导语：
《孙子算经》被誉为中国古代数学的三部经典之一，它收录了诸如“雉兔同笼”、“物不知数”、“三女归宁”等一系列千古流芳的名题，并为这些题目提供了巧妙的解答方法。这一次，就让我们从这些名题开始，重拾《孙子算经》遗留给我们的智慧宝藏。
“原题”
今有雉、兔同笼，上有三十五头，下九十四足。问雉、兔各几何？（选自《孙子算经》31卷下）
“译文”
现有若干只鸡、兔被关在同在一个笼子里。上有35个头，下有94只脚。问鸡、兔各有多少只？
“解答”
《孙子算经》针对这一题做出了非常巧妙的解答“术曰：上置头，下置足。半其足，以头除足，以足除头，即得。”把这一解法列成算式即是：兔子的只数=94÷2-35=12只，再用35-12=23只，即求出了鸡的数量。
这一解法的巧妙之处即在于它假设了一种特殊的情况——鸡、兔的脚数都减少一半，也就是想象每只鸡都“金鸡独立”，而每只兔子都抬起2只前爪。这样，地面上出现脚总数的一半，也就是94÷2=47.如果我们把47看做两种动物的头数，那么鸡的头数算了一次，而兔子的头数却算了两次，因为当鸡抬起一只脚，它的脚数与头数相等，而当兔子抬起前主爪之后，脚数却为头数的两倍，也就是说，每有一只兔子，（一半的）脚数便要比头数多1.因此从47中减去总头数35，得到的是兔子头数。再用总头数减去刚刚算出的兔子的数量，便得出了鸡的数量。
假设一种特殊情景，只通过一次除法和两步减法便得出所求，方法的确非常明了、简单。只不过这种解法推广的可能性比较小，因为“抬腿法”更适合鸡、兔这种脚数与头数呈现特定比例关系的动物，对于一般性的事物，我们可以用一种更普遍的解法。
还是雉兔同笼这道题，如果假设35只都是兔子，那么就有4×35只脚，比94只脚多：
35×4-94=46只
因为每只鸡比兔子少4-2只脚，所以共有鸡：
（35×4-94）÷（4-2）=23只
说明我们设想的35只“兔子”中有23只不是兔子，而是鸡。因此兔子的真正数目是35-23=12只。
当然，我们也可以设想35只都是“鸡”，那么共有脚2×35=70（只），比94只脚少：
94-70=24只
每只鸡比每只兔子少4-2只脚，所以共有兔子：
（94-2×35）÷（4-2）=12只
说明设想中的“鸡”中有12只不是鸡，而是兔子。鸡的真实数目是35-12=23只。
因此，这个笼子中共有23只鸡，12只兔。
1.哪吒战夜叉
“原题”
八臂一头号夜叉，三头六臂是哪吒，两处争强来斗胜，不相胜负正交加。三十六头齐出动，一百八手乱相抓。旁边看者殷勤问，几个哪吒几夜叉？（选自《九章算法比类大全》）
“译文”
3头6臂的哪吒与1头8臂的夜叉展开大战，因各怀法术、实力相当，所以战场形势异常紧张，开战不多时战场已是浓烟滚滚，旁观者再难分清哪个是哪吒、哪个是夜叉，只看到36个头攒动，108只手在挥舞，试问这场混战中有多少个哪吒，多少个夜叉？
“解答”
我们可以设想36个头都是夜叉的，那么，一共应该有手臂36×8=288只，比108只多：
288-108=180只
这多出来的180条手臂来自哪里呢？这个差值来自我们按照夜叉的头、臂比例计算了哪吒的手臂数。因为我们假设混战中所有的头都是夜叉的，我们也就默认了“头：臂=1：8”这个比例，按照这种比例，计算出一个哪吒有3×8=24条手臂，而每个哪吒本应该有6条手臂，比本应有的手臂数多了24-6=18只。
所以共有哪吒：
（36×8-108）÷（24-6）=10个
这说明我们设想的“夜叉的头”中有10×3个不是夜叉的，而是哪吒的。因此夜叉的真实数目是：
36-10×3=6个
因此，这场混战中共有10个哪吒，6个夜叉。
你也可以假设所有的头都是哪吒的，这样一共应该有36÷3×6=72只胳膊。比108只胳膊少了：
108-72=36只
这少了的36条胳膊来自于夜叉——我们按照哪吒的头、臂比例计算了夜叉的手臂数量。对于哪吒来说，头：臂=1：2（3头6臂），按照这一比例，一只夜叉应该有2只胳膊，但事实情况是一个夜叉有8只胳膊。因此，每个夜叉少了8-2=6只胳膊。所以，一共有夜叉：
（108-36÷3×6）÷（8-2）=6个
这说明我们设想的“哪吒的头”中有6个不是哪吒的，而是夜叉的。因此夜叉的实际数目是：
（36-6）÷3=10个
想一想还有没有其他解法。提示，可以从108只手臂入手假设。
2.三足鱼和六眼龟
“原题”
三足团鱼六眼龟，共同山下一深池，九十三足乱浮水，一百二眼将人窥，或出没，往东西，倚栏观看不能知。有人算得无差错，好酒量斟赠数杯。（选自《算法统宗》）
“译文”
山下深潭中，三足团鱼和六眼龟正在戏水。一共有93只脚，102只眼，问各有团鱼、六眼龟多少只？
“解答”
我们可以设想102只眼睛都是团鱼的，那么，一共应该有脚102÷2×3=153只，比93只多：
153-93=60只
这多出来的60只脚来自六眼龟。我们按照三足团鱼的眼、足比例计算了六眼龟的脚数。三足团鱼的眼、足比例是“眼：足=2：3”，按照这种比例，计算出每只六眼龟有6×3÷2=9只脚，而事实上每只六眼龟应该有4只脚，设想比实际多了9-4=5只脚。
所以共有六眼龟：
60÷5=12只
这说明我们设想的“团鱼的眼睛”中有12×6=72只不是团鱼的，而是六眼龟的。由此可知，三足团鱼的真实数目是：
（102-72）÷2=15只
因此，潭中共有三足团鱼15只，六眼龟12只。
你也可以设想102只眼睛都是六眼龟的，那么，一共应该有脚102÷6×4=68只，比93只少：
93-68=25只
这少了的25只眼睛来自三足团鱼。我们按照六眼龟的眼、足比例计算了三足团鱼的脚数。六眼龟的眼、足比例是“眼：足=3：2”，按照这种比例，计算出每只团鱼应该有2×2÷3=（）只脚，而事实上每只团鱼应该有3只脚，少了3-（）=（）只脚。
所以共有三足团鱼：
25÷（）=15只
这说明我们设想的“六眼龟的眼睛”中有2×15=30只不是六眼龟的，而是团鱼的。由此可知，六眼龟的真正数目是：
（102-30）÷6=12只
想一想还有没有其他解法。提示，可以从93只脚入手假设。
3.李老师买笔
李老师到文具店买圆珠笔，红笔每支1.9元，蓝笔每支1.1元，两种圆珠笔共买了16支，花了28元。问红、蓝笔各买了几支？
以“角”作单位：
红笔数量：（280-11×16）÷（19-11）=13支
蓝笔数量：16-13=3支
因此，李老师买了13支红笔，3支蓝笔。
4.二人打字
一份稿件，甲单独打字需6小时完成。乙单独打字需10小时完成，现在甲单独打若干小时后，因有事由乙接着打完，共用了7小时。甲打字用了多少小时？
我们把这份稿件平均分成30份（30是6和10的最小公倍数），甲每小时打30÷6=5份，乙每小时打30÷10=3份。
根据前面的公式，
甲打字用时：（30-3×7）÷（5-3）=4.5小时
乙打字用时：7-4.5=2.5小时
因此，这道题的答案是4.5小时。
5.蜘蛛、蜻蜓和蝉
蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。现在这三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀。每种小虫各有几只？
因为蜻蜓和蝉都有6条腿，所以从腿的数目来考虑，可以把小虫分成“8条腿”与“6条腿”两种，利用公式就可知8条腿的蜘蛛有：（118-6×18）÷（8-6）=5只，则6条腿的小虫有：
18-5=13只
也就是蜻蜓和蝉共有13只。因为它们共有20对翅膀，再利用一次公式。
蝉的数量：（13×2-20）÷（2-1）=6只
蜻蜓的数量：13-6=7只
因此，有5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蝉。
1.雉兔同笼2
若干只鸡、兔在同一个笼中，它们的头数相等，脚一共有90只。鸡、兔各有几只？
因为鸡、兔头数相等，因此可以把1只鸡和1只兔子并为一组，每组有2 4=6只脚，90÷6=15，可知一共有15组鸡兔，也就是说笼子里有15只鸡，15只兔。
2.两种邮票
小红买了一些4角和8角的邮票，共花了68元。已知8角的邮票比4角的邮票多40张，那么两种邮票各有多少张？
如果拿出40张8角的邮票，剩下的邮票中8角与4角的张数一样多，
（680-8×40）÷（8 4）=30张
剩下的邮票中8角和4角的各有30张，8角的邮票一共有：
40 30=70张
因此，8角的邮票有70张，4角的邮票有30张。
