“原题”
今有甲、乙、丙三人持钱。甲语乙、丙：“各将公等所持钱半以益我钱，成九十。”乙复语甲、丙：“各将公等所持钱半以益我钱，成七十。”丙复语甲、乙：“各将公等所持钱半以益我钱，成五十六。”问三人元持钱各几何？（选自《孙子算经》26卷中）
“译文”
甲、乙、丙三人各带了一些钱。甲对乙和丙说：“如果你们两位各拿出自己钱的一半给我，那么我的钱数将为90.”乙对甲、丙说：“如果你们两位各拿出自己钱的一半给我，那么我的钱数将为70.”丙对甲、乙说：“如果你们两位各拿出自己钱的一半给我，那么我的钱数将为56.”问甲、乙、丙三人原来各带了多少分钱？
“解答”
《孙子算经》在解答这道题目时使用了方程法。不过需要说明的是，古算方程与今天的方程还是存在很大差异的：古算方程的类型比较单一，大致相当于今天的多元一次方程组——通过对若干未知数的系数进行不断调整，消去其余未知数，只保留关于一个未知数的等式，之后求解这个未知数，最后再通过这个已经求出的未知数，逐步推解其余未知数。
下面，我们来实际操练一下这道题目，以此感知古算方程的巧妙内涵。
根据题目描述的未知数间的关系，列方程组如下：
甲 （）（乙 丙）=90
乙 （）（甲 丙）=70
丙 （）（甲 乙）=56
将此三式分别乘以（）将此三式分别乘以（）
甲 （）（乙 丙）=135 甲 （）（乙 丙）=45
乙 （）（甲 丙）=105 乙 （）（甲 丙）=35
丙 （）（甲 乙）=84 丙 （）（甲 乙）=28
用--：
丙 （）甲 （）乙-（）甲-（）乙-（）丙-（）乙-（）甲-（）丙=84-45-35
丙=4
用--：
乙 （）甲 （）丙-（）甲-（）乙-（）丙-（）丙-（）甲-（）乙=105-45-28
乙=32
用--：
甲 （）乙 （）丙-（）乙-（）甲-（）丙-（）丙-（）甲-（）乙=135-35-28
甲=72
因此，甲的钱数是72，乙为32，丙为4.
古人用方程计算时是不设未知数x、y、z……的，他们只用算筹摆出未知项的系数，然后针对系数运筹帷幄。为了贴合现代人的思维方式，下面的一些题目我们采用标注未知数的方式，以便大家更透彻地理解古代方程的计算方式。
“原题”
今有甲、乙二人，持钱各不知数。甲得乙中半，可满四十八。乙得甲大半，亦满四十八。问甲、乙二人元持钱各几何？（选自《孙子算经》28卷下）
“译文”
现有甲、乙两人，所带钱数量不详。甲若得到乙所带钱的一半，钱数便达48.乙若得到甲所带钱的（），拥有的钱数也将达到48.问甲、乙二人原来各带多少钱？
“解答”
根据已知列方程组：
甲 （）乙=48
乙 （）甲=48
将×4，×6
4甲 2乙=192
4甲 6乙=288
用-
4乙=96
乙=96÷4=24钱
将乙所有钱数带入，甲=36钱。
因此，甲所带钱数是36，乙所带钱是24.
1.买卖牲畜
“原题”
今有卖牛二、羊五，以买十三豕，有余钱一千。卖牛三、豕三，以买九羊，钱适足。卖羊六、豕八，以买五牛，钱不足六百。问牛、羊、豕价格几何？（选自《九章算术》）
“译文”
今有人卖2头牛、5只羊，用所得的钱买13头猪，还剩下1000钱。如果卖3头牛、3头猪，用所得的钱买9只羊，收支刚好持平。如果卖6只羊，8头猪，用所得的钱买5头牛，就会缺600钱。问牛、羊、猪的价格各是多少？
“解答”
根据已知列方程组
2牛 5羊=13猪 1000
3牛 3猪=9羊
6羊 8猪=5牛-600
参考上面两道《孙子算经》方程题的解法，请你尝试用消去法独立求解这个方程组，最终的解是：
牛=1200
羊=500
猪=300
因此，一头牛的价格是1200钱，一只羊的价格是500钱，一头猪的价格是300钱。
2.受损的禾苗
“原题”
今有上禾五秉，损失一斗一升，当下禾七秉。上禾七秉，损失二斗五升，当下禾五秉。问上、下禾一秉各几何？（选自《九章算术》）
“译文”
今有上等禾苗5秉，损失1斗1升禾实之后，相当于7秉下等禾苗的禾实量。7秉上等禾苗，损实2斗5升禾实后，相当于5秉下等禾苗的禾实量。问上、下两等禾苗每天各有多少禾实？
“单位换算”
1斗=10升
“解答”
根据已知列方程组：
5上禾-11=7下禾
7上禾-25=5下禾
用消去法解方程后得：
上禾=5升
下禾=2升
因此，上等禾苗每天有禾实5升，下等禾苗每天有禾实2升。
3.文具的价格
2支圆珠笔和一块橡皮是3元钱；4支钢笔和一块橡皮是2元钱；3支铅笔和1支钢笔再加上一块橡皮是1.4元钱。那么，每种文具各一个加在一起是多少钱？
假设铅笔=X，钢笔=Y，圆珠笔=Z，橡皮=Q，可以得出：
2Z 1Q=3
4Y 1Q=2
3X 1Y 1Q=1.4
3Z 1.5Q=4.5
2Y 0.5Q=1
3X 1Y 1Q=1.4
把三者加起来是3X 3Y 3Z 3Q=6.9
由此可得X Y Z Q=2.3
因此，每种文具各一个加在一起是2.3元钱。
1.符号与数字
图中每一种符号代表一定的数值，图标上方的4个数字分别代表它们所对应列的数字之和，图标右方的4个数字分别代表它们所对应行的数字之和。问右侧问号处应该是什么数字？
先根据每行符号与数字间的对应关系列方程：
2（） 2（）=36
2（） （） （）=24
（） 2（）=32
4（）=12
=3
把（）=3带入、再用-：
=11
把（）=3，（）=11带入：
=7
再根据每列符号与数字之间的关系，求出太阳代表的数字；其实我们只要用一列数字来求解就可以了，其余列可以用来验算。最终求得（）=17，17×4=68
因此，问号处应是68.
2.百钱百鸡
“原题”
今有鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一。凡百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？（选自《章丘建算经》）
“译文”
已知一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，3只小鸡值1钱。现花100钱买了100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了几只？
“解答”
这是一道著名的、而且具有一定难度的古算题目，可惜古人对这道题的算法描述得非常简略，我们已经难以从中获得思路启发。如果借用现代方程法求解，这道难题便会被巧妙化解。
首先，设公鸡有x只，母鸡有y只，小鸡有z只。根据已知列方程组如下：
5x 3y （）=100
x y z=100
将变形，可写作7x=4（25-y），这个式子说明x必须是4的倍数才能保证x、y都是整数，令x=4t，t为整数，则y=25-7t，z=75 3t。当t=1，2，3时，方程组的解分别为：
x=4，8，12
y=18，11，4
z=78，81，48
因此，这道题目有三组答案：
1.公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只。
2.公鸡8只，母鸡11只，小鸡81只。
3.公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只。
通过解答，我们可以发现，这道题目不仅要求解题者能够领会方程思想、正确建立数量间的对等关系，还要求我们能够根据已知条件的数量特征，比如是否是整数、能否被某数整除等，灵活地求出方程的解，这也就考察着我们的数字思维和运算能力。
3.卖炊具
大刚在农贸市场摆摊卖炊具，他只卖三种东西：炒锅每个30元，盘子每个2元，小勺每个0.5元。一小时后他共卖掉100件东西获得200元进账。已知每种商品至少卖掉两件，请问每种商品各卖掉多少件？
设炒锅、盘子、小勺子各卖了x、y、z件，显然x、y、z为整数且有：
x y z=100
30x 2y 0.5z=200
59x 3y=300，变形后得，
x=3（100-y）÷59
由于x为整数，100-y必是59的倍数，此时只有y=41时才满足条件，故y=41，x=3，z=56，即炒锅卖了3件，盘子卖了41件，小勺卖了56件。
4.百钱百鸡2
“原题”
百钱买百鸡，四钱一母鸡，一钱四雏鸡，多少母雏鸡？
“译文”
100钱买了100只鸡，4钱买1只母鸡，1钱买4只小鸡，问有母鸡、小鸡各多少只？
“解答”
虽然这也是一道百钱百鸡问题，但是它是否还需要用方程来求解呢？你有没有更简单清晰的思路？
观察这道题的数据你会发现几点特别之处：首先，100钱正好买了100只鸡；其次，如果我们把1只母鸡与4只小鸡分做一组，这5只鸡刚好值5钱；最后，100只鸡包含20个这样的组，而100钱也是由20个5钱组成的。据此，我们可以断定，母鸡有1只×20组=20只，小鸡有4只×20组=80只。
因此，母鸡有20只，小鸡有80只。
5.僧分馒头
“原题”
一百馒头一百僧，大和三个更无争，小和三人分一个，大和小和得几丁？（选自《算法统宗》）
“译文”
100个和尚分100个馒头，大和尚1人吃3个馒头，小和尚3人吃1个馒头，问大、小和尚各有几人？
“解答”
这道著名的“僧分馒头”题与上面的“百鸡问题”几乎如出一辙。我们同样可以给大、小和尚分组。根据已知条件的数量特征，把1个大和尚与3个小和尚分作一组，这样一组4人吃4个馒头。因为一共有100个和尚和100个馒头，因此这样的组有100÷4=25个。所以，大和尚有1人×25组=25人，小和尚有3人×25组=75人。
因此，有大和尚25人，小和尚75人。
6.春游
某学校组织了一次春游，包括带队的老师和所有任课老师及学生在内一共有100人。中午进行野餐，带队老师把带来的100份快餐自己留下1份，然后按老师每人2份，学生2人1份分下去，正好合适。你能算出这次春游去了多少老师、多少学生吗？
这道题的思路依然与前面两道古算题相同，需要注意的是，我们在给学生和老师分组之前，需要先从100人以及100份快餐中扣除带队老师那一份，将题目转化为“99人，99份快餐”问题，然后再依照相同的思路计算出结果。相信你已经能够独立完成剩余的部分了。
这道题目的正确答案是：这次春游连带队老师在内一共去了34位老师和66个学生。
