登陆注册
6608000000008

第8章 千年前的约分术

导语:数字谜题巧妙算

在这一章你将看到《孙子算经》谈及的四类计算问题:约分、乘方、开方以及方程运算。可能你早已从学校教育中积累了这样的感受——这些内容简单而枯燥,但是读了这一章,你会发现神奇的数字魔方可以组合出新的、有趣的、令你难以置信的色彩和图案。古代的约分法有什么特别之处?乘方运算如何改变了古人对世界的认识?古人是如何在没有任何电子计算工具的帮助下给任意数口算开方的?古代方程与今天的方程存在怎样的差异?当你找到这几个问题的答案时,你会发现自己已经获得了更加充沛的思维能量。

“原题”

今有一十八分之一十二。问约之得几何?(选自《孙子算经》1卷中)

“译文”

约分得多少?

“解答”

约分得()。

你一定觉得这道题已经简单的没有练习的必要了。的确,对于数学运算能力被大大开发的现代人来说,解答这个问题易如反掌。不过,《孙子算经》提供给这道题的解答方法却与我们现在惯用的方法不同,非常值得一提的。

《孙子算经》是这样描述这道题目的解法的:“置十八分在下,一十二分在上。副置二位,以少减多,等数得六,为法。约之,即得。”这几句话的大致意思是:在分数()中,分母18在下,分子12在上。约分时重新安排分子、分母的位置(多将两数并排放置),从较大的数18中减去较小的数12,求出最大公约数6,以6作为除数,分别去除18和12,所得结果即为所求。

你一定有些疑惑:答案尽管正确,可是这么做是否科学呢?怎么能用减法求最大公约数呢?其实,《孙子算经》提供的这种相减约分法是非常科学的,甚至现代的一些数学家都更倾向于它——而不是我们今天惯常使用的方法,解答一般的约分问题。《孙子算经》的这道例题因为数字太简单,因此并没有把古代的相减约分法阐述清楚。这种相减约分法的“学名”是“更相减损法”,“更相减损”是指在求两数的最大公约数时,不断用两数以及两数差中的大数去减相对较小的数,直到最后得出一个相等差,这个差叫“等数”,也就是我们今天所称的“最大公约数”。

我们将这道题的“更相减损”过程演算出来是这样的:

18 12

18-12=6 12-6=6

的分子分母只更相减损了一次便得到了“等数”6,所以没能淋漓尽致地展现古代算数约分算法的精髓,下面我们来看几道计算过程稍复杂些的约分题。

1.用古代算法为()约分

“原题”

九十一分之四十九。问约之得几何。(选自《九章算术》)

“译文”

约分得多少?

“解答”

先依照更相减损法,求91和49的最大公约数,运算过程如下:

91 49

91-49=42 49-42=7

42-7=35

35-7=28

28-7=21

21-7=14

14-7=7

要想求91和49的最大公约数,先将两数分列。从大数91中减去小数49,差为42;再从49中减去小数42,等于7;进而从42中连减5个7,直到差等于7为止。7便是91和49的等数——也即最大公约数。

用7分别去约简分母91和分子49,约分的结果是()。

因此,()约分得()。

2.用古代算法为()约分

首先,用“更相减损法”求“等数”

120 18

120-18×6=12 18-12=6

12-6=6

6即是120和18的“等数”,用它来约简原分数,得()。

3.用古代算法为()约分

首先,用“更相减损法”求“等数”

27759 10227

27759-10227×2=7305 10227-7305=2922

7305-2922×2=1461 2922-1461=1461

1461即是27759和10227的“等数”,用它来约简原分数,得()。

同类推荐
  • 职场的重要定位

    职场的重要定位

    我们每个人在步入社会后都会有选择职业的困惑,不知道哪一种职业最适合自己。一个青年如果整日无所事事,没有正当职业,那么他的生命也将没有价值了。一个人在选择职业时,首先要考虑这份职业是否适合自己,是否有利于社会,是否妨害别人的某些权利。
  • 财富背后的传奇

    财富背后的传奇

    在这个世界上,人人都向往财富,但是人人都清楚要获得财富并不是一件容易的事。作为拥有大量财富的商界精英,他们是如何成功的呢?他们如何赚到第一桶金?他们如何妙算计赢得优势?他们如何忍辱负重走出事业的低谷……
  • 做人要学会低调 做事要懂得低头

    做人要学会低调 做事要懂得低头

    地低能纳海,人低可成王。世事洞明皆学问,人情练达即文章。低头并不代表低人一等。得势淡如云,富贵平常事。恃才傲物难长久,和逊恭谦心自安。退步方能进步,忍耐可以成功。屈己尊人,人皆举之。心宽容万物,尘埃归自宁。本书告诉您面对纷繁复杂的社会,应该保持做人的低调从而拥有好的心态以取得人生的成功。
  • 人性的优点与弱点

    人性的优点与弱点

    本书通过故事揭示了是什么决定着人生的成败,以及如何才能从平凡走向卓越。全书共分五章,包括相信自己拥抱明天、充满活力舞动生命、享受人生完美生活、宽容真诚受人欢迎、成功人生自我创造。
  • 成功的追求(优秀人才成长方案)

    成功的追求(优秀人才成长方案)

    此套书撷英采华,精心分类,不但为处于青少年时期的孩子创造了一个欢乐、轻松的成长环境,而且更陶冶了青少年的情操,可以说是一套让青少年全面提高、全面发展的青春励志经典读物。
热门推荐
  • 仙月三音师

    仙月三音师

    她,只是一位皇室大公主,却莫名其妙的被自己当孤儿收养的坏堂妹陷害,和自己的两个死党被当成孤儿赶出家门,变成了三个孤儿。巧妙,她的皇祖父,在这时候救了她们三个,只因为他们的奇妙关系……他,是她的青梅竹马,虽是孤儿,却是专情王子。因为帅气可爱,他和两位死党成为三王子。但是造化弄人,因为他们的帅气,还酿成了一场大祸……还有两只麻雀,因为她们的贪婪欲望,所以将三王子的她用计谋赶出天府,自己做起了凤凰。可是,她们最后,一定没有好下场!因为,善恶到头终有报!也许是万年的福分,六人终于相见,可是因为她,与他的那神秘关系,使她痛不欲生,又因为他,让她不知受了多少伤。但他们六人,即使藕断,也会丝连……
  • 凌皇本纪

    凌皇本纪

    前世生为豪门却为替身所算,今生重生仍旧难逃樊篱大荒平静了十万年,古老的大帝叹息道:是时候了……这一次,即使星君阻拦,大帝算计,也阻挡不了木凌的脚步。
  • 孤世傲凰

    孤世傲凰

    她是那只肯栖于梧桐的孤傲凤凰,前世憋屈的死让她在异世不断努力变得强大,只为能够飞舞于九天之外。她本以为她应该是世界上最孤独的人,一个人在云霄中孤独至死。但是遇见他之后,她所有的计划全都乱了。如果说她是凤凰,那么他就是苍龙,睥睨人间!这个她始终追不上的男人,这个霸道却柔情的人真的可以让她托付以终生吗?
  • 腹黑总攻的宝贝甜受

    腹黑总攻的宝贝甜受

    “爸比妈咪带妹妹逃婚了啦”一个身着小西装的萌正太“儿子看好DIDO爸比马上回来”一个身着燕尾服的冷面帅哥边解领结Bianco飞奔道,“闫小淼你胆子是不是肥了啊你敢逃我婚那你是不是已经做好心理准备了啊”冷面帅哥驾车一路咆哮。——此时在飞机场的闫淼淼正在一个劲的打喷嚏她身着一身白色婚礼服在机场好不出众。“妈咪我们要去哪啊葛葛呢爸比呢”一个小女孩睁着大眼睛看着她那正在买机票的妈咪一头雾水前一秒刚要和爹地一起走入教堂了下一秒就逃了。“宝贝咱们要去国外要很长一段时间看不到哥哥你会乖乖的对不对啊”闫淼淼温柔的抚摸着女儿的柔发。。会昂妈咪说啥咱都会的啦。小女孩一个劲的点头如捣蒜。
  • 城市蔷薇花开

    城市蔷薇花开

    山脚下的蔷薇倔犟的生长,城市的蔷薇气质的活着。待到折枝与你伴黄昏!
  • 残殇乱世称皇

    残殇乱世称皇

    她。轩辕一族的嫡女,一朝家族被灭,原来灭她家族的人,是她枕边之人,从此她走上了复仇之路。而老天却和她开了一个玩笑,她竟是…...为了使命和复仇,她一改之前的温柔善良,变的嗜血残忍腹黑。“人挡杀人,神诛杀神”的她却遇上了他。初次见面他是学院的天才,却受尽排挤。他一笑而过,犹如最初的她。那时她的一颗芳心就已经遗漏在他的身上。再次见面时,他是伸张正义的侠客,她却是令人闻风丧胆的魔女。是宿命的羁绊?还是…?等待他们的究竟是什么?
  • 十年起

    十年起

    讲述一个青春少女的成长史,经历的风雨,启蒙收获成就,人生的重要启示,最终获得成就。
  • 虚拟复仇

    虚拟复仇

    刚成为孤儿的陆鲁,就受到现世最强的虚拟部的绝对通缉,无奈之下只有避世躲入人类第二世界虚拟界中。偏僻孤岛隐忍的巨大仇恨、母亲神秘而不凡的身份、无意中创造的新的智能种族、暗中回归的创世之主以及自己坚韧到变态的大脑......。一切的一切,都等着这位接掌命运的孩子,去撕裂谜团,打破阴谋下的乾坤。
  • 因为偷偷喜欢你

    因为偷偷喜欢你

    ?因为偷偷喜欢你,我才会自卑,才会胆小,才会在看到你时想要躲开你,其实比谁都想要见到你。因为觉得自己的打扮不够好,怕你会无视我。你总是那么优秀,有很多女生的追捧,老师的称赞,是父母眼中的骄傲,在这之前我是从未觉得自己原来那么的一无事处。?
  • 暗夜帝国

    暗夜帝国

    黑夜的降临,便是意味着死神的到来。他喜欢黑夜,因为黑暗的世界,是属于他展现实力的舞台。黑夜的宁静之下,是他展现杀人艺术的时刻。当黑夜之中,那一抹寒芒闪亮之时,必是一个生命的终结,一场华丽艺术的绽放。====求收藏!求评论!