不知道你有没有思考过这样的问题：在没有阿拉伯数字、计算器甚至笔和纸张的年代，古人是如何进行运算的？你可能会直接想到算盘，没错，算盘的确是辅助我们的祖先开展运算的工具。但是，算盘是元朝末期才产生的，在此之前是什么事物在协助古人记录并演算复杂的数字和算式呢？
这件工具叫“算筹”。算筹大约产生在2500年前，是一种直径约为1分，长约为6寸的圆形棒——说直白些就是一种“小棍儿”。今天，小棍儿依然是数学启蒙过程中的重要教具，相信很多读者小时候都使用过，只不过我们今天使用的小棍多是塑料制成的，可以在任何平面上码放，而古人的小棍却材质多样——有用石头、骨头、木头制作的，也有用竹子、金属甚至琉璃制成的，古人摆放算筹时，通常在平面上铺一块毡毯，因为毡毯的摩擦力比较大，算筹在上面不易滚动。
算筹虽然很早就诞生了，并一直为我国古人广泛使用，但是在《孙子算经》之前的数学著作中却看不到对算筹使用方法的详细记录，《孙子算经》对这部分缺失的内容进行了阐述，使后人得以更进一步地窥视到古代算术文化的精微。
以算筹为工具记数和演算的过程叫做“筹算”。我们接下来就分别从“记数”和“演算”两方面来看一看筹算的方法和步骤。
用算筹记数
算筹怎样摆放就能表示一个数字了？不同的数字如何加以区别？
在这里，先让大家看一看1～10这几个数字的样子：
你可能会感到疑惑，为什么同一个数字会有方向不同的两种摆法？要知道，数量之外，算筹的摆放方向也是筹算记数的关键要素。总的来看，算筹的数量表示着数字的大小，比如在1的基础上平行添加一根算筹就是2，8比6多两根算筹。但是，如果算筹只是随着数字增大无限累积，辨识数字将会成为一件令人头痛的事情。因此，古人同时利用算筹的摆放方向区别数字。你看，从6开始，算筹数字的形态发生了明显变化：一根与5方向不同的算筹替换了5——也就是以1当5，简化了6、7、8、9的形态。除了区别数字大小这一功能，算筹的摆放方向还起着区别数位的作用。这也正是为什么你会看到两套方向恰好相反的1～10.中国古代筹算文化的先进之处就在于它严格采纳十进制记数法，每一数位满十便向前一位进一，而这个被进上来的“一”必须改变方向与原有数位相区别。《孙子算经》明确规定了这项内容：
凡算之法，先识其位，一从十横，百立千僵，千十相望，万百相当。（《孙子算经》6卷上）
这段古文的大意是：凡是筹算的方法，首先都需要辨识数位，个位上的算筹纵放、十位上的横放、百位上的纵放、千位上的横放，千位与十位上的算筹摆放方向相同，万位与百位的方向一致。也就是说，相邻数位上的算筹方向横纵交替，间隔数位方向相同。
下面，请你来辨认几个筹算数字：
……237
……5418
……32596
值得一提的是我们的祖先很早就认识到了0的概念，因此当遇到某一数位上的数字为零时，这一位会保持为空。你再来看看下面两个是什么数？
……207
……4079
运筹
认识了算筹数字之后，我们再来看一看如何使用算筹开展运算。在毡毯上通过摆放、移动算筹进行演算的过程也叫做“运筹”，当你迅速、敏捷地移动算筹计算时，也就是我们所说的“运筹如飞”了。
《孙子算经》在卷上和卷中专门讲解了整数乘除法、分数加减法的运筹方法。在这里我们通过整数乘除法的两个例子，慢放古人“运筹如飞”的镜头。
例1：九九八十一，自相乘，得几何？（选自《孙子算经》16卷上）
计算：81×81=？
例2：六千五百六十一，九人分之，问人得几何？（选自《孙子算经》17卷上）
《孙子算经》几乎在每道题的下面都附有“术”，这些术文提示着该题的解法，如果你在阅读这些术文时看到“置十八分在下，一十二分在上”或者“置三分、五分在右方，之一、之二在左方”之类的描述，只要知道这是在介绍运筹的步骤和方法就可以了，不必使劲儿地去琢磨它们，不要让书文中这些生僻的语句分散了你的注意力。记住，在后面的解题过程中，你应该关注的不是古人如何摆放算筹，而是他们如何灵活、巧妙地使用思维武器攻克难题！最终，你应该努力使这些宝贵的方法成为你自己的思维方式。
§§第二章 千古名题抢先看
