从自然数逐步扩大到了实数，数是否“够用”了？够不够用，要看能不能满足实践的需要。
在研究一元二次方程x2 1=0时，人们提出了一个问题：我们都知道在实数范围内x2 1=0是没有解的，如果硬把它解算一下，看看会得到什么结果呢？
由x2 1=0，得x2=-1.
两边同时开平方，得x=±-1（通常把-1记为i）。
-1是什么？是数吗？关于这个问题的正确回答，经历了一个很长的探索过程。
16世纪意大利数学家卡尔丹和邦贝利在解方程时，首先引进了-1，对它还进行过运算。
17世纪法国数学家和哲学家笛卡儿把-1做“虚数”，意思是“虚假的数”、“想像当中的，并不存在的数”。他把人们熟悉的有理数和无理数叫做“实数”，意思是“实际存在的数”。
数学家对虚数是什么样的数，一直感到神秘莫测。笛卡儿认为：虚数是“不可思议的”。大数学家莱布尼兹一直到18世纪还以为“虚数是神灵美妙与惊奇的避难所，它几乎是又存在又不存在的两栖物”。
随着数学研究的进展，数学家发现像-1这样的虚数非常有用，后来把形如2 3-1，6-5-1，一般地把a b-1记为a bi，其中a，b为实数，这样的数叫做复数。
当b=0时，就是实数；
当b≠0时，叫做虚数。
当a=0，b≠0时，叫做纯虚数。
虚数作为复数的一部分，也是客观存在的一种数，并不是虚无飘渺的。由于引进了虚数单位-1=i，开阔了数学家的视野，解决了许多数学问题。如负数在复数范围内可以开偶次方，因此在复数内加、减、乘、除、乘方、开方六种运算总是可行的；在实数范围内一元n次方程不一定总是有根的，比如x2 1=0在实数范围内就无根。但是在复数范围内一元n次方程总有几个根。复数的建立不仅解决了代数方面的问题，也为其他学科和工程技术解决了许多问题。
自然数、整数、有理数、实数、复数，人类认识的数，在不断地向外膨胀。
随着数概念的扩大，数增添了许多新的性质，但是也减少了某些性质。比如在实数范围内，数之间是可以比较大小的，可是在复数范围内，数之间已经不能比较大小了。
所谓能比较大小，就是对于规定的关系能满足下面四条性质：
（1）对于任意两个不同的实数。a和b，或a>b，或b>a，两者不能同时成立。
（2）若a>b，b>c，则a>c
（3）若a>b，则a c>b c
（4）若a>b，c>0，则ac>bc
对于实数范围内的数，“＞”关系是满这四条性质的。但对于复数范围内，数之间是否能规定一种“＞”关系来满足上述四条性质呢？答案是不能的，也就是说复数不能比较大小。
为了证明这个结论，我们需要交待复数运算的部分内容，证明中要用到它：
（1）-1·-1=-1-1·0=0
--1·0=0
（--1）·（--1）=-1
-1 （--1）=0
0 （--1）=--1
（2）复数中的实数仍按实数的运算法则进行运算。
现在用反证法证明复数不能比较大小。假设我们找到了一种“＞”关系（注意：“＞”关系不一定是实数中规定的含义）来满足上述四条性质。当然对于-1应具有性质（1）：
-1＞0或0＜-1
先证明-1＞0不可能。
-1＞0的两边同乘-1，由性质（4）得：
-1·-1＞-1·0
-1＞0
（注意：由于“＞”不一定是实数各规定的含义，故未导出矛盾。）
-1＞0的两边同加1，由性质（3）得：
-1 1＞0 1
0＞1
-1＞0的两边同乘-1，由性质（4）得：
（-1）·（-1）＞（-1）·0
1＞0
于是得到0＞1，而且1＞0，也就是0与1无法满足性质（1），这与假设形成矛盾，所以-1＞0是不可能的。
其次证明0＞-1不可能。
0＞-1的两边同加--1，由性质（3）得：
0 （--1）＞-1 （--1）
--1＞0
--1＞0的两边同乘--1，由性质（4）得：
（--1）·（--1）＞（--1＞）·0
-1＞0
以下可依第一种情况证明，导出矛盾，所以0＞-1不可能。
以上证明从复数中取出两个数-1与0是无法比较大小的，从而证明了复数没有大小关系。
复数无大小，听来新鲜，确是事实！
