中4小块的部分之多少等等。可见有理数是可以看得到,容易理解的数量,所以当初数学上命其名为“有理”数。

如果把有理数用十进制(二进制等也是这样)表示,用有限个数字即可表达,例如3030,1.5,0.1989等等。它们能方便地用可视的有限数字精确地表示出来。

有理数集合中的数可以编号,谁是1号有理数,谁是2号有理数等,可以人为地加以指定。下面给出一种编号方案,我们把以q为分母的既约分数pq(p>0,q>0)排成无穷的方阵,每横行分母一致,分子从小到大排列,方阵中囊括了一切正有理数,再按箭头所示的次序来编号,1编成1号,2为2号,p112=12是3号等,于是每个正有理数迟早都会获得惟一的一个指定的号码。再把0编成0号,把这些号码皆乘以2,把得到的新号码2k(皆偶数)减1所得的奇数码赋予与带有2k码的那个有理数相反的数,例如12的号码是2×3=6,6-1=5则是-12的号码,如此,全体有理数皆编了序号0,1,2,…。与全体无理数相比(下面要细讲无理数不可编号),有理数全体的这种可以有序化或曰“可数性”是有理数名副其实的一个“有理”的表现。

神出鬼没的无理数

无理数也有无穷多个,例如

0.112123…123…k…k个相异数(1)

是一个无理数a1,它无限又不循环。若把(1)中的数字1全擦掉则得a2,a2也是无理数,把a2中的数字2全擦掉,则得无理数a3,如此可以得出无穷个无理数,这部分无理数a1,a2,…,an与全体有理数可以一一对应,a1与0号有理数是一对,a2与1号有理数是一对,…,αk-1与k号有理数是一对,可见无理数的一部分已经和全体有理数一样多。

无理数集合中的元素不可编号。这只需证明(0,1]中的实数不可编号。用反证法,若可以把(0,1]中的实数编号成t1,t2,…,tn,…,其中

t1=0.t11t12t13…

t2=0.t21t22t23…

tn=0.tn1tn2tn3…

其中tij∈{0,1,2,…,9},i、j是自然数,且每个ti中的右端有无限个数字不是零。例如0.5则写成0.499…9…。观察对角线上的数字列t11,t22,…,tnn,取

ai=2,tii=1

1,tii≠1

则十进小数

a=0.a1a2…an…∈(0,1]

且a∈{t1,t2,…,tn},此与(0,1]中的全集实为是{t1,t2,…,tn}矛盾,可见(0,1]内的全体实数不可编号。

若(0,1]中全体无理数可以编号为β1,β2,…,βn,又知(0,1]中的全体有理数可以编号为γ1,γ2,…,γn,考虑数列

γ1,β1,γ2,β2,…,γk,βk(2)

则(0,1]中的全体实数可按(2)的次序编码,与上述证明出的事实相违,至此知(0,1]中的全体无理数进而实数集中的全体无理数不可编号。

无理数们的这种不可数性是它们的一种“无理”表现。从无理数不可数(编号)可知无理数比有理数多得多,通俗地说,有理数可以一个一个地数,而无理数则多得不可胜数。

有理数是米,无理数是汤

如果把实数轴(集)比喻成一锅黏稠的粥,则可数的有理数们是一粒粒离散的米粒,它们在数轴上处处稠密,事实上,若γ0是一个实数,设γ0是有理数,则γ0的任意近旁,γ0±1n(n≥1,n∈N)是两个有理数;若γ0是无理数,则

γ0=γ0+0.β1β2…βn(3)

其中0.β1β2…βn是无理小数,γ0是有理数,于是

γ0′=γ0+0.β1β2…βn(4)

是γ0近旁的一个有理数,|γ0-γ0′|<110n。可见数轴上任一点的任意近旁都有有理数存在,即有理数处处稠密。类似地可知无理数在数轴上处处稠密。有理数们处处稠密地离散地浸泡在无理数的“汤”里。

具有神秘色彩的“9”

爱因斯坦出生于1879年3月14日,把这些数字连在一起,就成了1879314。重新排列这些数字,任意构成一个不同的数,例如3714819,在这两个数中,用大的减去小的(3714819-1879314=1835505)得到一个差数。把差数的各个数字加起来,如果是两位数,就再把它的两个数字加起来,最后的结果是9(即1+8+3+5+5+0+5=27,2+7=9)。实际上,把任何人的生日写出来,做同样的计算,最后得到的都是9。

把一个大数的各位数字相加得到一个和;再把这个和的各位数字相加又得到一个和;这样继续下去,直到最后的数字之和是一位数字为止。最后这个数称为最初那个数的“数字根”。这个数字根等于原数除以9的余数,这个过程常称为“弃九法”。求一个数的数字根,最快的方法是加原数的数字时把9舍去。例如求385916的数字根,其中有9,且3+6,8+1都是9,就可以舍去,最后剩下就是原数的数字根。

由此我们可以解释生日算法的奥妙。假定一个数n由很多数字组成,把n的各个数字打乱重排得到n′,显然n和n′有相同的数字根,即n-n′一定是9的倍数,它的数字根是0或9,所以,只要n≠n′,n-n′累积求数字和所得的结果就一定是9。

友好的亲和数

亲和数又叫友好数,它指的是这样的两个自然数,其中每个数的真因子和等于另一个数。据说曾有人问毕达哥拉斯(公元前6世纪的古希腊数学家):“朋友是什么?”他回答:“就是第二个我,正如220与284。”为什么他把朋友比喻成两个数字呢?原来220的真因子是1、2、4、5、10、11、20、22、44、55和110,加起来得284;而284的真因子的1、2、4、71、124,加起来恰好是220。284和220就是友好数,它们是人类最早发现的又是所有友好数中最小的一对。

第二对亲和数(17296,18416)是在2000多年后的1636年才发现的。之后,人类不断发现新的亲和数。1747年,欧拉已知道30对。1750年又增加到50对。到现在科学家已经发现了900对以上这样的亲和数。令人惊讶的是,第二对最小的友好数(1184,1210)直到19世纪后期才被一个16岁的意大利男孩发现。

人们还研究了亲和数链:这是一个连串自然数,其中每一个数的真因子之和都等于下一个数,最后一个数的真因子之和等于第一个数。如12496,14288,15472,14536,14264。有一个这样的链竟然包含了28个数。

有趣的素数

素数是只能被1和它本身整除的自然数,如2、3、5、7、11等等,也称为质数。如果一个自然数不仅能被1和它本身整除,还能被别的自然数整除,就叫合数。1既不是素数,也不是合数。每个合数都可以表示成一些素数的乘积,因此素数可以说是构成整个自然数大厦的砖瓦。

许多素数具有迷人的形式和性质。例如:

逆素数:顺着读与逆着读都是素数的数。如1949与9491,3011与1103,1453与3541等。无重逆素数,是数字都不重复的逆素数。如13与31,17与71,37与73,79与97,107与701等。

循环下降素数与循环上升素数:按1~9这9个数码反序或正序相连而成的素数(9和1相接),如43,1987,76543,23,23456789,1234567891。现在找到最大一个是28位的数:1234567891234567891234567891。

由一些特殊的数码组成的数,如31,331,3331,33331,333331以及3333331,33333331都是素数。

素数研究是数论中最古老、也是最基本的部分,其中集中了看上去极简单,却几十年甚至几百年都难以解决的大量问题。

为什么1不是素数

全体自然数可以分成三类:一类是素数(也叫做质数),如2、3、5、7、11、13、17、…;另一类是合数,如4、6、8、9、10、…;“1”既不是素数,也不是合数,而是单独算一类。素数只能被1和它本身整除,而合数还能被其他的数整除。例如合数6,除了能被1和6整除以外,还能被2和3整除,所以,把素数和合数分成两类的理由很充足。“1”也只能被1和它本身整除,为什么不是素数呢?如果把“1”也算作素数,那么,自然数只要分成素数和合数两类,岂不更好吗?

要回答这个问题,得先从为什么要讲素数谈起。比如说,3003能够被哪些数整除?也就是说,3003的因子有哪一些?当然,我们可以把1到3003的各数一个一个地考虑一番,但是,这样做十分费事。我们知道,合数都可以由几个素数相乘得到,把一个合数用素因子相乘的形式表示出来,叫做分解素因子。显然每一个合数都能够分解素因子,而且只有一种结果。就拿3003来说,分解素因子的结果是:3003=3×7×11×13。现在我们再来看看,为什么不把1算作素数?

如果“1”也算作素数,那么,把一个合数分解成素因子的时候,它的答案就不止一种了。也就是说,我们在分解式里,可以随便添上几个因子“1”。这样做,一方面对于求3003的因子毫无必要,另一方面分解素因子的结果不止一种,又增添了不必要的麻烦,因此,1不算作素数。

对数的发现

对数的第一个发明者是纳皮尔。他从大约40岁开始研究对数。当时(约1590年)欧洲代数学十分落后,连“指数”、“底数”这些概念还没有建立,可纳皮尔却首先发明了对数,这不能不说是数学史上的一个奇迹。

关于对数的问题,纳皮尔是这样考虑的:设线段TS长度为a,T′S是一条射线。质点G从T开始作变速运动,其速度与它到S的距离成正比。质点L从T′开始做匀速运动,其速度与G的初速相同。当G运动到G点时,L运动到L点,设GS=x,T′L=y,纳皮尔称y为x的对数。纳皮尔从几何角度引入了对数的概念,但为了方便计算,应加以改进。可惜改进计划还没开始,纳皮尔就离开了人世。

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