懦夫博弈与混合策略
假如你正被敌人追击，面临着生命危险，当逃到一个农家小院时，你发现院子里有一个箱子，还有一堆稻草，这时敌人已经要追上你了，你是选择躲进箱子，还是选择钻进稻草堆呢？可能你想到钻进稻草堆会比较容易被发现，因为稻草堆面积大很显眼，但敌人也可能恰好就忽略了这一点；你也许可能会选择钻进箱子，因为箱子毕竟体积比较小，不易被敌人注意，但敌人也有可能一眼就对箱子产生了怀疑。于是，你无法决定藏进稻草堆还是躲进箱子，敌人也不会立即就发现你到底躲在哪里，所以大家都在碰运气。
如此的情况在现实生活中屡见不鲜，其实这正是混合对策情形。前边我们已经讲过“懦夫博弈”，在“懦夫博弈”中，我们曾经提到过两位司机争当勇士的例子。其实，这个例子当中也包含了混合策略。如果你是其中的一方，你会做出什么样的选择呢？是退让还是继续前进？结果并不是简单的选择，而是应该通过对方的决定来选择自己下一步应如何应对，也就是说对方的转向与否影响着你的选择。但是你不能肯定对方是否真的会转向，你只能猜测对方转向的可能性是多少，因为对方在这一博弈中也在揣摩你的选择。
如果你估计对方转向的可能性为50%，继续前进的可能性也是50%，我们试析一下你转向与向前分别有多少利益可言。
首先，当你选择转向的时候，你可以有如下预期利益：
1×50%+(-2)×50%=-0.5；
其次，当你选择继续向前的时候，你可以有如下预期利益：
2×50%+(-4)×50%=-1。
可见，当对方转向与继续向前的可能性都是50%的时候，你选择转向可以减小损失。
如果对方是一个聪明的人，他一定也在猜测你的心理。如果他按照同样的方式推算的话，既然你的最佳选择是转向，那么对方就不用再转了，继续向前成为他的最佳选择。但概率往往不会是我们预计的50%，我们再试分析一下其他的情况。
假如说你认为对方转向的可能性为70%，向前的可能性为30%，那么你转向与继续向前分别有多少利益呢？
首先，当你选择转向的时候，你有如下预期利益：
1×70%+(-2)×30%=0.1；
其次，当你选择继续向前的时候，你可以有如下预期利益：
2×70%+(-4)×30%=0.2。
可见，在这种情况下，你选择向前可以得到0.2的利益，而选择转向可以得到0.1的利益，所以继续向前是你的最好选择。虽然我们得出了继续向前的结论，但我们无法肯定对方会100%转向，除非我们可以推测对方转向的概率为100%，而不是我们估计的70%。
那么，在什么情况下才能恰好让双方的估计，同由此估计出发的行为结果趋于一致呢？如果二者趋于一致，那就达成了“纳什均衡”状态。
假设对方选择转向的概率为q，那么他继续向前的概率就为1-q。这时你所做出选择的预期盈利为：
首先，当你选择转向的时候，你的预期利益为：
1×q+(-2)×(1-q)=3q-2；
其次，当你选择继续向前的时候，你的预期利益为：
2×q+(-4)×(1-q)=6q-4。
倘若对方真的以概率q选择转向，那么他就不会始终重复地选择某个策略，而他这样做的条件为，你也必须在你的两个策略之间进行随机选择。
那么如何才能使你在两个策略之间进行随机选择呢？那就是两种选择所导致的利益完全相同的情况。也就是：
3q-2=6q-4的情况，所以，通过这个简单的方程我们可以得到以下的结果：q1=2/3；那么1-q1=1/3。
这样，我们可以发现司机如果以2/3的概率选择转向，而以1/3的概率选择继续向前，你在自己的两个策略之间无法采取纯策略，所以我们可以知道对方采取的混合策略为：(2/3，1/3)。
同理，对方也会对你的行为做出估算，从而得出对方的预期盈利，假设你以p为转向概率，则会有：
首先，当你选择转向的时候，他的预期利益是：
1×p+(-2)×(1-p)=3p-2；
其次，当你选择继续向前的时候，他的预期利益是：
2×p+(-4)×(1-p)=6p-4。
同理，当3p-2=6p-4的时候，p1=2/3，1-p1=1/3。
此时，你采取的混合策略可记为：(2/3，1/3)。
因为你与对方都以2/3的概率选择转向，以1/3的概率选择继续前进，所以，二者之间刚好构成了一个“纳什均衡”的状态。互为对彼此的最优反应，这就是混合策略的“纳什均衡”。
由此，我们可以计算出双方出现各种情况的概率。
首先，你与对方都选择转向的概率为：2/3×2/3=4/9；
其次，你与对方都选择继续向前的概率为：1/3×1/3=1/9；
再次，你选择继续向前而对方选择转向的概率为：1/3×2/3=2/9；
最后，你选择转向而对方选择了继续向前的概率为：2/3×1/3=2/9。
从以上的结果我们可以发现，在懦夫博弈中，双方都选择做懦夫的概率要相对高一些，而出现车毁人亡的概率还是很小的。
股市的故事——混合策略中的随机
话说在西牛贺洲西面的海上，有一座鸟岛。岛上住着很多麻雀和数量很少的猫头鹰。鸟岛的经济发展水平虽然不是很高，却在很久以前就有了一种叫做“鸟元”的货币在流通。现在鸟岛上在大量引进电脑，准备与国际接轨，一步到位，进入最先进的互联网时代。
不知从何时起，麻雀们之间开始流行一种“翻牌游戏”。每次游戏前，玩家把一鸟元扔进一个被称为“股市”的盒子中，换取两张牌，一张上面写着“买”，而另一张写着“卖”。在游戏过程中，每位麻雀任取一张牌扣在桌面，然后同时翻开，计算买牌和卖牌的比例，据此从股市中分钱。分钱的办法其实很简单，任谁一看就懂。举个例子，假如翻出80张买牌，20张卖牌，那么每个出卖牌的麻雀可以拿到80/20=4鸟元，而每个买家只能拿20/80=0.25鸟元。买牌和卖牌的比例，鸟儿们叫“股价”。
这里有个非常小的问题：如果大家都不约而同地出买牌或都出卖牌，事情的结果将会怎么样？麻雀们规定，这时所有钱都给一个叫作“市商”的麻雀。那么，有谁来当市商呢？由游戏前的抽签决定。
这个游戏，最早是由几个极有开拓精神的麻雀到极西海边的米猴岛做生意时学来的，据说这对搞活经济很有帮助。最开始的时候，还只在小圈子里玩，输赢也不大，但也不能避免有人赔，有人赚。而好消息通常比坏消息跑得快也传播的范围广。“有人玩股赚了很多钱啊！”闲谈议论中，传言很快流传到了每只麻雀的耳朵，越来越多麻雀们的神经得到了刺激。因此有很多新的鸟儿投入这游戏，股市的规模变得越来越大，输赢的数目也得到了很大的提高。有几只鸟在股市中大赚鸟元，变成了百万富鸟。甚至还有消息称，西边米猴岛正是因为玩股变成了世界首富，于是股市一直被神奇的光环笼罩着。鸟儿们玩股的激情一浪高过一浪，成千上万只麻雀被卷了进去。
后来电脑和互联网介入了股市，参加股市的鸟儿们达到了空前规模。投入的鸟元更成了天文数字。每只鸟儿，都期待着能够狠狠地赚一笔。可是，事情让很多人感到奇怪：开牌出来，买牌和卖牌的比例差不多相等，股价刚好等于1。刚开始还以为是偶然的巧合。然而以后次次开牌，股价总是与1非常接近，没什么大的波动。这是怎么回事呢？鸟儿们百思不得其解。他们大多不懂概率统计，以前可能学过那么一点，也给忘的无影无踪了，自然不太了解，这其实是代数定理的必然结果。
于是鸟儿们就去找向猫头鹰求助，看赢钱的妙方到底是什么。
猫头鹰的书房堆满了好多种书籍，例如《经济计量学》、《时间序列模型》、《技术分析理论》等。其中有很多书是猫头鹰从极西米猴岛引进的，甚至有的书就连米猴岛的大口托儿们也看不懂。麻雀们个个都非常佩服，态度虔诚。
当然，猫头鹰们也非常愿意麻雀们来求助，这样它们的高深学问才有机会派上大的用场。而收点顾问费或咨询费是很自然的事情，不过麻雀们是很乐意花这点小钱的。因为猫头鹰们承诺，可以帮助它们在股市上赢得数十倍，甚至数百倍的回报。它们为此讲了许多关于米猴岛的故事，都是大口托儿们如何在股市上神机妙算、大展身手的事迹。这些故事对麻雀们来说是非常新鲜的，它们直听得目瞪口呆，跃跃欲试。
刹那间，鸟岛上所有的猫头鹰都成了大口托儿，身后都跟着一大拨儿雀儿，每个雀儿都认为自己选定的顾问是国内顶尖、国际一流的。
开牌的日子很快就到了。曾经信誓旦旦的猫头鹰们发觉自己仍然不知道股市翻牌的结果会怎样。不过顾问已经当了，咨询费也已经收了，根本没有半途而废的道理，何况也不能让自己太没有面子了。于是，在开牌的前天晚上，它们在书房里扔硬币儿。如果正面朝上，就告诉信徒们出买牌，否则就出卖牌。麻雀们毫不怀疑自己的猫头鹰顾问，当然也会按照它们说的去做。
开牌之后，有人欢喜有人愁。赢了的麻雀自然异常兴奋，认为咨询费交得值。
而输了的麻雀则发现所谓的大口托儿，并没有真才实学，无奈之余，只好埋怨自己跟错了鸟，立即决定换一个猫头鹰作顾问。几轮下来，很多总是预测不对的猫头鹰顾问被淘汰掉了。而雀儿们也发现，有些猫头鹰的预测几乎每次都是正确的，才华过鸟；有些则很普通，甚至还不如麻雀自己预算得正确。
有一个叫“学问”的麻雀。它的顾问是一个名叫“瞎撞”的猫头鹰，已经连续十次做出了非常准确的预测。学问先生是一只很有知识的鸟，年轻的时候也曾学过一点概率统计的知识。它知道，这个世界虽然充满偶然，但不能否认的是，什么都有可能发生。准确的预测，也有可能是运气的结果，与才学和能力并没有什么必然联系。那么，怎么才能判定一只鸟究竟有没有预测才能呢？必须运用概率统计中的假设检验办法才可以。于是，它决定利用科学的假设检验法，来测试一下瞎撞先生是不是真有鸟所达不到的预测才能。
它认真地重新学习了一遍概率统计课程，先做出它的零假设：瞎撞先生的确是在瞎猜。然后再检查这个假设是否能够被推翻。学问先生计算到，根据零假设，瞎撞先生在买和卖两种可能性之间选择其一，预测正确的概率是二分之一；连续十次都正确的概率，则是二分之一的十次方，即一千零二十四分之一。它发现，这只是个概率低于千分之一的小概率事件，几乎是不可能的。于是，根据概率统计理论，零假设便在千分之一的水平上被推翻。也就是说，我们可以在百分之九十九点九以上的信心水准上，接受反面的假设：能够连续十次猜中，根本不可能是瞎猜的结果。
学问先生的科学检验很快就传播开来，麻雀们开始相信，现在这些顾问们的预测才能，已经可以被相信了。
但是下一次开牌，不可避免的是仍有一些猫头鹰大口托儿会猜错。猜错了毫无疑问会被淘汰。但现在吸引它们注意的，是越来越让人振奋的股市——随着猫头鹰顾问数目在逐渐减少，股价波动也愈来愈烈，每次的输赢就变得越来越大。每次开牌后，一批千万富鸟甚至亿万富鸟就会应运而生，在众鸟簇拥下内心得到极大满足。股市活了！它们不明白股价波动其实是大数定理失效的结果。不过它们不在乎。
它们在乎的是股市中蕴藏着的无限机会。它们要抓住机会，发掘宝藏，为此它们疯狂地追逐那些能够做出成功预测的大口托儿们。而一些经常预测中的猫头鹰们，大腹便便，气宇轩昂。另外它们还撰写着作，从《股市必胜术》直到《股市预测学教程》，上市不久即能销售一空。
但是不久之后，成功的顾问仅仅剩下一个，即我们都非常熟悉的瞎撞先生。于是，所有的鸟儿们都把瞎撞先生的话当成了圣旨。“卖！”，瞎撞先生一声令下，全体雀儿们都没有异议。但结果所有雀儿都血本无归。
后来，瞎撞先生写了一本总结经验教训的书，书名是《关于某某年股市大崩盘的若干历史问题》。他认为，鸟儿总是免不了会犯错误的，只要前一段时间犯的错误较少，而且有知错就改的信心和勇气，就是伟大的正确的顾问。这个理论得到了很多大口托儿的极力支持，并很快被广泛接受。雀儿们在大口托们的教导下，明白了不能强求顾问们永远正确的道理。于是，一大批久经考验的猫头鹰重新做起了顾问的工作。
之后，随着正确率的上升和下降，顾问们也换了一批又一批。但股市依旧是变幻莫测。这所谓：“鸟岛代有大口出，各领风骚三五年。”
世界上的许多事情都是不确定的，结果都不会是唯一的。
我们都曾经玩过剪子、包袱、锤的简单游戏，其实这个游戏就是一个简单的博弈。有人可能会利用心理学方面的知识来揣测对方下一次该出什么，但对于出手毫无章法的人来说，他们简直没有办法。可见利用随机策略进行博弈也是一种不会被对手看透的方法。
猜拳也是一样。行拳的人每人都可以伸出1～5个指头，并在同时喊出1～10中的任意一个数字，如果一方叫出的数字恰好等于两人伸出的手指之和，而另一方并没有喊对，那么猜对的人胜利，喊错的人罚酒。如果你总是伸出同样的手指，喊出同样的数字，那么对方很容易掌握你的规律，进而很轻松地战胜你。如果你不希望对手看穿你的心思，你可以采用随机的策略，让对方没有规律可循，那样他就没有胜利的把握了，而你也可以在随机的博弈中有50%的胜出概率。
解决问题的最好方法就是不去想如何去解决问题。正如很多武侠小说中的“无招胜有招”，想怎么做就怎么做，哪怕是忽然间的一个念头，不需要理由，随机策略就是这样！
酒吧会有多少人
酒吧问题(barproblem)是美国人W.B.Arthur1994年在《美国经济评论》发表的题为《归纳论证和有界理性》一文中提出的，然后他又在1999年的《科学》杂志上发表的《复杂性和经济学》一文中进一步加以阐述。该博弈是说：有一群人，共有n个，例如n=100，每个周末，他们均要决定是去同一个酒吧进行娱乐消费还是待在家里什么也不做。酒吧的容量是有限的，假定是60人。如果某人预测去酒吧的人将会超过60人，那么他决定去还是不去？其实，每个参与者都是用以往去酒吧的人数作为参照，做出决定。这是一个典型的“动态博弈”问题。通过计算机的模型实验，阿瑟得出了一个有意思的结果：不同的行动者是根据自己的归纳来行动的。并且，去酒吧的人数没有一个固定的规律。然而，经过一段时间以后，去的平均人数总是趋于60。阿瑟认为，预测者自组织了去与不去人数的一个均衡系统，或形成了一个动态稳定系统，这就是酒吧问题。
