第一节 《热力学》的诞生
1952年9月，根据政务院《关于改革学制的决定》，对全国高等院校按照苏联的模式进行调整，打散以后重新组合。北京的燕京、辅仁、协和等教会学校被撤销，协和只保留医院。北京大学从城中景山东侧的沙滩原址迁到西郊清华园西侧原燕京大学的校园（含燕东园、燕南园、朗润园、镜春园、承泽园、蔚秀园、和勺园、佟府等，统称燕园）。在此次院系调整中，北京大学工科并入清华大学，清华大学文科、理科并入北京大学，燕京大学也并入北京大学。北京大学的前身是“京师大学堂”，1898年（清光绪二十四年）创立，1912年改名为“北京大学”，划时代的五四运动即在该校首先发动。王竹溪在此次院系调整中从清华调到了北大。同时从清华调到北大的还有叶企孙、周培源、饶毓泰等著名物理教授。
1953年，北大成立理论物理教研室，由王竹溪任主任。这一段时期，他除了完成本校的科研和教学任务外，还担负着培训全国高等院校物理教师的任务。
自调入北大，王竹溪的主要精力都默默奉献给了物理学在中国的传播与发展，特别是奉献给大学的物理教学这一崇高的事业。
在近代科学从西方传入的初期，大学里的讲授全部是用英语等西方语言，课本与参考书均是采用国外当时著名和广为流传的原文著作，原汁原味。西方文化的这种强势，到了适当的时候，自然会受到本土文化的反弹。两种文化的碰撞与融合，是一个缓慢而痛苦的磨合过程。
1949年以后，大学和中学里的授课一律不再使用外语，外语课也换成俄语，苏联文化开始取代西方文化的位置。
当时，开展了一个“突击学俄语”的运动，为大学教师开办俄语培训班，要求用几个月的时间达到能阅读专业俄文文献的程度。西方期刊、书籍和文献的进口量因各种原因而锐减，而苏联的各种文献、书籍大量涌入，同时大量翻译、出版苏联的大学教材，就连初中的物理课都一度使用过苏联的教材译本。按照王竹溪先生的学生王正行回忆：“我初中念的物理课本，是原苏联课本的译本，长度和重量单位的名称怪怪的，例题和习题多是狗拉雪橇之类，充满异域色彩。”这种情况自然地推动了中国人自己来撰写中文教材与专著，开始了物理学在中国本土化的全面进程。王竹溪的名著《热力学》就是在这样的背景下诞生的。
高水准的理论物理教材，除了满足概念准确、逻辑严谨、系统缜密、条理清晰、重点突出、文字流畅、便于自学、使用方便等一般要求以外，应该着眼于当前及今后相当长一段时间内的研究前沿，把握住学科发展的方向和主流，教给学生目前在前沿工作的物理学家正在实际使用并具有良好发展前景的概念体系和理论框架，为学生提供一个系统完整并在今后相当长一段时间内方便合理的知识结构。王竹溪著的《热力学》和《统计物理学导论》，就是这样高水准的理论物理教材。
由于王竹溪有深厚的研究功底和多年的讲授经历，完全把握了热力学的精髓，王竹溪的《热力学》成为出版社首先考虑出版的对象。在那一时期相继出版的大学理论物理教材中，有王竹溪的《热力学》（高等教育出版社，1955）和《统计物理学导论》（高等教育出版社，1956）、胡宁的《电动力学》（人民教育出版社，1961）、周培源的《理论力学》（江苏人民出版社，1961）及周世勋的《量子力学》（上海科学技术出版社，1961）等。
王竹溪的《热力学》1955年出版后很快售罄，1960年出了第二版。之后不断重印，到1988年获全国高等学校优秀教材评选国家级特等奖时，已经是第十四次印刷了，直到2005年还又由北京大学出版社出了简体字版。由于物理学发展迅速，知识更新越来越快，一本好的教材也只有十年左右的生存期。王竹溪的《热力学》教材寿命超过半个世纪，堪与他师兄狄拉克的《量子力学原理》相媲美了。读者无疑是真正的上帝和最公正的裁判，广大读者用他们自己的选择，为这本书作了最好的评价。
这部《热力学》之所以弥久不衰，长期流传，拥有如此众多的读者，不仅在于它汇集了各种热力学的知识、现象、规律、定律、实例和技巧，还在于它用清晰、明确的语言进行详尽、透彻的论述和解释。换言之，它不是一本普通教材的印刷版，而是一部极富特色的热力学教材与专著。
首先，这部《热力学》为读者提供了一个逻辑简单而清晰的观念结构，体现了爱因斯坦所说的，热力学不是一种结构性理论，而是一种原理性理论。热力学的基本原理就是热力学的几条基本定律，从它们出发，再加上具体物质的状态方程，就可以逻辑地推演出全部的结果。在这个结构里，从基本原理剔除了像勒夏特列原理那样虽然有用但并不基本的规则。一个逻辑简单而清晰的观念结构，更容易纳入新的知识、现象和具体规律与定理，从而具有更长久的价值。正如普朗克所说，物理定律越带普遍性，就越是简单。这种像狄拉克一样对理论的彻底解析和对简单普遍之美的追求，是一种无形的精神，贯穿于全书的字里行间。
其次，这部《热力学》在一些基本原理、定律和定理的讲述上，不满足于只用一种使多数读者容易理解和接受的方式讲解清楚，而是同时给出多种不同的讲法，使不同的读者有自己辨别和选择的余地。例如，对于热力学第二定律，在介绍和比较了克劳修斯的说法和开尔文的说法之后，又介绍和讨论了卡拉西奥多里（C.Carathéodory，简称卡拉氏）1909年提出的说法，在讲了普朗克熵定理的证明之后，又讲了卡拉氏熵定理的证明。这样，就不是只将作者所偏爱的讲法和证明被动地灌输给读者，而是旨在唤起和激励读者的探索心，启发和引导他们自己来主动思考。
另外，王竹溪不受某种大纲和框架的约束，完整地写出了热力学所有重要的方方面面，只是标出哪些章节和内容超出了普遍大纲的范围，提醒教师和读者注意。其实，王竹溪在书中并不是毫无目的和不加选择的，不是基础的东西，不是重要的内容，还不成熟的结果，他都不赞成拿出来讲给学生，更不会写到书中。他考虑的是对学生有不同层次的要求和适合不同层次的读者。一般在大学的教学中，约有六七成的内容是要求学生必须牢牢掌握和运用的；约有二三成的内容是要求学生理解和懂得的，但不必达到能够运用的程度；还有大约一成左右的内容则只要求学生了解和知道，将来在工作中遇到时，就知道在哪里可以找到可以解决的办法和答案。彭桓武在研究工作上与王竹溪有过密切的合作。按曾与彭桓武在中国科学院理论物理研究所共事多年的刘寄星教授回忆，彭桓武后来写量子力学，发现越写越多，去问王竹溪，王竹溪告诉他，写书要有一定的范围和选择，不能将什么都写进去。
再次，王竹溪在这部《热力学》中系统收入了他多年研究的成果，特别是多元复相系平衡与稳定性的结论。而平衡与稳定是热力学一个重要的主题，具有基本和长久的价值。在这个意义上，这本书是独一无二的，是一部系统总结他多年研究成果的热力学著作，是一部真正意义上的专著。
最后，也是最重要的一点，是王竹溪在书中全面介绍了卡拉氏的理论。一个物体与另外两个物体都分别达到热平衡时，这后两个物体之间一定也达到了热平衡。卡拉氏根据这个事实，证明了在温度与体积、压强等状态参数之间存在函数关系，即存在物态方程。在热力学第一定律即能量守恒定律中引进内能时，卡拉氏抛弃了热量这一并非必要的因素，因而使概念简化，并且使内能的引进直接与焦耳的基本实验相联系。在热力学第二定律中引进熵函数时，他抛弃了卡诺循环这个复杂而人为的理想过程，而只要求在任一给定平衡态附近总会存在从它出发用绝热过程不能到达的态。将他对热力学第二定律的这一表述应用于准静态过程，就可以导出熵函数的存在。准静态过程的概念，则是卡拉氏首先提出的。
卡拉氏是数学家，不是物理学家，他的理论逻辑严谨，完全是数学的风格。例如，他对热力学第二定律的上述说法，翻译成数学的语言就是在任一给定点的邻域总会存在不能用绝热曲线与之相连的点。我们知道，对相对论理解最深刻的是数学家闵可夫斯基；为量子力学理论结构奠定数学基础的，是数学家冯·诺依曼。同样，卡拉氏的理论为热力学给出了一个数学的基础与诠释。追求对物理深入理解的物理学家自然会欣赏卡拉氏的理论，尽管这个理论未必完善，也还存在可以争论的问题。
王竹溪在他的《热力学》书中阐述基本原理的章节，全面介绍了卡拉氏理论；而在书中专门讨论热力学方法论的最后一章，又进一步从物理上概括和分析了这个理论。而事实上，美国20世纪后半叶的热力学教材，还只是倾向于着重谈这个理论的物理方面，而抽调其大部分的数学内容。可以说，王竹溪的这一做法相当前卫，由此可见他的远见、胆识和自信。
物理教学的发展总是比物理学本身的发展落后一个相位，物理教学改革的核心就是要缩小这个相差，跟上物理学的发展。今天已经很难想象讲相对论时不讲闵可夫斯基空间，讲量子力学时不讲希尔伯特空间。热力学拥有比相对论和量子力学广泛得多的读者，因为它是热工学的理论基础，与工程有密切的联系。面对广大工程方面的读者，当然要采取数学简单、物理直观的传统讲法。但是对于物理特别是理论物理的学生，绝对应该知道卡拉氏的理论。在这个意义上，王竹溪的这部《热力学》至今仍是无可替代的。
物理理论公理化是19世纪末20世纪初理论物理研究追求的一种潮流与时尚。这显然是受到数学中的“公理主义”的影响。引领那一时期数学发展的，是哥廷根学派的希尔伯特。当时以为物理学的大厦已经基本奠定，剩下的工作只是细部的添补与完善，所以理论家将注意力完全转向了理论整体结构的完美，尝试仿照欧几里得的模式来系统地表述物理学理论。
在物理学的力学、热力学、电动力学这三大理论体系中，热力学的基本定律最为浅显、明白，都是一些为公众所接受的普遍适用的公理，所以爱因斯坦将热力学划归为原理性理论。在将热力学公理化的众多努力和尝试中，卡拉氏的《热力学原理之研究》最为重要和成功。玻恩作为希尔伯特的学生，自然对这方面的工作抱有极大的兴趣。他的评论是在早期帮助物理学家接受这一理论的重要论文。
20世纪初相继出现量子论与相对论，接着发现和建立量子力学，打开整个微观物理的世界，物理学家的注意力自然又回到发现新的现象与物理。不过在物理学家当中，对于理论体系的简洁、完善与逻辑结构的清晰、严密，却永远是一个追求的主题。物理学家常说某个理论工作做得清清楚楚、干净利落，没有多余、不干净的“毛刺”，没有隐含未加说明的假设，就是这个意思。而王竹溪一篇论文完成以后总要冷却一段时间再送出去发表，也就是为了要反复推敲、琢磨而将它弄得干干净净、尽善尽美。
王竹溪的这部著作后来获得全国高等学校优秀教材评选国家级特等奖这一最高级别的荣誉与奖励。事实上，他在西南联大时期关于热力学的研究就以《热学问题之研究》扬名，和潘光旦的《中国社会思想史》、钱穆的《国学大纲》、冯友兰的《贞元六书》、华罗庚的《堆垒素数论》、徐宝禄的《数理统计》、周培源的《湍流论》、吴大猷的《多元分子振动与光谱结构》等，一同饮誉学术界。
第二节 《统计物理学导论》的诞生
1952年，在全国高等学院按照苏联的模式进行院系调整后，紧接着就是参考苏联的大纲进行教学内容和体系的调整与改变。一般大众以为科学无国界，教学内容和体系的改变只涉及文科，对理工科没有影响，这是极大的误解。自然科学是人类对自然的认识，并不绝对客观，不可避免地包含人的主观因素，所以才有学派的分野，物理学亦然。在物理的教学中，人的主观因素就更多，更突出。
统计物理学方面可分为分子运动论、非平衡态统计理论、平衡态统计力学三大部分。在历史的发展上，分子运动论和非平衡态统计理论早于平衡态统计力学，而在理论的框架上，分子运动论和非平衡态统计理论均依赖于分子之间相互作用的特殊机制和具体规律。平衡态物理学则与这种机制无关，均可以从一些普遍的假设出发来演绎。
物理学是研究具体现象的学问，普遍的东西总是从具体的问题归纳中概括出来的。所以，在西方的大学，许多人均是按历史发展的顺序，先讲经典的分子运动论，再讲统计力学。但苏联则是先讲平衡态理论，再讲非平衡态理论。
教学内容先后顺序的不同安排，体现了讲授者不同的观念、风格和品位，这本是“百花齐放，百家争鸣”的一个方面，现在要按苏联的大纲一律将顺序颠倒过来，讲授上自然会遇到许多问题需要逐一解决。而在处理上，则会有一种被迫改换门庭的无奈。王竹溪以积极的态度和平和的心态适应了这种要求，写出了他的又一名著《统计物理学导论》。
他在书的序言中说，“这是一种新的尝试”，“不敢说在学术系统上已经照顾得好了”。这里说的“学术系统”的“照顾”是指内容体系的安排与前后的对应关系。后面讲的内容在前面适当的地方要打好基础埋下伏笔，王竹溪做事认真仔细，历来注重理论体系，是这方面的高手。此书一反过去的传统讲法，在讲基本原理后就讲平衡态的一般理论，给出基本的概念和普遍的公式，接着还用于气体的平衡性质，由浅入深地依次讲述理想气体和非理想气体及各种有关的方法、理论；接下来讨论平衡态附近的涨落，介绍布朗运动的理论等；然后再讲述最先应该讲述的分子运动论和黏滞性、热传导、扩散等输运过程及其理论，以及作为统计物理学基础的玻尔兹曼积分微分方程和H定理；最后给出了量子统计学大意。
可以说，王竹溪的这个尝试相当成功。根据在教学中使用的经验，在学术体系上，这本书在第二版中只有两处在顺序上作了调整：在涨落理论中，布朗理论要用到一些分子碰撞的知识，所以将涨落理论这一章移到了非平衡态理论之后；另外，将玻尔兹曼积分微分方程和H定理提到了输运过程理论之前。此书1956年2月出第一版，1957年1月就已第四次印刷；1965年出第二版修订本，到1987年是第十六次印刷，影响和流传都很广。
在国家高等教育部1956年审定、颁布的《综合大学物理专业教学大纲》里，对各门数学和物理基础课开列的主要参考书，几乎全部都是苏联教科书的中译本，只有三门课例外。其中，“热力学”课程用的是王竹溪的《热力学》，“统计物理学”课程用的是他的《统计物理学导论》；“电动力学”课程用的是胡宁的《电动力学讲义》。当时，“热力学”与“统计物理学”是分开的两门课，各上一学期；而胡宁的讲义还没有成书。大学里的授课均提倡独立思考，鼓励学生广泛阅读各种风格与流派的著作，所以每门课程都不是完全按照一本书来讲的。这个大纲所说的主要参考书，就相当于中学里课程的专用教本。在当时，苏联的物理学，特别是理论物理学是高度发达与先进的。朗道和里弗西兹的一套10卷本的理论物理学教程誉满全球，至今仍在广为流传。在当时那个几乎是全盘“苏化”的时代，王竹溪和胡宁的教材能够脱颖而出，足见其不凡的水准，因为在这三部著作里包含了他们自己的思索和贡献。
体系完美、逻辑清晰和表述简洁是《统计物理学导论》的显著特点。许多物理学家将玻尔兹曼和吉布斯最初使用的基本温度参数，换算成另一个与温度的倒数成正比的参数，从而使得公式的表述与运算大为简化。王竹溪按照这个精神，分别将化学势和吉布斯函数除以温度定义为两个新的函数，从而进一步简化了统计物理学的基本公式。
在物理学的发展史上，公式与表述的合理简化往往不仅是一种技术性的优化与改进，而且会带来物理上的重大进展。在20世纪物理学史上，最重要、最出名的一个例子莫过于玻恩看出海森伯的数组乘法实际上就是数学上的矩阵乘法。在海森伯的论文里，只给出了跃迁振幅的数组形式和猜出了这种数组的乘法规则。海森伯考虑的跃迁振幅就是粒子的坐标，它依赖于两个整数，即跃迁初态的量子数和跃迁的量子数增量，因为这两个整数的取值范围不同，而且后者的取值范围依赖于前者的数值，所以依赖于这两个整数的数组还不是数学上的矩阵。玻恩将初态量子数与跃迁的量子数增量之和等价地换算成跃迁的末态量子数，将数组写成了依赖于跃迁初态与末态量子数的形式，就立即看出，海森伯的数组正是数学中的矩阵，海森伯猜出的这种数组乘法规则正是矩阵的乘法规则。这导致了矩阵力学也就是量子力学的建立，翻开了20世纪物理学最辉煌、最激动人心的一页。物理学家的灵感往往就来源于这种看起来毫不经意的小小改变。
与《热力学》一样，王竹溪不受大纲的约束，在《统计物理学导论》中写入了一些深入但是基本而且重要的内容。对于气体的平衡性质，他详细讨论了非理想气体的物态方程及维里法，接着在此基础上介绍了博格留戈夫的方法和梅耶的集团展开法。在非平衡态理论中，他在玻尔兹曼积分微分方程的基础上，介绍了查普曼-思斯库格方法和洛伦兹气体的输运理论，作为统计力学的基础，他还详细证明和讨论了玻尔兹曼的H定理。到第二版，又增加了化学平衡条件、三种系统之间的关系、熵的增加、热力学第三定律、蒸汽压常数、关于负的绝对温度及达尔文-福勒法等内容。这些内容，在国内的教学和教材中往往因为嫌深和学时不够而被略去，在这个意义上，这本书在国内的统计物理教材中仍是无可替代的。
一些深入但是基本而且重要的内容不必要求学生或读者懂得，但应当让他们知道，这是王竹溪在教课和著述中一贯坚持的指导思想。对于“文革”后期开始招收的学生，程度参差不齐，为了避免学生听不懂，让多数学生均能跟上教学的进度，当时一般的做法是删去较深内容不讲。王竹溪不赞成这样做。以下的文字，是当时在北大物理系讲授理论力学的与王竹溪长期共事的林纯镇的一段回忆。
当时工农兵学员文化水平较低，有一个欧拉动力学定理我不想讲了，一是这个定理讲起来有难度，二是讲完了他们也听不懂，我准备放弃，跟王先生商量，没想到他不同意。他说即使学生听不懂，但知道有这么个定理在那儿，将来他有能力有条件时可以回过头来再搞懂。他说西南联大时给杨振宁、李政道讲课涉及的一些内容，后来他们都有所发展。
最后，除了习题和常数外，在书末还有积分表、误差函数表、函数Ψ（x）表及爱因斯坦-德拜比热公式数值表，使得这本书可用作做研究工作时随时查阅的简易手册和计算工具。这也反映了王竹溪务实和细致的作风，他是要教给学生如何做事的。
在一堂“统计物理学”课上，王竹溪讲到非理想气体物态方程第二维里系数的计算，他在黑板上写出一个展开式，只保留前两项而略去后面的项，同时指出这个近似不严格，略去的项并不比前两项小。然后他继续推导，只取近似第一项，同时指出这个近似也不严格，略去的项也不一定小。接着他说，虽然这两个近似都不严格，但它们的效果互相抵消了，得到的结果是对的，所以大家都这么讲。严格的推导很烦琐，不可能拿到课堂上来讲，而这严格的推导就是他书上所讲的梅耶的理论。
与王竹溪这种严谨细致、富于启发和有教益的讲授相比，苏联的一些统计物理教材就显得逊色了。连当时在学生中流传很广的一本苏联某著名物理学家的书都没有意识到和指出这两处近似有问题。当时是在反右刚刚结束不久的1959年，人们心有余悸，涉及苏联的批评是犯大忌的。看过王竹溪的书和听过他的课，在一本苏联的热力学统计物理教科书中，大家都看出一个定义性的陈述有问题，一位学生拿着来问他，他在仔细看过之后只是委婉地说：“我看不懂。”
如今，“热力学”与“统计物理学”合并成一门，只有一个学期的课，学时大为减少。不讲物态方程维里系数的计算，这种情形的段子学生也就听不到了。其实，教改的核心是跟上学科发展的步伐。将教改仅仅诠释为减学时、砍内容，这是不值得推广的文化。
若非在“文革”中被驱使到鲤鱼洲染上恶疾而过早地去世，王竹溪有机会准备《统计物理学导论》第三版的话，他很可能会增加一章关于伊辛（Ising）模型的内容。伊辛模型考虑最简单的点阵，假设格点上的原子有两种状态，并且只有紧邻相互作用。这是一个简单的理想化模型，有可能求出严格解，因而具有基本的理论意义。1925年，伊辛求出了一维情形的解，没有相变。二维情形是昂萨格（L.Onsager）1944年解出的，他的解法十分复杂，不容易看懂。到20世纪50年代，昂萨格解还被当作没有实际物理内容的数学。经过包括杨振宁和李政道在内的许多人的努力，到60年代，人们才认识到这个模型确实反映了相变问题的许多本质特征。于是，在国外，有人开始将之写入教科书，如黄克孙的《统计力学》和朗道与里弗希兹的《统计物理学》。王竹溪一直关注和跟随这一进展，当时他从鲤鱼洲回到北京后，虽然还在“文革”时期，他本人也被调离理论物理而安排在低温物理做第二类超导体研究，但他还是组织了一个统计物理的讨论会，这个讨论会每周一次，开头他亲自讲了四次昂萨格解。这是王竹溪真正钟情的理论物理基本问题，这些讲稿本来是可以纳入他的书中的，现在却只能留下永远的遗憾了。
第三节 与郭敦仁合著《特殊函数概论》
美国著名物理学家费曼曾说：“物理学的整个目的就是找出带小数点的数！否则你就什么也没做。”其实，做过实验物理的人都知道，这是费曼发自内心的肺腑之言，是他做物理的深切体会。无论是对理论家还是对实验家，这句话都适用，所不同的是找出各种数据的手段——实验家是通过测量，理论家是通过计算。所以说，实验家摆弄的是各种仪器和设备，理论家玩的则是公式推演与数值计算。做理论物理的基本工具就包括数学和各种数值计算的资料与工具。
前面我们已经看到，在王竹溪的研究中，经常要用到各种类型的方程、变换和特殊函数。在他的第一篇论文《旋转体后之湍流尾流》中，就用到利卡蒂方程、贝塞尔方程和贝塞尔函数；在剑桥研究吸附作用的统计理论时用到超几何函数；在西南联大研究海特勒-伦敦理论时用到共焦椭圆坐标系和泊松方程等。
20世纪前半叶理论物理学家所用的数学书籍中，有两部名著，即惠泰克与瓦特孙的《近代分析教程》（以下简称《教程》）和库朗特与希尔伯特的《数学物理方法》。前者专门讨论特殊函数，1902年出版，1927年出第四版，之后不断重印；后者涉及面广，特殊函数是其中一部分，1924年出德文版，后来译成英文，也是一再重印。
王竹溪在清华做学生时就养成习惯，凡是学习一门理论和学问，总是按照自己的理想与思路，独立整理出一个逻辑严谨而又清晰简洁的系统。这可能是很多理论物理学家共同的学习方法与工作方式，他们在机会到来时无疑最有能力创造出崭新而系统的理论。王竹溪在反复运用这两部名著时，也形成了自己的框架和系统。在完成《热力学》和《统计物理学导论》之后，他就邀请当时正在主讲“数学物理方法”课程的郭敦仁，来共同撰写一部《特殊函数概论》（以下简称《概论》）。郭敦仁是西南联大时清华物理系的学生，1939年选修“热力学”，开始了与王竹溪的师生情谊。王竹溪治学态度的严谨与表述问题的言简意赅给他留下了很深的印象，他四年级时由王竹溪指导做毕业论文，可惜因病辍学，回家休养。1950年，他回清华要求复学，王竹溪说：“你的水平已经可以做教员，不用复学了。”王竹溪推荐他做了助教。他后来在北大主讲“理论力学”、“数学物理方法”等课程。
正如王竹溪与郭敦仁在《概论》的序言中所言，惠泰克和瓦特孙的书稍微嫌老了一点，毕竟已用了半个多世纪。王、郭的书就是以那本书为基础改写的，同时也包含了一些新的材料。这些说起来简单、轻松，而实际上去做，却是一个巨大的工程。
王竹溪、郭敦仁的目标与惠泰克、瓦特孙的不同。惠泰克、瓦特孙的书是一部教程，是课堂讲授内容的文字版，是向学生传授的一门系统、完整的学问。《教程》全书608页，分成两个部分。第一部分为分析过程，集中和系统讲解所要用到的数学分析知识，占全书篇幅的三分之一；第二部分是超越函数，分别讲解伽玛函数、黎曼塞塔函数、超几何函数、勒让德函数、合流超几何函数、贝塞尔函数、数学物理方法、马丢函数、椭圆函数、西塔函数、雅克比椭圆函数、椭圆球谐函数和拉梅方程。而王竹溪、郭敦仁为《概论》的定位是要写一本“可以查阅的书”：“这本书不能太简单，也不能太专门。太简单了往往不够用，不能解决问题。太专门则卷帙太大，不容易查阅。也不能就是公式的堆集，那样查起来也费事，而且对公式的运算和推导不容易掌握。”按照这种考虑，《概论》的前两章是复变函数和数理方程的一些专门问题，这是对大学物理系本科“数学物理方法”课程的知识补充，相当于理论物理研究生所需的专门数学。在这个基础上，接下来逐章安排伽玛函数、超几何函数、勒让德函数、合流超几何函数、贝塞尔函数、外氏椭圆函数、西塔函数、雅氏椭圆函数、拉梅函数及马丢函数。全书680页，内容比惠、瓦的《教程》要多得多。这种安排既有理论基础，有益于理解和掌握，又章次清晰，易于查阅，而且叙述简洁明了，虽然增加了许多新的内容，但篇幅并没有增加太多。这样一部专门为理论物理学家写的工具书完全可以取代惠、瓦之《教程》，可放在案头随时查阅，与美国国家标准局阿布拉莫维茨与斯特冈编的多达一千多页的宏幅巨著《数学函数手册》及格拉施太因与瑞芝克著名的《积分、级数与乘积表》组成“数学三大件”，取长补短，相得益彰。
除了符号列表外，与《热力学》和《统计物理学导论》一样，在《概论》书末也编排了一份索引，以便于读者查阅。这虽然只是一件具体的小事，却体现了作者处处为读者着想的细心。书前有目录，书末附索引，这都是西方文化的一部分。我们传统的文化不仅缺少索引这种方便广大读者的人性化设计，甚至连标点符号都没有，能否正确断句，完全要靠你个人修炼的功力、水准与悟性。五四新文化运动在引进标点符号、提倡普及白话文的同时，也引进了在书末加索引的著作形式；只是在20世纪50年代以后，为了节省篇幅有些书将索引给略去了。
《概论》于1963年年底完稿，1965年出版，出版后不久就发生“文化大革命”，国内的科学工作大都处于停滞状态。“文革”结束后，科学工作逐步恢复正常，大家才又重新发现有这么一部优秀的工具书。2000年重新出版以后，很快脱销，又一再加印，在中国台湾地区还有盗版。
在1971年夏天杨振宁回国探亲访友时，王竹溪送了他一本《概论》。杨振宁十分欣赏，随即推荐给总部设在新加坡的著名的世界科学出版公司出英文版。后来由于王竹溪不幸去世，按照他的遗愿，将《概论》从中文翻译成英文的工作是由郭敦仁和清华大学夏学江合作完成的。英文版于1989年出版后，在全世界广泛传播。曾有外国教授给王竹溪来信，称赞《概论》一书，并介绍自己做的有关特殊函数的研究工作，列出了发表的文献，希望在再版时也能在书中收入他的这些成果。可惜王竹溪在江西鄱阳湖畔鲤鱼洲牧牛时染上恶疾，终因不治于1983年过早谢世，这位外国教授的愿望永远也不能实现了。一位科学家的成果，总是希望在最高层次刊物上发表以获得顶层圈子的接纳、反馈和认同；反过来看，他愿意在一本书中收入自己的研究成果，也可以看出这本书在他心目中的地位和分量。可以毫不夸张地说，王竹溪的这部工具书可以同惠泰克、瓦特孙的《近代分析教程》相媲美，而敢于写出一部著作来与这部风靡半个世纪以上的经典名著《近代分析教程》叫板并在内容与适用性上超越前者，作者无疑需要具有深厚的数学功底和足够丰富的经验积累。如果要说成就的话，那么写出这样一部使广大理论物理学家得到教益并影响几代人的传世之作，显然比写作百十篇刊登在专业期刊上没有什么人看的论文要更有价值得多。
惠泰克与瓦特孙均为皇家学会会员，在那个年代，当上皇家学会会员比获得诺贝尔奖还要光彩和荣耀。狄拉克在1930年当选为皇家学会会员，1933年曾想拒绝诺贝尔奖，足见此话不虚。
瓦特孙是大数学家，另有《复变积分与格西定理》与《贝塞尔论》两部名著和关于复变函数拉普拉斯积分的瓦特孙定理。惠泰克爵士是那个年代举足轻重、一言九鼎的大物理学家。在他的另一部经典名著《以太和电学理论之历史》一书中，在关于狭义相对论部分的长篇叙述中详细介绍了菲兹杰拉德、洛伦兹、庞加莱等人的工作和贡献，而将爱因斯坦放在次要位置，当时与他同在爱丁堡大学执教的玻恩曾多次劝阻他，他这种把握话语权者的固执与偏见则成了物理学界谈论的一个话题。
为了将理论的结果和实验的结果相比较，公式的推演只是其中的一个步骤，最后还必须进行数值计算，“找出带小数点的数”，用王竹溪的话说，“无数值的理论是不完全的，最多只能算半理论”，所以理论物理的学生还有一门专业课叫“计算方法”或“计算数学”。简单的计算用心算和笔算就可完成，复杂一点的用笔算太慢太繁，就要借助于简单的计算工具和数表。我们传统的计算工具是算盘，过去小学生学珠算，有许多口诀要背。学问要定量化，这是现代科学区别于古代传统的一个基本特征，也是我们文化中缺乏的一个要素。
西方早期的计算工具除了算盘外，还有机械式的手摇计算机。现在领先世界电脑业的国际商用机器公司（IBM）起家的主要产品之一就是国外商店收银台用的手摇计算机。除了手摇和电动计算机，那个年代的科学家与工程师还使用计算尺与各种数表。
对数表是用来作乘除法运算的，两个数相乘，取对数就变成了相加，加完之后再从对数表反查过去，就得到原来两数相乘的结果。这就将乘法运算变成了对数的加法运算，所得数值的有效位数，则取决于对数表的位数。那个年代的高中生均学过和熟悉对数表的用法。
王竹溪编写的《简明十位对数表》完成于1962年。随着实验测量精度的提高，当时常用的七位对数表已不敷所需，已有的基本十位对数表要么篇幅太多，查阅不方便；要么有错，用起来不放心。于是，王竹溪自己动手编起了这本对数表。他编写的依据是《不列颠对数表》中的二十位对数表，对插入的数点，他用贝塞尔二级差分的内插公式计算，算到了十三位。全表十页，一千多个数点，用手工计算，还要确保没错，这是不小的工作量，许多人眼高手低，不愿意做这种麻烦、琐碎而没有什么理论意义的事。至今，北京大学物理学院图书馆工具书架上还保存着一本《简明十位对数表》，见到它的人都知道，这本书经过了许多次的查阅使用。值得注意的是，当今普通的计算器也只有八位，还达不到这本对数表的精度。
现在有了个人电脑、大型及巨型计算机，不仅仅是算盘，就连机械计算机、计算尺和各种数表均已经或正在被淘汰出局。但是，科学不仅是逻辑的，更是历史的，我们应当了解那个年代科学工作的要求与艰辛。大家知道，我国氢弹设计，在理论上的突破，完全依赖于我国自制的速度只有每秒五千次的计算机。而第二次世界大战中奥本海默领导曼哈顿计划研制原子弹时，使用的还是机械式计算机。
第四节 关于量子力学的珍贵手稿
量子力学作为20世纪物理学的两大支柱之一，自然是每一位理论物理学家都会关注和研究的一个基本领域。王竹溪在西南联大研究的对换积分算法就是量子力学的问题。而除了在西南联大时为研究生开过量子力学课以外，1954年夏天在教育部举办的青岛全国大专院校教师讲习班上，王竹溪又一次系统地讲授过量子力学。1962年至1963年，他还指导研究生王正行和徐至展系统地学习狄拉克的经典名著《量子力学原理》，在一年的时间里，每周用一个下午与他们讨论和解答他们的问题。
“文革”结束前不久，王竹溪的学生、原北京大学技术物理系教授王正行从汉中到北京出差时，王竹溪曾亲自告诉他有打算写一部量子力学专著的想法。只是由于“文革”期间在血吸虫病疫区鲤鱼洲染上恶疾而过早地离世，他未能实现这一愿望，广大读者也失去了在量子力学领域跟他思考和探索的宝贵机会，王竹溪留下的只是一份未完成的手稿。
此手稿写在一本普通36开塑料封闭的道林笔记本上，目录有两页，正文有171页，共173页。王竹溪先生的这份手稿起名为《量子力学的某些重要理论》，后来改为《量子力学中一些重要理论》。这不禁让人想起世界著名物理学家费米的遗稿《量子力学笔记》。费米的手稿只有正文，巧合的是，页数也是171页。这份量子力学笔记是他生前最后一次在芝加哥大学的讲稿，时间为1954年冬，课程编号是“物理341”；一共讲了37个论题，也可以说是37节，涵盖了一门正规量子力学课程的方方面面，包括狄拉克方程。费米自己没写目录，是出版社自己加的，这份目录如果写出来也是两页。无独有偶，费米早年也写过一本《热力学》。
王竹溪在手稿正文开头之处写明了“1973.2.27讲，1977.6.18修改”和“参考书：狄拉克：量子力学原理（1965年中译本）”，但没写明讲课的对象。从时间上看，那是“文革”时期招收的70级的三年级，不过不可能是为他们讲的，因为整个框架的内容和深度显然已超过了本科生的量子力学，属于研究生的高等量子力学，而且狄拉克的书也不太适合初学者，“文革”期间更不可能采用洋人的书作为参考书。在那期间，王竹溪倒是指导过从欧洲来的学生史吾腊，他当然适合读狄拉克的书。根据王竹溪先生高足、原北大技术物理系教授王正行2007年3月14日对史吾腊的电话访谈，王竹溪的这份讲稿也不是为他讲的，王竹溪生前的多位理论物理的同事均不知此事。据“文革”前曾任王竹溪学术秘书的仇韵清回忆，大约在那一时期前后，王竹溪为年轻教师讲过课，当时大家无心学习，去的人很少，而且不是每人每次都到，少的时候只有一两人，但不管人多人少，王竹溪照样认真准备，认真讲授。遗憾的是，仇韵清也记不清王竹溪讲的是不是量子力学了。据北大低温物理的阎守胜回忆，王竹溪当时在低温物理，这是为低温物理的教师讲的。他清楚地记得王竹溪从几条基本原理出发推演，给他留下了很深的印象。按阎守胜的说法，讲完量子力学后，王竹溪又为他们讲授固体理论中的格林函数方法。因为王竹溪发现，在苏联理论物理学家关于超导电性格林函数方法的一部著名著作里有很多错误，于是又重新一步一步推导过。
从王竹溪手稿的目录上看，前四章实际上就是狄拉克前五章的内容，讲量子力学的基本原理和表象理论；第五、六、七章是狄拉克第六、十章的内容；第八章“角动量”比狄拉克讲得多和深，甚至讲了三个和四个角动量的耦合；第九章“近似方法”也比狄拉克讲得多和广，可惜最后一节“分子的能级”只列出了题目，没有正文。狄拉克的书在最后有狄拉克方程和量子电动力学这两章，王竹溪的手稿则没有这两方面的内容。
从这些内容的选取和安排来看，王竹溪并不是要写一本普通的量子力学教科书，而确实是要写一部专著，他是根据量子力学的基本原理，在一般理论的框架下，来讨论量子力学中一些重要的专门理论的。在这个意义上，这份讲稿很像是为某个领域的研究而做的准备工作。1973年，那是林彪死后相对平静的年份，王竹溪因为杨振宁的来访而得以脱离鲤鱼洲的磨难，回到了北京，这才为他提供了在当时举国动乱与强烈干扰中安下心来从事研究的环境与机会，为我们留下了这份宝贵的遗稿。
虽然这是一份尚未完成的初稿，但仍然可以看出王竹溪一贯的追求、风格与品位。例如，第一章讲量子力学的五个基本原理，严格按照狄拉克与冯·诺依曼的体系与诠释，依次阐述状态的叠加原理、物理量间算符表达、物理诠释、对易关系和运动方程。现在有些人认为对易关系不是一条基本原理，因为它可以从对称性的关系中推出来，这未尝不是一种理论，不过这就需要将对称性作为一条基本原理提出来，如何选择是见仁见智的事。不过，如果不将对称性作为一条基本原理明明白白地说出来，而只是在推演中需要的时候拿来用一下，当成一种隐藏在后台的原理，这就不是一个严谨的理论体系。
又如，讲物理诠释，多数人都只讲观测的平均值假设和波函数的统计诠释，而不提测量的问题，这实际上是只讲数学不讲物理。王竹溪的手稿虽然只用了短短的一页，却明确指出：“测量总是使系统突变到所测量的力学量的本征态，这个本征态所属的本真值等于测量的结果。”接着又指出：“这个突变称为‘投影假设’，即是原来的态突变到一个本征态，像是投影到这个本征态一样。这有时也称为波函数或波包的缩编（或收缩）（英文为reduction）。”在这样讲清测量的物理后，才讲如何计算对处于确定态的系统测量某一观测量多次的平均值，分别给出离散谱和连续谱的平均值假设。所以，王竹溪的严谨不仅在于数学，更在于物理，这是许多人不了解的。
从手稿上的修改，可以看出作者在公式的推导、文字表达、符号选择及术语措辞上的反复推敲、思考和琢磨，特别是对于角动量耦合的那些复杂公式的推导。他总是要给出一个清晰、简单、干净、明白的结果，就像他将卡拉西奥多里称为卡拉氏一样，他这里将运动方程的绘景或图像与表象理论的表象都称为表象，以简化术语，并将薛定谔表象、海森伯表象、狄拉克表象进一步分别简称为“薛表象”、“海表象”、“狄表象”。这又一次让人联想到了狄拉克，他为了使表述在语法上对称而创造出新词“quantal”；为了叙述简洁而将“bracket”拆成两个词“bra”和“ket”；为简化而创造出新词c-数与q-数。这两人的风格与品位何其相似，如出一辙！
王竹溪的量子力学完全体现了他的风格、品位、特点与追求，与他的师兄狄拉克一样，他们都追求理论的简洁与完美。按照他们的思路，整个量子力学是从几条简单明白的基本原理出发，逻辑地演绎出来的一个优美体系。这与当成一门技艺来传授的量子力学不同，前者是一门艺术品，后者是一门工艺品。杨振宁在20世纪70年代初回来访问时就说，王竹溪的量子力学比美国的好，所以他要用到量子力学时，还要翻阅当年在西南联大听王竹溪讲课时的笔记。这样一部遗稿若能付梓面世，无疑将会备受关注与欢迎。可喜的是，出版了大量高水平、高质量、适应多层次需要的优秀高等教育教材的北京大学出版社，将推出王竹溪先生的《量子力学手稿》。
第五节 杰出论文与鲜为人知的工作
一个基本理论有时会具有潜在军事应用的可能，而研究者本人在事先并不知。王竹溪在20世纪60年代发表的两篇论文，就是这样一种情形。这就是他1962年在《物理学报》上发表的《物质内部有辐射的热传导问题》和与章立源合作1965年在《物理学报》上发表的《由实验数据计算氢气的维里系数问题》。
《物质内部有辐射的热传导问题》一文研究在透明物质内部有辐射的热传导问题，首先得到了普遍的传热方程，接着详细研究了稳定情形下普遍传热方程在平面、圆柱体、球体和长椭球四种特殊形状物体中的解。在平面问题中进行了数值计算，所得结果与以前开累（B.S.Kellet）所得的不同。文章指出，开累忽略了热向各个方向辐射的性质，而只考虑了辐射在温度变化的方向，因而所得的传热方程不同。在《由实验数据计算氢气的维里系数问题》这篇论文中，对于气体物态方程维里系数的算法，王竹溪与章立源作了全面的探讨，提出了如何判定物态方程中相数的四条原则：（1）用误差平方和的大小变化来判断相数如何选取；（2）多项式要满足逐相在数值上减少的级数性质；（3）多项式的末一项大小要与实验误差大小相同；（4）误差的正负号数目要大致相等。此外，还讨论了用压强展开和用密度展开的问题、级数展开式中省去奇数幂次相问题、维里系数的有效位数问题、若干实验数据的修正问题等。他们根据上述原则和建议，重新计算了氢气的维里系数，结果与各位原作者所得的相当的不同。在同一温度用不同实验室的数据所得的维里系数比各位原作者所得的要互相接近些，一般在两倍标准误差内一致。论文中的几百个数据点都是章立源先用机械的电动计算机算出来后，王竹溪又用对数表逐一重新计算和核对的。
这两篇论文都秉承了王竹溪一贯的传统和风格，从一般和普遍的公式和原理出发，用到具体问题，逐步简化和近似，最后求得所要的解答。在求解过程中，也是先进行数学变换，然后再求积分，并且算出了与实验比较的详细而具体的结果。作了哪些假设，用到什么近似，都清清楚楚。整个理论完善、干净而且利索，即使不是专业的读者，也可以一步一步地跟随下来，容易看懂和学会。
但是，这两篇文章与王竹溪以前的工作有所不同。首先，虽然它们也是热学问题，但它们在王竹溪的工作中像是两个“孤立奇点”，与其他工作没有连续和传承的关系，不是以前工作的连续和延伸；其次，这两个工作不像他以前的工作，不是偏重物理和理论，而是侧重技术与应用，目标不在于寻求未知的物理和创建新的理论，而是要解决具体应用中的技术和细节问题。文章中多次出现“在实际问题中”和“在处理实验数据时”这类词句，明显表明工作具有实际的目的和用途，却又语焉不详，耐人寻味。
直到20世纪80年代许多事情解密，才为上述疑问的解答提供了线索。原来，在1955年至1966年期间，王竹溪参与筹建原子能研究所（现在中国原子能研究院的前身）二部并在那里兼职。这件事在北大严格保密，只有主管副校长一人知道。中国工程物理研究院徐锡申先生那时在核武器研究所做物态方程的事，在物理上遇到具体问题，自然会找他做研究生时的导师王竹溪讨论。
有了以上线索，以上两篇文章就很容易理解了。物质内部有辐射的热传导，这是反应堆与核武器设计中的一个重要问题。王竹溪得到的普遍的传热方程是非线性积分方程，他先进行线性近似，再求级数解，给出可以进行数值计算的解析表达式，并在平面的情形中算出具体的数表。这也就清楚，王竹溪为什么在文中讨论高温陶瓷材料，而且计算球体和长椭球这几类几何形状。著名科学家朗道对苏联核武器的贡献，正是在于他与其他人合作首先解决了流体动力学和热传导方程数值积分的稳定性问题。懂点数值计算的人都知道，非线性方程数值积分的稳定性是一个非常严重的问题；而王竹溪用线性化和级数找到了近似的解析公式，从而绕过了这个问题。
同样，高密度气体的物态方程是核武器设计中的又一个重要问题，特别是氢气的物态方程，是氢弹设计中的一个重要的输入函数。由实验数据计算氢气的维里系数，从而给出精确适用的物态方程，就为爆炸过程的动力学计算提供了基础。
当然，仅仅从发表的这两篇文章来看，并不能说明王竹溪所直接参与的工作的性质和深度，因为与工作直接有关的任何文字和内容都是绝对保密的，不可能拿出来发表。就连邓稼先当年为年轻学生讲授“电动力学”、“量子场论”、“群论”等课程的讲稿，也都是等到解密以后，才收入在他身后出版的文集中。所以只能说，王竹溪这两篇文章的背景与起因，第一篇是他在原子能研究所的工作，第二篇则可能是受到徐锡申的影响和启发。
按北京电视台《档案》栏目之专题节目《两弹元勋邓稼先》中的相关描述，原子弹理论部的工作人员算出来的是人们难以想象的大量数字，算出的纸一扎一扎、一捆一捆，装在麻袋里，堆满了屋子。每一个数字都要反复核对，确保准确无误。一个关键数据，算一遍要有上千个网点，每个网点，要解开五六个方程式。
原子能研究所分一部和二部两部分。一部在中关村，是对外开放的民用部分，有赵忠尧用从美国带回来的部件所制成的质子静电加速器；二部在房山坨里，是研究所的主体，苏联援建的反应堆与加速器都在那里。1956年还在新建时，中国原子能科学之父钱三强就考虑，二部要设八个研究室，分别是低温物理、中子物理、高能基本粒子、理论物理、放射化学、金属物理、放射生理学、同位素应用研究室，其中第六研究室研究金属物理，也就是核材料，主要从事核材料的辐射损伤研究。
实际上，据邢修三的回忆，王竹溪从1955年起就参与了这个原子能研究机构的筹建，与葛庭燧共同负责金属物理研究室，1956年在理论物理室统计物理组兼职。在金属物理研究室，葛庭燧实际上未能到任，王竹溪除理论组外，还管物理组，统管全室工作。王竹溪做北大副校长以后，改由李林做室主任，但王竹溪每周还去，一直到“文革”开始以后。就是这样，王竹溪为我国的原子能和核武器事业勤勤恳恳，默默无闻，甘当配角，无私奉献地持续工作了十多年。
