四面体即三棱锥。三棱锥固定底面时有一个顶点，不固定底面时有四个顶点。(正三棱锥不等同于正四面体，正四面体必须每个面都是正三角形）
基本信息
中文名：四面体
英文名：Threepyramid
别名：三棱锥
组成：四个三角形组成
应用：弓箭头，三棱刮刀
属性：锥体的一种
性质：几何体
基本介绍
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棱锥的底面:棱锥中的多边形叫做棱锥的底面。如下图中的面ABCD就是棱锥的底面。
棱锥的侧面:棱锥中除底面以外的各个面都叫做棱锥的侧面。如图中棱锥的面PAB、面PCD等都是棱锥的侧面。
棱锥的侧棱:相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。如图中PA、PB等都是棱锥的侧棱。
棱锥的顶点；棱锥中各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。如图中P是各个侧面的公共顶点，P是棱锥的顶点。
棱锥的高:棱锥的顶点到底面的距离叫做棱锥的高。如图中，若PO⊥底面ABCD，垂足是O，那么PO就是棱锥的高。
棱锥的对角面；棱锥中过不相邻的两条侧棱的截面叫做对角面。
折叠棱锥性质
1．棱锥截面性质定理及推论
定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比。
推论1：如果棱锥被平行与底面的平面所截，则棱锥的侧棱和高被截面分成的线段比相等。
推论2：如果棱锥被平行于底面的平面所截，则截得的小棱锥与已知原棱锥的侧面积之比也等于它们对应高的平方比；截得的棱锥与已知棱锥的侧面积之比也等于它们的底面积之比。
2．一些特殊棱锥的性质侧棱长都相等的棱锥，它的顶点在底面内的射影是底面多边形的外接圆的圆心（外心），同时侧棱与底面所成的角都相等。侧面与底面的交角都相等的棱锥，它的二面角都是锐二面角，所以顶点在底面内的射影在底多边形的内部，并且它到各边的距离相等即为底多边形的内切圆的圆心（内心），且各侧面上的斜高相等。如果侧面与底面所成角为α，则有S底＝S侧cosα。如图画出了射影是外心和内心的情况。
3．棱锥的侧面积及全面积、体积公式棱锥的侧面积及全面积棱锥的侧面展开图是由各个侧面组成的，展开图的面积，就是棱锥的侧面积，则S棱锥侧＝S1＋S2＋…＋Sn（其中Si，i＝1，2…n为第i个侧面的面积）S全＝S棱锥侧＋S底棱锥的体积棱锥和圆锥统称锥体，锥体的体积公式是：（s为锥体的底面积，h为锥体的高）。
4．正棱锥有下面一些性质正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）；正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形。正棱锥的侧棱与底面所成的角都相等；正棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等。正棱锥的侧面积：如果正棱锥的底面周长为c，斜高为h’，那么它的侧面积是s=1/2ch
折叠直观图画法
正棱锥的直观图由底面和顶点所决定。正棱锥底面的画法与直棱柱底面的画法相同。顶点和底面中心的距离等于它的高。下面以正五棱锥为例，说明正棱锥的直观图的画法。画一个底面边长为5cm，高为11.5cm的正五棱锥的直观图，比例尺是。
画法：
（1）画轴。画x′轴、y′轴、z′轴，记坐标原点为O′，使∠x′O′y′＝45°（或135°），∠x′O′z′＝90°。
（2）画底面。按x′轴、y′轴画正五边形的直观图ABCDE，按比例尺取边长等于5÷5＝1（cm），并使正五边形的中心对应于点O′。
（3）画高线。在z′轴取O′S＝11.5÷5＝2.3（cm）。
（4）成图。连结SA、SB、SC、SD、SE，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到所画的正五棱锥的直观图。
体积公式
棱锥的侧面积及全面积、体积公式、底面积公式
棱锥的侧面积及全面积
棱锥的侧面展开图是由各个侧面组成的，展开图的面积，就是棱锥的侧面积，则S棱锥侧=S1+S2+…+Sn（其中Si，i=1，2…n为第i个侧面的面积）
S全=S棱锥侧+S底
棱锥的底面积公式:S底=长×宽
棱锥和圆锥统称锥体，锥体的体积公式是：v=1/3sh（s为锥体的底面积，h为锥体的高）。
斜棱锥的侧面积=各侧的面积之和
正棱锥的侧面积：S正棱锥侧=1/2chˊ（c为底面周长，hˊ为斜高）。
棱锥的中截面面积：S中截面=1/4S底面
公式说明
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折叠体积
棱锥的体积取决于平面外顶点到底面的距离，以及底面多边形的面积。前者称为棱锥的高，后者称为棱锥的底面积。设为棱锥的高，为棱锥的底面积，为棱锥的体积，则棱锥的体积可以用以下公式计算：这个公式早在公元三世纪就得到了证明。现代的证明一般使用积分。假设有棱锥PA1A2...An，其中A1A2...An为底面的n边形，P为棱锥顶点。设P在底面的投影为Q点，PQ的长度为h。在线段PQ上取一点X，使得线段PX的长度为x：0≤x≤h，那么过点X而且与底面平行的平面截棱锥得到的形状是一个和底面的n边形相似的n边形，记作Ax1Ax2...Axn，它的面积Sx与底面积S的比值等于PX与PQ的比值的平方：在点X附近截取的“一片”棱锥“切片”，它的体积大约等于：所以棱锥的体积等于积分：对于正棱锥，假设它的底面是正n边形，边长为a，高是h，那么底面积是：所以它的体积是：
折叠表面积
棱锥的侧面展开图是由各个侧面组成的，展开图的面积，就是棱锥的侧面积Sc，其中是第i个侧面的面积。棱锥的表面积等于棱锥的侧面积Sc加上底面积S。假设顶点的投影Q点到第i个侧面对应的底边的距离是di，底边的长度是ai，那么棱锥的侧面积：对于正n棱锥，顶点到底面的投影是底面正n边形的中心。所以投影点到每一边的距离都相等：因此棱锥的斜高也就是侧面三角形的高：棱锥的侧面积[4]:87：其中p是底面正n边形的周长。假设底面正n边形的边长是a，高是h，那么它的周长是na，中心到每一边的距离是。所以斜高是：侧面积是：
应用实例
三棱锥P—ABC的侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，侧面面积分别是6，4，3，则三棱锥的体积是多少？
解：设PA=X，PB=Y，PC=Z.∵PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC.S△PAB=6，S△PBC=4，S△PAC=3.
∴X*Y=12````````````````````````①
Y*Z=8`````````````````````````②
Z*X=6`````````````````````````③
解得：X=3，Y=4，Z=2.
∵PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC.
∴PA⊥平面PBCPA=X=3.
∴三棱锥的体积：1／3*S△PBC*PA=4。
