菱形(rhombus)指的是在一个平面内，一组邻边相等的平行四边形。四边都相等的四边形。菱形的对角线互相垂直且平分，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的四条边都相等；菱形既是轴对称图形（两条对称轴分别是其两条对角线所在的直线），也是中心对称图形（对称中心是其中心，即两对角线的交点）；在有一个角是60°角的菱形中，较短的对角线等于边长，较长的对角线是较短的对角线的√3倍。依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。不管原四边形的形状怎样，中点四边形的形状总是平行四边形。菱形的中点四边形总是矩形。
基本信息
中文名：菱形
英文名：Diamond，rhombus
拼音：lingxing
所属领域：数学几何
本质：平行四边形
特点：在一个平面内，有一组邻边相等
基本资料
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菱形
是四边相等的四边形，属於特殊的鹞形、平行四边形、梯形，除了这些图形的性质之外，它还具有以下性质：邻角和为180°；
图像特性
对角线互相垂直平分。
正在加载菱形背景
正方形是特殊的菱形。
菱形面积为对角缐相乘乘以二（鹞形面积）：A=\frac\cdotx\cdoty；
或边长的平方乘以其中一只角的正弦（平行四边形面积）：A=a^2\cdot\sin\alpha。
菱形周界为边长的四倍:U=4\cdota
内接圆半径：
r=\frac\cdota\cdot\sin\alpha。
性质
1、对角线互相垂直且平分，并且每条对角线平分一组对角；
2、四条边都相等；
3、对角相等，邻角互补；
4、每条对角线平分一组对角，
5、菱形既是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线，也是中心对称图形，
6、在60°的菱形中，短对角线等于边长，长对角线是短对角线的√3倍。
7、菱形具备平行四边形的一切性质。
判定
1、一组邻边相等的平行四边形是菱形；
2、四边相等的四边形是菱形；
3、关于两条对角线都成轴对称的四边形是菱形；
4、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.。依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。
不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。
菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形。）。
菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法。
特点
顺次连接菱形各边中点为矩形
正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形。
图形学约束
菱形必须一条对角线与x轴平行，另一条对角线与Y轴平行。
不满足此条件的几何学菱形在计算机图形学上视作一般四边形。
生活菱形
正在加载菱形“福”字
如手帕纸.拉门，衣帽架、红色的贴图(如“福”）等
菱形面积
1.对角线乘积的一半（只要是对角线互相垂直的四边形都可用）；由把菱形分解成2个三角形，化简得出
2.底乘高=菱形面积。
3.设菱形的边长为a，一个夹角为x°，则面积公式是:S=a²·sinx
（一）解决问题：
正在加载圆
01.有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的直孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米。如果将这个零件接触空气部分涂上防锈漆，一共需涂多少平方厘米？
02.一个圆锥形沙堆，底面积是15平方米，高2米。用这堆沙铺在长400米、宽3米的路面上，能铺多厚？
03.一个圆柱体底面周长和高相等。如果高缩短了2厘米，表面积就减少12.56平方厘米．求这个圆柱体的表面积。
04.一个圆柱体和一个圆锥体等底等高，它们的体积相差50.24立方厘米。如果圆柱体的底面半径是2厘米，这个圆柱体的侧面积是多少平方厘米？
05.如图所示，一块长方形铁皮，利用图中的阴影部分刚好做一个油桶（接头处忽略不计）。求这个油桶的容积。
06.一个圆柱形的体积是30立方米，底面积是15平方米，高是多少米？
07.一段圆柱形的钢材，底面周长是0.28米，高是2.4米．它的侧面积是多少平方米？（得数保留两位小数）
08.一只装水的圆柱形玻璃杯，底面积是80平方厘米，水深8厘米。现将一个底面积是16平方厘米的长方体铁块竖放在水中后，仍有一部分铁块露在外面。现有水深多少厘米?
09.圆柱的侧面积与两个底面积的和，就是圆柱的表面积．但是实际生活中往往只求侧面和一个底面的面积的总和，比如一个没有盖的圆柱形状的铁皮水桶，高是45厘米，底面直径是34厘米．做这个水桶需要多少铁皮？（得数保留整数）
10.一个圆锥形沙堆，底面半径是2米，高是1.5米。如果每立方米沙重1.7吨。这堆沙重多少吨？
11.有一根圆柱形状的塑料棒，它的横截面的面积是24平方厘米，长是0.9米．这根塑料棒的体积是多少立方厘米？
12.做一节长1米，底面直径是20厘米的铁皮烟囱，至少需要多少平方米的铁皮？
13.一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），如下图．已知它的容积为26.4π立方厘米．当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米．瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米．问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？
14.一个圆柱的高增加4厘米，表面积增加50.24平方厘米，求圆柱体的底面积．
15.把一个横截面为正方形的长方体，削成一个最大的圆锥体，已知圆锥体的底面周长6.28厘米，高5厘米，长方体的体积是多少？
答案：
01.S大表=17π+6×3.14×10=244.92（平方厘米）S小侧=4×3.14*5=62.8（平方厘米）S总=244.92+62.8=307.72（平方厘米）
02.15×2×?÷（400×3）
03.r=12.56/2/3.14/2=1(厘米)S底=1*1*3.14*2=6.28（平方厘米）S侧=1*2*3.14*（12.56/2）=39.4384（平方厘米）S表=6.28+39.4384=45.7184（平方厘米）
04.V柱=50.24/（2/3）=75.36S底=2*2*3.14=12.56（平方厘米）h=75.36/12.56=6（厘米）S侧=2*2*3.14*6=75.36（平方厘米）
05.分析：长方形铁皮的宽相当于两个底面直径，所以只能做油桶的高，长方形铁皮的长是16.56分米，正好是直径的（3.14+1）倍，从而可以求出直径的长，进而求出油桶的16.56÷（3.14+1）=4（分米）4÷2=2（分米）4×2=8（分米）3.14×22×8=100.48（立方分米）
答：这个油桶的容积是100.48立方分米．
06.30÷15=2（米）
答：高是2米。
07.S=Ch0.28×2.4=0.672≈0.67（平方米）
答：它的侧面积大约是0.67平方米。
08.分析：圆柱形玻璃杯底面积是80平方厘米，水深8厘米，根据这两个条件可以求出水的体积，如果将一个底面积是16平方厘米的长方体铁块竖放在水中后，仍有一部分铁块露在外面，那么相当于容器的底面积减少16平方厘米，也就是还剩下80-16=64平方厘米，把原来的水放进底面积是64平方厘米的容器中，水深就很容易求出来了．80×8=640（立方厘米）80-16=64（平方厘米）640÷64=10（厘米）
答：现有水深10厘米。
09.
1）水桶的侧面积：34×3.14×45=106.76×45=4804.2（平方厘米）
（2）水桶的底面积：（34÷2）2×3.14=289×3.14=907.46（平方厘米）
（3）做水桶需要的铁皮：4804.2+907.46=5711.66≈5712（平方厘米）
答：做这个水桶需要铁皮5712平方厘米．
10.3.14×22×1.5×?×1.7=58.718（吨）
答：这堆沙重58.718吨。
11.0.9米=90厘米24×90=2160（立方厘米）
答：这根塑料棒的体积是2160立方厘米．
12.1×0.2×3.14=1.57(平方米)
答：需要1.57平方米铁皮。
13.S底=26.4π/（6+2）=3.3π（平方厘米）V水=3.3π*6=19.8π（平方厘米）=0.0198π（升）
14.分析：圆柱的高增加4厘米，表面积增加50.24平方厘米，50.24平方厘米就是高是4厘米的圆柱的侧面积，根据这两个条件可以求出圆柱的底面周长，从而求出圆柱的底面积．50.24÷4=12.56（厘米）12.56÷3.14÷2=2（厘米）2×2×3.14=12.56（平方厘米）
答：圆柱体的底面积是12.56平方厘米．15.6.28\3.14=2(cm)V长=2*2*5=20（立方厘米）
（二）
1、一个圆柱形鱼缸，从里面量底面半径是10CM，里面盛有一些水，现将一个底面积为157CM?的圆锥形石块浸没在容器内，水面上升了1CM，求圆柱形石块的高是多少。
2、把一个底面半径是5CM的圆柱形铅块浸没在底面半径是10CM的圆柱形容器中，水面上升了2CM。这个圆锥形铅块高是多少厘米？
答案
1、3.14x10的平方x1=314(立方米）底面积乘上升的高度等于上升部分水的体积也就是石块的体积。
2、3.14x10的平方x2÷(3.14x5的平方）=8（厘米）上升部分水的体积就等于圆柱的体积，除以底面积就等于高。
（三）
1.判断：圆柱和圆锥都有无数条高。正确解答：错误分析与解：圆柱有无数条高，圆锥只有一条高。点评：圆柱两个底面之间的距离叫做圆柱的高。两个底面之间有无数个对应的点，圆柱有无数条高。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。顶点和底面圆心都是唯一的点，所以圆锥只有一条高。2.（圆柱的侧面积）体育一个圆柱，底面直径是5厘米，高是12厘米。求它的侧面积。解答：3.14×5×12=188.4（平方厘米）答：它的侧面积是188.4平方厘米。点评：圆柱的侧面是个曲面，不能直接求出它的面积。推导出侧面积的计算公式也用到了转化的思想。把这个曲面沿高剪开，然后平展开来，就能得到一个长方形，这个长方形的面积就是这个圆柱的侧面积。3、一个圆柱形蓄水池，底面周长是25.12米，高是4米，将这个蓄水池四周及底部抹上水泥。如果每平方米要用水泥20千克，一共要用多少千克水泥？底面积：25.12÷3.14÷2=4（米）3.14×4?=50.24（平方米）侧面积：25.12×4=100.48（平方米）表面积：50.24+100.48=150.72（平方米）水泥质量：150.72×20=3014.4千克。4、求圆柱体的侧面积底面半径是3厘米，高是4厘米。解答：3.14×3×2×4=75.36（厘米）5、求圆柱体的表面积，底面半径是4厘米，高是6厘米。解答：底面积：3.14×4?=50.24（平方厘米）侧面积：3.14×4×2×6=150.72（平方厘米）表面积：50.24×2+150.72=251.2（平方厘米）6、用铁皮制作一个圆柱形烟囱，要求底面直径是3分米，高是15分米，制作这个烟囱至少需要铁皮多少平方分米？（接头处不计，得数保留整平方分米）解答：侧面积：3.14×3×15=141.3（平方分米）≈142（平方分米）7、（圆柱的表面积）做一个圆柱形油桶，底面直径是0.6米，高是1米，至少需要多少平方米铁皮？（得数保留整数）解答：底面积：3.14×（0.6÷2）?=0.2826（平方米）侧面积：3.14×0.6×1=1.884（平方米）表面积：0.2826×2+1.884=2.4492（平方米）≈3（平方米）答：至少需要铁皮3平方米。8、（辨析）一个无盖的圆柱铁皮水桶，底面直径是30厘米，高是50厘米。做这样一个水桶，至少需用铁皮6123平方厘米。解答：底面积：3.14×（30÷2）?=706.5（平方厘米）侧面积：3.14×30×50=4710（平方厘米）表面积：706.5+4710=5416.5（平方厘米）答：做这样一个水桶，至少需用铁皮5416.5平方厘米。9、（考点透视）一个圆柱的侧面积展开是一个边长15.7厘米的正方形。这个圆柱的表面积是多少平方厘米？解答：底面半径：15.7÷3.14÷2=2.5（厘米）底面积：3.14×2.5?=19.625（平方厘米）侧面积：15.7×15.7=246.49（平方厘米）表面积：19.625×2+246.49=285.74（平方厘米）答：这个圆柱的表面积是285.74平方厘米。10、（考点透视）一个圆柱形的游泳池，底面直径是10米，高是4米。在它的四周和底部涂水泥
