46.测算地球周长
公元前3世纪，有位古希腊数学家叫埃拉托斯芬。他才智高超，多才多艺，在天文、地理、机械、历史和哲学等领域里，也都有很精湛的造诣，甚至还是一位不错的诗人和出色的运动员。
人们公认埃拉托斯芬是一个罕见的奇才，称赞他在当时所有的知识领域都有重要贡献，但又认为，他在任何一个领域里都不是最杰出的，总是排在第二位，于是送他一个外号“贝塔”。意思是第二号。
能得到“贝塔”的外号是很不容易的，因为古代最伟大的天才阿基米德，与埃拉托斯芬就生活在同一个时代！他们两人是亲密的朋友，经常通信交流研究成果，切磋解题方法。大家知道，阿基米德曾解决了“砂粒问题”，算出填满宇宙空间至少需要多少粒砂，使人们瞠目结舌。大概是受阿基米德的影响吧，埃拉托斯芬也回答了一个令人望而生畏的难题：地球有多大？
怎样确定地球的大小呢？埃拉托斯芬想出一个巧妙的主意：测算地球的周长。
埃拉托斯芬生活在亚历山大城里，在这座城市正南方的785公里处，另有一座城市叫塞尼。塞尼城中有一个非常有趣的现象，每年夏至那天的中午12点，阳光都能直接照射城中一口枯井的底部。也就是说，每逢夏至那天的正午，太阳就正好悬挂在塞尼城的天顶。
亚历山大城与塞尼城几乎处于同一子午线上。同一时刻，亚历山大城却没有这样的景象。太阳稍稍偏离天顶的位置。一个夏至日的正午，埃拉托斯芬在城里竖起一根小木棍，动手测量天顶方向与太阳光线之间的夹角，测出这个夹角是7.2°，等于360°的1／50。
由于太阳离地球非常遥远，可以近似地把阳光看作是彼此平行的光线。于是，根据有关平行线的定理，埃拉托斯芬得出了∠1=∠2的结论。
在几何学里，∠2这样的角叫做圆心角。根据圆心角定理，圆心角的度数等于它所对的弧的度数。因为∠2＝∠1，它的度数也是360°的1／50，所以，图中表示亚历山大城和赛尼城距离的那段圆弧的长度，应该等于圆周长度的1／50。也就是说，亚历山大城与塞尼城的实际距离，正好等于地球周长的1／50。
于是，根据亚历山大城与塞尼城的实际距离，乘以50，就算出了地球的周长。埃拉托斯芬的计算结果是：地球的周长为39250公里。
这是人类历史上第一次进行这样的测量。
联想到埃拉托斯芬去世1800年后，仍然有人为地球是圆的还是方的而喋喋不休时，埃拉托斯芬高超的计算能力和惊人的胆识益发受到人们的称颂。
47.几何学的一大宝藏
100多年前，一位心理学家做了个有趣的实验。他精心设计出许多不同的矩形，然后邀请许多朋友来参观，请他们各自选择一个自认为最美的矩形。结果，592位来宾选出了4个矩形。
这4个矩形看上去协调、匀称、舒适，确实能给人一种美的享受。那么，这种美的奥秘在哪里呢？
心理学家动手测量了它们的边长，发现它们的长和宽分别是：5、8；8，13；13，21；21，34。而这些边长的比值，又都出乎意料地接近了0.618。
58≈0.625；813≈0.615；
1321≈0.619；2134≈0.618。
这是一次偶然的巧合吗？
选择一扇看上去最匀称的窗户，量一量它的各个边长吧；选一册装帧精美的图书，算一算它边长的比值吧……只要留心观察，就不难时时发现“0.618”的踪迹。有经验的报幕员上台亮相，决不会走到舞台的正中央，而是站在近乎舞台长度的0.618倍处，给观众留下一个美的形象……
哪里有“0.618”，哪里就闪烁着美的光辉。连女神维纳斯的雕像上也都烙有“0.618”的印记。如若不信，不妨去算一算这尊女神身长与躯干的比值，看看是不是接近于0.618？而一般人身长与躯干之比，大约只有0.58。难怪芭蕾舞演员在翩翩起舞时，要不时地踮起脚尖呢。
这些都是偶然的巧合吗？当然不是。数学家会告诉你，它们遵循着数学的黄金分割律。
公元前4世纪，有位叫攸多克萨斯的古希腊数学家，曾经研究过这样一个问题：“如何在线段AB上选一点C，使得AB∶AC＝AC∶CB？”这就是赫赫有名的黄金分割。
C点应该选择在什么地方呢？不妨假设线段AB的长度是1C，点到A点的长度是X，则C点到B点的长度是（1－X），于是
1∶X＝X∶（1－X）
解得X＝-1+52。
舍去负值，得X＝5-12≈0.618。
“0.618”是唯一满足黄金分割的点，叫做黄金分割点。
黄金分割冠以“黄金”二字，足见人们对它的珍视。艺术家们发现，遵循黄金分割来设计人体形象，人体就会呈现最优美的身段，音乐家们发现，将手指放在琴弦的黄金分割点处，乐声就益发宏亮，音色就更加和谐；建筑师们发现，遵循黄金分割去设计殿堂，殿堂就更加雄伟庄重，去设计别墅，别墅将更使人感到舒适；科学家们发现，将黄金分割运用到生产实践和科学实验中，能够取得显着的经济效益……
黄金分割的应用极其广泛，不愧为几何学的一大宝藏。
48.送给外星人看
几何学里有一个非常重要的定理，在我国叫勾股定理，在国外叫毕达哥拉斯定理，相传毕达哥拉斯发现这个定理后欣喜欲狂，宰了100头牛大肆庆贺了许多天，因此这个定理也叫百牛定理。
勾股定理的大意是：任意画一个直角三角形，它的两条直角边的平方和，一定会等于斜边的平方。这个定理精确地刻画了直角三角形3条边之间的数量关系，以它为基础，还可以推导出不少重要的数学结论来。
勾股定理不仅是最古老的数学定理之一，也是数学中证法最多的一个定理。几千年来，人们已经发现了400多种不同的证明方法，足以编成厚厚的一本书。实际上，国外确实有一本这样的书，书中收集有370多种不同的证法。在为数众多的证题者中，不仅有着名的数学家，也有许多数学爱好者。美国第20任总统伽菲尔德，就曾发现过一种巧妙的证法。
伽菲尔德的证法很有趣。他首先画两个同样大小的直角三角形，然后设法组成一个梯形。根据梯形面积的计算公式，整个图形的面积为
S＝a+b2(a+b)
＝12（a2＋b2＋2ab）。
另一方面，根据三角形面积计算公式，整个图形的面积为
S＝12ab＋12ab＋12c2＝12（2ab＋c2）。
即a2＋b2＝c2。
据说，世界上最先证明勾股定理的人，是古希腊数学家毕达哥拉斯，但谁也未见过他的证法。目前所能见到的最早的一种证法，属于古希腊数学家欧几里得，他的证法采用演绎推理的形式，记载在世界上数学名着《几何原本》里。
在我国，最先明确地证明勾股定理的人，是三国时期的数学家赵爽。
赵爽的证法很有特色。首先，他作4个同样大小的直角三角形，将它们拼成设定的形状，然后再着手计算整个图形的面积。显然，整个图形是一个正方形，它的边长是C，面积为C2。另一方面，整个图形又可以看作是4个三角形与1个小正方形面积的和。4个三角形的总面积是2ab，中间那个小正方形的面积是（b－a）2，它们的和是2ab＋（b－a）2＝a2＋b2。比较这两种方法算出的结果，就有，
a2＋b2＝c2。
赵爽的证法鲜明地体现了我国古代证题术的特色。这就是先对图形进行移、合、拼、补，然后再通过代数运算得出几何问题的证明。这种方法融几何代数于一体，不仅严谨，而且直观，显示出与古代西方数学完全不同的风格。
比赵爽稍晚几年，我国数学家刘徽发明了一种更巧妙的证法。在刘徽的证法里，已经用不着进行代数运算了。
刘徽想：直角三角形3条边的平方，可以看作3个不全相等的正方形，这样，要证明勾股定理，就可以理解为要证明：两条直角边上的正方形面积之和，等于斜边上正方形的面积。
于是，刘徽首先作出两条直角边上的正方形，他把由一条直角边形成的正方形叫做“朱方”，把由另一条直角边形成的正方形叫做“青方”，然后把图中标注有“出”的那部分图形，移到标注有“入”的那些位置，就拼成了图中斜置的那个正方形。刘徽把斜置的那个正方形叫做“弦方”，它正好是由直角三角形斜边形成的一个正方形。
经过这样一番移、合、拼、补，自然而然地得出结论：
朱方十青方＝弦方。
即a2＋b2＝c2。
“青朱出入图”，这是一幅多么神奇的图啊！甚至不用去标注任何文字，只要相应地涂上朱、青两种颜色，也能把蕴含于勾股定理中的数学真理，清晰地展示在世人面前。
我国着名数学家华罗庚认为，无论是在哪个星球上，数学都是一切有智慧生物的共同语言。如果人类要与其他星球上的高级生物交流信息，最好是送去几个数学图形。其中，华罗庚特别推荐了这幅“青朱出入图”。
我们深信，如果外星人真的见到了这幅图，一定很快就会明白：地球上生活着具有高度智慧和文明的友邻，那里的人们不仅懂得“数形关系”，而且还善于几何证明。
49.蜜蜂的智慧
蜜蜂的勤劳是最受人们赞赏的。有人作过计算，一只蜜蜂要酿造1公斤的蜜，就得去100万朵花上采集原料。如果花丛离蜂房的平均距离是1.5公里，那么，每采1公斤蜜，蜜蜂就得飞上45万公里，几乎等于绕地球赤道飞行了11圈。
其实，蜜蜂不仅勤劳，也极有智慧。它们在建造蜂房时显示出惊人的数学才华，连人间的许多建筑师也感到惭愧呢！
着名生物学家达尔文甚至说：“如果一个人看到蜂房而不倍加赞扬，那他一定是个糊涂虫。”
蜂房是蜜蜂盛装蜂蜜的库房。它由许许多多个正六棱柱状的蜂巢组成，蜂巢一个挨着一个，紧密地排列着，中间没有一点空隙。早在2200多年前，一位叫巴普士的古希腊数学家，就对蜂房精巧奇妙的结构作了细致的观察与研究。
巴普士在他的着作《数学汇编》中写道：蜂房里到处是等边等角的正多边形图案，非常匀称规则。在数学上，如果用正多边形去铺满整个平面，这样的正多边形只可能有3种，即正三角形、正方形、正六边形。蜜蜂凭着它本能的智慧，选择了角数最多的正六边形。这样，它们就可以用同样多的原材料，使蜂房具有最大的容积，从而贮藏更多的蜂蜜。
也就是说，蜂房不仅精巧奇妙，而且十分符合需要，是一种最经济的结构。
历史上，蜜蜂的智慧引起了众多科学家的注意。着名天文学家开普勒曾经指出：这种充满空间的对称蜂房的角，应该和菱形12面体的角一样。法国天文学家马拉尔弟则亲自动手测量了许多蜂房，他发现：每个正六边形蜂巢的底，都是由3个全等的菱形拼成的，而且，每个菱形的钝角都等于109°28′，锐角应该是70°32′。
18世纪初，法国自然哲学家列奥缪拉猜测：用这样的角度建造起来的蜂房，一定是相同容积中最省材料的。为了证实这个猜测，他请教了巴黎科学院院士、瑞士数学家克尼格。
这样的问题在数学上叫极值问题。克尼格用高等数学的方法作了大量计算，最后得出结论说，建造相同容积中最省材料的蜂房，每个菱形的钝角应该是109°26′，锐角都等于70°34′。
这个结论与蜂房的实际数值仅2′之差。
圆周有360°，而每1°又有60′。2′的误差是很小的。人们宽宏大量地想：小蜜蜂能够做到这一步已经很不错了，至于2′的小小误差嘛，完全可以谅解。
可是事情并没有完结。1743年，着名数学家马克劳林重新研究了蜂房的形状，得出一个令人震惊的结论：要建造最经济的蜂房，每个菱形的钝角应该是109°28′16″，锐角应该是70°31′44″。
这个结论与蜂房的实际数值吻合。原来，不是蜜蜂错了，而是数学家克尼格算错了！
数学家怎么会算错了呢？后来发现，当年克尼格计算用的对数表印错了。
小小的蜜蜂可真不简单，数学家到18世纪中叶才能计算出来、予以证实的问题，它在人类有史之前已经应用到蜂房上去了。
50.神奇的幻方
相传在大禹治水的年代里，陕西的洛水常常大肆泛滥。洪水冲毁房舍，吞没田园，给两岸人民带来巨大的灾难。于是，每当洪水泛滥的季节来临之前，人们都抬着猪羊去河边祭河神。每一次，等人们摆好祭品，河中就会爬出一只大乌龟来，慢吞吞地绕着祭品转一圈。大乌龟走后，河水又照样泛滥起来。
后来，人们开始留心观察这只大乌龟。发现乌龟壳有9大块，横着数是3行，竖着数是3列，每一块乌龟壳上都有几个小点点，正好凑成从1到9的数字。可是，谁也弄不懂这些小点点究竟是什么意思。
