无理数是怎么发现的？这件事还要从公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派说起。
毕达哥拉斯学派的创始人是著名数学家毕达哥拉斯。他认为：“任何两条线段之比，都可以用两个整数的比来表示。”两个整数的比实际上包括了整数和分数。因此，毕达哥拉斯认为，世界上只存在整数和分数，除此以外，没有别的什么数了。
可是不久就出现了一个问题，当一个正方形的边长是1的时候，对角线的长m等于多少？是整数呢，还是分数？
根据勾股定理m2=12 12=2，m显然不是整数，因为12=1，22=4，而m2=2，所以m一定比1大，比2小。那么m一定是分数了。可是，毕达哥拉斯和他的门徒费了九牛二虎之力，也找不出这个分数。
边长为1的正方形，它的对角线m总该有个长度吧！如果m既不是整数，又不是分数，m究竟是个什么数呢？难道毕达哥拉斯错了，世界上除了整数和分数以外还有别的数？这个问题引起了毕达哥拉斯极大的苦恼。
毕达哥拉斯学派有个成员叫希伯斯，他对正方形对角线问题也很感兴趣，花费了很多时间去钻研这个问题。
毕达哥拉斯研究的是正方形的对角线和边长的比，而希伯斯却研究的是正五边形的对角线和边长的比。希伯斯发现当正五边形的边长为1时，对角线既不是整数也不是分数。希伯斯断言：正五边形的对角线和边长的比，是人们还没有认识的新数。
希伯斯的发现，推翻了毕达哥拉斯认为数只有整数和分数的理论，动摇了毕达哥拉斯学派的基础，引起了毕达哥拉斯学派的恐慌。为了维护毕达哥拉斯的威信，他们下令严密封锁希伯斯的发现，如果有人胆敢泄露出去，就处以极刑——活埋。
真理是封锁不住的。尽管毕达哥拉斯学派教规森严，希伯斯的发现还是被许多人知道了。他们追查泄密的人，追查的结果，发现泄密的不是别人，正是希伯斯本人！
这还了得！希伯斯竟背叛老师，背叛自己的学派。毕达哥拉斯学派按照教规，要活埋希伯斯，希伯斯听到风声逃跑了。
希伯斯在国外流浪了好几年，由于思念家乡，他偷偷地返回希腊。在地中海的一条海船上，毕达哥拉斯的忠实门徒发现了希伯斯：残忍地将希伯斯扔进地中海。无理数的发现人被谋杀了！
希伯斯虽然被害死了，但是无理数并没有随之而消灭。从希伯斯发现中，人们知道了除去整数和分数以外，还存在着一种新数，2就是这样的一个新数。给新发现的数起个什么名字呢？当时人们觉得，整数和分数是容易理解的，就把整数和分数合称“有理数”；而希伯斯发现的这种新数不好理解，就取名为“无理数”。
有理数和无理数有什么区别呢？
主要区别有两点：
第一，把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数或无限循环小数，比如4=4.0，0，45=8，13=0.333……而无理数只能写成无限不循环小数，比如2=1.4142……根据这一点，人们把无理数定义为无限不循环小数。
第二，所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数却不能写成两个整数之比。根据这一点，有人建议给无理数摘掉“无理”的帽子，把有理数改叫“比数”，把无理数改叫“非比数”。本来嘛，无理数并不是不讲道理，只是人们最初对它不太理解罢了，利用有理数和无理数的主要区别，可以证明2是无理数，使用的方法是反证法。
证明2是无理数。
证明：假设2不是无理数，而是有理数。
既然2是有理数，它必然可以写成两个整数之比的形式：
2=pq
又由于p和q有公因数可以约去，所以可以认为pq为既约分数。
把2=pq两边平方，得：2=p2q2
即2q2=p2
由于2q2是偶数，p必定为偶数，设p=2m
由2q2=4m2
得q2=2m2
同理q必然也为偶数，设q=2n。
既然p和q都是偶数，它们必有公因数2，这与前面假设pq是既约分数矛盾。这个矛盾是由假设2是有理数引起的。因此2不是有理数，而应该是无理数。
无理数可以用线段长度来表示。下面是在数轴上确定某些无理数位置的方法，其中2，3，5……都是无理数。具体做法是：
在数轴上，以原点O为一个顶点，以从O到1为边作一个正方形。根据勾股定理有：
OA2=12 12=2
OA=2
以O为圆心，OA为半径画弧与OX轴交于一点，该点的坐标为2，也就是说在数轴上找到了表示2的点；以2点引垂直于OX轴的直线，与正方形一边的延长线交于B，同理可得OB=3，可在数轴上同法得到3.还可以得到5，6，7，等等无理数点。
也可以用作直角三角形的方法，得到表示，2，3，5等无理数的发现。
有理数与无理数合称实数。初中阶段遇到的数都是实数。今后还要陆续学到许多无理数，如e，sin10，log10等等。
