“原题”
今有积二十三万四千五百六十七步。问为方几何？（选自《孙子算经》19卷中）
“译文”
现有面积为234567平方米的正方形，求它的边长是多少？
“解答”
这道题的实质是给234567开平方。
现在如果我问你：“你会给任意数开平方吗？”相信你多半会捧着计算器自信满满地回答——“这有什么难的，我有它呢！”不过假如不给你提供任何电子计算工具，只允许你使用笔和纸，你还能完成这项任务吗？
中国古人在没有电脑、计算器、甚至连阿拉伯数字为何物都不知道的情况下，便能熟练地进行开方运算了，这般功夫着实令我们这些现代人惊羡。
下面，我们就来跟古人学一学“手动”开方法。
古人的开方法蕴含一种宝贵的思维模式：数形结合。他们把数字和图形结合在一起，用形象的图形辅助解答抽象的数字问题，在古人看来给一个数开方，就相当于已知正方形的面积求其边长。
在给234567开方前，让我们先来学习一下古人如何给361开平方：
给361开平方，先画一个正方形ABCD。然后估算361平方根的第一位数字，因为361大于100、小于400，因此，它的平方根应该在10到20之间，也就是说361平方根第一位（十位）上的数字应该是1.361-100=261，接下来我们根据261来确定361平方根第二位（个位）上的数字，这时我们就需要借助之前画的正方形了。
在正方形ABCD的AB边上取一点E，令AE=a=10，EB=b，做小正方形AEFG，它的边长是a=10，面积是a2=100.从大正方形ABCD中挖去小正方形AEFG，剩下的面积是361-100=261，它由三部分构成：
正方形FHCI，它的面积是b2.
长方形DIFG和长方形FHBE，它们的面积都是ab
由此，我们可以列出下面这个等式：b2 2ab=261
将a=10带入等式，b（b 20）=216
根据这个等式，我们在1～9这9个数字间估计b的值。它大致应该等于8或9这两个比较大的数字，分别带入等式检验一下，发现当b=9时，等式成立。这也就意味着361平方根个位上的数字是9，而面积为361的正方形ABCD的边长是19.由此可知，361的平方根等于19.
现在我们来给234567开方：
我们依然使用数形结合的方法，先画一个正方形ABCD。估计234567平方根第一位（百位）上的数字，因为234567小于250000、大于160000，因此，平方根的取值范围应该在400到500之间，这也就意味着234567平方根第一位（百位）上的数字应该是4.
234567-160000=74567
接下来我们根据74567确定234567平方根第二位（十位）上的数字。在我们刚才画的正方形ABCD的AB边上取一点E，AE=a=400，EB=b。做正方形AEFG，它的边长是a=400，面积a2=160000，从大正方形ABCD中挖去正方形AEFG，剩下的面积是234567-160000=74567，它由三部分构成：
正方形FHCI，它的面积是b2.
长方形DIFG和长方形FHBE，它们的面积都是ab
由此，我们可以列出下面这个等式：b2 2ab=74567.
将a=400带入等式，b（b 800）=74567.
根据这个等式，我们在10～90这9个整十数中估计b的取值。它大致应该等于80或90这两个比较大的数，但是，分别将这两个数带入等式检验后发现，它们都无法使等式成立，当b=80时，b（b 800）=70400＜74567；而当b=90时，b（b 800）=80100＞74567.由此可知，80＜a＜90，我们在234567平方根的第二位（十位）上取数字8.74567-70400=4167.
接下来我们根据4167来确定234567平方根第三位（个位）上的数字。在正方形ABCD的AB边上取一点J（J在E、B两点之间），AJ=c=AE EJ=480，JB=d。做正方形AJKL，它的边长是a=400，面积a2=160000，从大正方形ABCD中挖去小正方形AJKL，剩下的面积是74567-70400=4167，它由三部分构成：
正方形NCMK，它的面积是b2.
长方形DNKL和长方形KMBJ，它们的面积都是cd。
由此，我们可以列出下面这个等式：d2 2cd=4167.
将c=480带入等式，d（d 960）=4167.
根据这个等式，我们在1～9这9个整数中估计d的取值。它大致应该等于4或5，分别带入等式检验一下，当d=4时，d（d 960）=3856＜4167；而当d=5时，d（d 960）=4835＞4167，已经超出了大正方形ABCD的面积。据此，我们在234567平方根的第三位（个位）上取数字4.4167-3856=311234567直到它平方根的个位依然没有开尽，《孙子算经》最终给出的答案是484（），其实这只是一个近似值，在确定分数部分时，古人依然用上述方法，在正方形ABCD之内做一个边长为e=484的正方形，设f=AB-e，重复上述推导过程得出等式f（f 968）=311，f=311÷（f 968），因为f与968相比太小了，所以，古人在除数中便把它忽略掉，最终求得f=（），加上整数部分，最终234567的平方根近似等于484（）。
