“原题”
今有物，不知其数。三、三数之，剩二；五、五数之，剩三；七、七数之，剩二。问物几何？（选自《孙子算经》26卷下）
“译文”
现有一些物品，不清楚它们的数量。三个三个地数，剩2个；五个五个地数，剩3个；七个七个地数，剩2个。问这些物品的总数。
“解答”
《孙子算经》中的这道题目用简单的数学语言描述是：求一个数，它能够同时满足被3除余2，被5除余3，被7除余2这三个条件。
什么数能够被3除余2，被5除余3，被7除余2呢？古人探索出了解答这类题目的一般方法，它包括5个步骤：
其实前3个步骤中还各自包含着另外一个步骤——“求一”：要想求“被3除余2、且是5和7倍数的数”，只要先求出“被3除余1、且是5和7倍数的数”，然后将这个数乘以2就可以了。而要想计算出“被5除余3、且是3和7倍数的数”，只要先求出“被5除余1、且是3和7倍数的数”，然后再将这个数乘以3就可以了。求“被7除余2、且是3和5倍数的数”也是同理。也就是说，求除一个数“余x”的数，只要先求出“余1”的数，然后乘以x即可。
现在我们套用以上5个步骤来演算一下这道题：
所以，23便是那个能够同时满足被3除余2，被5除余3，被7除余2的最小的数。
《孙子算经》之所以能在中国古代众多数学研究著作中占有重要一席，这道题目起了举足轻重的作用，因为这道著名的“物不知数”题开创了世界数学领域“同余式”研究的先河。
韩信点兵
“原题”
汉代开国大将军韩信有一次带兵打仗，在册兵员人数是26641人。部队集合时他让战士们按照1～3，1～5，1～7三种方式报数，1～3报数时余1人，1～5报数时余3人，1～7报数时余4人。已知当时缺员人数少于100人，求韩信部队的实到人数和缺员人数。
“解答”
“物不知数”题出现后引起了人们极大的兴趣，后来又衍生出“秦王暗点兵”、“韩信点兵”等经典题目，此题便是众多“韩信点兵”题中的一道。它的解答思路与上面的“物不知数”题相同。
解答“物不知数”题的关键是要先“求一”，也就是求“被某数除，余1的数”。对于3、5、7这几个数，古人很早便总结出了它们“求一”的规律：《孙子算经》有言：“凡三、三数之，剩一，则置七十；五，五数之，剩一，则置二十一；七、七数之，剩一，则置十五。”我国古代数学家程大位还把这一规律编成诗记录在他的数学名著《算法统宗》里：
三人同行七十稀，五数梅花廿一枝。
七子团圆正月半，除百零五便得知。
“三人同行七十稀”是指：“被3除余1、且是5和7倍数的数”是70.
“五数梅花廿一枝”是指：“被5除余1、且是3和7倍数的数”是21.
“七子团圆正月半”是指：“被7除余1、且是3和5倍数的数”是15.
我们可以直接应用《孙子算经》和《算法统综》总结的规律，解答这道题目：
因此，实到兵员26548人，缺员93人。
1.物不知数2
“原题”
七数剩一，八数剩二，九数剩三，文本总数几何？（选自《续文摘奇算法》）
“译文”
现有一些物品，不清楚它们的数量。七个七个地数，剩2个；八个八个地数，剩2个；九个九个地数，剩3个。问这些物品的总数。
“解答”
刚才，我们做了两道关于3、5、7的“物不知数”题。现在我们来做几道有关其他数字的题目。其实，不论数字如何变化和组合，解题的思路和方法都是一致的。对于这道题目：
因此，这些物品的总数是498.
2.物不知数3
“原题”
十一数余三，七十二数余二，十三数余一，问本数。（选自《续文摘奇算法》）
“译文”
现有一些物品，不清楚它们的数量。十一个十一个地数，剩3个；七十二个七十二个地数，剩2个；十三个十三个地数，剩1个。问这些物品的总数。
“解答”
因此，这些物品的总数是1730.
3.物不知数4
“原题”
二数余一，五数余二，七数余三，九数余四，问原总数几何。（选自《续文摘奇算法》）
“译文”
现有一些物品，不清楚它们的数量。二个二个地数，剩1个；五个五个地数，剩2个；七个七个地数，剩3个；九个九个地数，剩4个。问这些物品的总数。
“解答”
解答：
这道题目，我们画图来表示我们的思路：
因此，这些物品的总数是157.
4.韩信点兵2
有兵一队，若列成每列5人纵队，末列1人；若列成6人纵队，则末列5人；若列成7人纵队，则末列4人；若列成11人纵队，则末列10人。求至少一共有多少兵？
这道题目实际是求解同时满足“被5除余1，被6除余5，被7除余4，被11除余10”的数。大家可以依据物不知数题的一般解法，参照上题列表计算，具体运算步骤就不在这里演示了。
这道题的最终答案是：2111人。
5.余米推数《数书九章》
“原题”
问有米铺诉被盗米一般三箩，皆适满，不记细数。今左壁箩剩一合，中间箩剩一升四合，右壁箩剩一合。后获贼，系甲、乙、丙三名。甲称当夜摸得马勺，在左箩满舀入布袋；乙称踢着木屐，在中日舀入布袋；丙称摸得漆碗，在右箩舀入布袋。将归食用，日久不知数。索到三器，马勺满容一升九合，木屐容一升七合，漆碗容一升二盒。欲知所失米数，计赃结断，三盗各几何？（选自《数书九章》）
“译文”
这道题目实际讲了一个三盗偷米的故事：有一家米铺报案说他们的3箩筐米被偷了，这3个箩筐容量相同，原来都装了米，但箩筐的容积具体是多少并不清楚，只知道米被偷后左箩筐还剩1合米，中箩筐剩下1升4合米，右箩筐剩下1合米。后来捉到了甲、乙、丙三个贼，甲说他偷米时用马勺从左箩筐中舀了满满几大勺米；乙说他用一支木屐从中箩筐舀了满满几鞋米；丙说他用一个漆碗从右箩筐舀了满满几碗米，但是他们各舀了多少次已经记不清楚了。后来找到了那三种容器，马勺的容量积1升9合，木屐的容积是1升7合，漆碗的容积是1升2合。问米铺损失了多少米？每个盗贼各偷了多少米？
“单位换算”
1升=10合
“解答”
这道题目其实也是一道典型的“物不知数”题，每箩筐的容米量就是我们“不知道的数”，这个数同时符合如下特征（所有的数以合为单位）：被19除余1，被17除余14，被12除余1.根据“物不知数”题的解法，大家可以算出这个数是3193，即每箩筐能够盛米3193合。用3193减去每箩筐剩余的米，便可以求出甲、乙、丙三盗各偷了多少米，甲：3193-1=3192合；乙：3193-14=3179合；丁：3193-1=3192合。将三盗每人偷米的数量相加，便求出了米铺的损失：3192 3179 3192=9563合。
因此，米铺一共损失了9563合米。甲盗米3192合，乙盗米3179合，丙盗米3192合。
1.迷信的渔夫
渔夫从海上打了大约400条鱼，回家后他发现无论如何分装这些鱼都缺1条：他把鱼每2条装一个袋子，结果缺1条；每3条装一个袋子，还是缺1条；每4条、5条、6条、7条装，都统统缺一条。渔夫感到非常苦恼，他苦恼不仅仅是因为鱼无论怎么分都分不好，更糟糕的是他觉得总是少一条鱼非常不吉利。于是，他决定这个丰产的季节不再出海。渔夫的妻子见丈夫如此迷信，便偷偷到市场上买了1条鱼放到丈夫打的鱼堆中，然后要求丈夫再分一遍。这次，无论渔夫按照每个袋子放2条、3条……还是7条，都能恰好把鱼分完，他第二天一早便高高兴兴地出海了。你知道渔夫原本打了多少鱼吗？
2.数橘树
橘子丰收的季节，学校组织同学们到橘园采摘。橘园里大约有2000棵橘树。但是，同学们无论两两数、三三数、五五数还是七七数都余1棵，大家感到很奇怪，你能很快地算出这个橘园一共有多少棵橘树吗？
3.22岁的生日
一个人出生于公历1978年1月1日，当天是个周日，那么在他过22岁生日那天是周几？
4.奇怪的三位数
有一个奇怪的三位数，减去7后正好被7除尽；减去8后正好被8除尽；减去9后正好被9除尽。你猜猜这个三位数是多少？
