在欧洲，这些“破碎数”曾经令人谈虎色变，视为畏途。7世纪时，有个数学家算出了一道8个分数相加的习题，竟被认为是干了一件了不起的大事情。在很长的一段时间里，欧洲数学家在编写算术课本时，不得不把分数的运算法则单独叙述，因为许多学生遇到分数后，就会心灰意懒，不愿意继续学习数学了。直到17世纪，欧洲的许多学校还不得不派最好的教师去讲授分数知识。以致到现在，德国人形容某个人陷入困境时，还常常引用一句古老的谚语，说他“掉进分数里去了”。
一些古希腊数学家干脆不承认分数，把分数叫做“整数的比”。
古埃及人更奇特。他们表示分数时，一般是在自然数上面加一个小圆点。在5上面加一个小圆点，表示这个数是1／5；在7上面加一个小圆点，表示这个数是1／7。那么，要表示分数2／7怎么办呢？古埃及人把1／4和1／28摆在一起，说这就是2／7。
1／4和1／28怎么能够表示2／7呢？原来，古埃及人只使用单分子分数。也就是说，他们只使用分子为1的那些分数，遇到其他的分数，都得拆成单分子分数的和。1／4和1／28都是单分子分数，它们的和正好是2／7，于是就用14+128来表示2／7。那时还没有加号，相加的意思要由上下文显示出来，看上去就像把1／4和1／28摆在一起表示了分数2／7。
由于有了这种奇特的规定，古埃及的分数运算显得特别繁琐。例如，要计算5／7与5／21的和，首先得把这两个分数都拆成单分子分数：
57+521＝(12+17+114)+(17+114+142)；
然后再把分母相同的分数加起来：
12+27+214+1〖〗42；
由于算式中出现了一般分数，接下来又得把它们拆成单分子分数：
12+14+17+1〖〗28+142。
这样一道简单的分数加法题，古埃及人算起来都这么费事，如果遇上复杂的分数运算，他们算起来又该是何等的吃力。
在西方，分数理论的发展出奇地缓慢，直到16世纪，西方的数学家们才对分数有了比较系统的认识。甚至到了17世纪，数学家科克在计算35+78+910+1220时，还用分母的乘积8000作为公分母！
而这些知识，我国数学家在2000多年前就都已知道了。
我国现在尚能见到最早的一部数学着作，刻在汉朝初期的一批竹简上，名字叫《算数书》。它是1984年初在湖北省江陵县出土的。在这本书里，已经对分数运算作了深入的研究。
稍晚些时候，在我国古代数学名着《九章算术》里，已经在世界上首次系统地研究了分数。书中将分数的加法叫做“合分”，减法叫做“减分”，乘法叫做“乘分”，除法叫做“经分”，并结合大量例题，详细介绍了它们的运算法则，以及分数的通分、约分、化带分数为假分数的方法步骤。尤其令人自豪的是，我国古代数学家发明的这些方法步骤，已与现代的方法步骤大体相同了。
例如：“又有九十一分之四十九，问约之为几何？”书中介绍的方法是：从91中减去49，得42；从49中减去42，得7；从42中连续减去7，到第5次时得7，这时被减数与减数相等，7就是最大的公约数。用7去约分子、分母，那就得到了49／91的最简分数7／13。不难看出，现在常用的辗转相除法，正是由这种古老的方法演变而来。
公元263年，我国数学家刘徽注释《九章算术》时，又补充了一条法则：分数除法就是将除数的分子、分母颠倒与被除数相乘。而欧洲直到1489年，才由维特曼提出相似的法则，已比刘徽晚了1200多年！
苏联数学史专家鲍尔加尔斯基公正地评价说：“从这个简短的论述中可以得出结论：在人类文化发展的初期，中国的数学远远领先于世界其他各国。”
43.天外来客
我们在前面讲述过毕达哥拉斯的故事。在西方数学史上，他还以发现毕达哥拉斯定理而闻名。
毕达哥拉斯定理的内容是：在直角三角形里，两条直角边的平方和，一定等于斜边的平方。这是几何学里一个非常重要的定理。相传毕达哥拉斯发现这个定理以后，高兴得不得了，宰了100头牛大肆庆贺了许多天。
说来有趣，正是这个让他欣喜若狂的定理，后来又使他狼狈万分，几乎无地自容。
毕达哥拉斯有一句名言，叫做“万物皆数”。他把数的概念神秘化了，错误地认为：宇宙间的一切现象，都可以归结为整数或者整数的比；除此之外，就不再有别的什么东西了。
问题就出在这里。有一天，毕达哥拉斯的一个学生，在世界上找到了一种既不是整数，又不是整数之比的怪东西。
这个学生叫希伯斯，他研究了一个边长为1的正方形，想知道对角线的长度是多少。
从图上看得很清楚，对角线与正方形的两条边组成了一个直角三角形。根据毕达哥拉斯定理，希伯斯算出对角线的长度等于2。可是，2既不是整数，也不是整数的比。他惶惑极了：根据老师的看法，2应该是世界上根本不存在的东西呀？
希伯斯把这件事告诉了老师。毕达哥拉斯惊骇极了，他做梦也没想到，自己最为得意的一项发明，竟招来一位神秘的“天外来客”。
毕达哥拉斯无法解释这种怪现象，又不敢承认2是一种新的数，因为他的全部“宇宙”理论，都奠基在整数的基础上。他下令封锁消息，不准希伯斯再谈论2，并且警告说，不要忘记了入学时立下的誓言。
原来，毕达哥拉斯学派是一个非常着名的科学会社，也是一个非常神秘的宗教团体。每个加入学派的人都得宣誓，不将学派里发生的事情告诉给外人。谁要是违背了这个规矩，任他逃到天涯海角，也很难逃脱无情的惩罚。
希伯斯很不服气。他想，不承认2是数，岂不等于是说正方形的对角线没有长度吗？简直是睁着眼睛说瞎话！为了坚持真理，扞卫真理，希伯斯将自己的发现传扬了开去。
毕达哥拉斯恼羞成怒，给希伯斯罗织了一个“叛逆”的罪名，决定严加“惩罚”。希伯斯听到风声后连夜逃走了，他东躲西藏，最后逃上了一艘海船离开了希腊，没想到在茫茫大海上，还是遇到了毕达哥拉斯派来追他的人……
真理是打不倒的。毕达哥拉斯能够“惩罚”希伯斯，却“惩罚”不了2。这位神秘的“天外来客”不但逍遥法外，反而引来更多的同伴：3、5、7……频繁地出现在各类数学问题中，使得古希腊数学家伤透了脑筋……
直到最近几百年，数学家们才弄清楚，2确实不是整数，也不是分数，而是一种新的数，叫做无理数。
无理数也就是无限不循环的小数。2是人类最先认识的一个无理数。1971年10月，一位美国数学家在电子计算机上运算了47.5个小时，求出了2小数点后的100082位数，得到的仍然是个近似值。分析这样一个精确的近似值，人们仍然看不到2的小数部分有一丝循环的迹象。
毕达哥拉斯扮演了一个可悲的角色。他不知道，无理数概念的产生，是数学史上一个重大的发现，也是整个毕达哥拉斯学派的光荣。
44.神秘的两栖物
着名数学家华罗庚说过：“数是数（shǔ）出来的，一个一个地数（shǔ），因而出现了1，2，3，4，5……”其实，不仅是自然数，其他一些数的引入，也都与物体的度量有关。分数的引入，与度量物体的细小部分有关；无理数的引入，与度量正方形对角线这类长度有关……
16世纪时，数学家们遇到了一种奇怪的数，这种数与物体的度量无关，而且在很长的一段时间里，谁都没能在生活中找到一样事物，说它需要用这种数来刻画。
例如，意大利数学家卡当就曾遇见过这种奇怪的数。有一次，他动手解答一道很简单的数学题：“两个数的和是10，积是40，问这两个数各是多少？”
卡当设第一个数是X，由于两个数的和是10，他将第二个数记作（10－X）；因为两个数的积是40，于是有
X（X－10）＝40，
即X2－10X＋40＝0。
这是一个一元二次方程。数学家们早就知道了这类方程的求根公式，只要把方程的系数1、－10、40代入公式里，马上就可以算出方程的两个答案来。可是，当卡当把1、－10、40代入公式后，却算出了两个令人困惑不解的怪东西：5＋-15和5－-15。
卡当为什么困惑不解呢？
原来，他遇上了负数开平方的情形。是开平方运算的符号，如32＝9，则9＝3。人们一直认为，负数是不能开平方的，不仅如此，当时的人们对一些正数开平方，如2、15，也认为“仅仅是些记号而已”，不承认它们是一种数。因此，讨论-15就更加没有意义了。
卡当想，既然“15仅仅是些记号而已”，那么，何尝不把-15也看作“是些记号而已”呢？他鼓足勇气，“不管良心会受到多大的责备”，把那两个怪东西当作是两个数，代入题中进行了演算。瞧：
（5＋-15）＋（5－-15）＝10，
（5＋-15）×（5－-15）＝40，
这两个怪东西正好是题目要求的数！
从这个意义上说，这两个怪东西应该是一种数。可是，这是一种什么样的数呢？卡当没有弄清楚，17世纪的数学家们，也没有弄清楚。他们觉得这种数不像其他的数那样“实在”，有一种虚无缥缈的味道，于是就起了个名字叫“虚数”。
尽管虚数有了数的名称，许多数学家仍然拒绝承认它。例如大数学家牛顿就曾严厉指责虚数缺乏“实在”的物理意义。大数学家莱布尼兹更有趣，他说：虚数是“理想世界的奇异创造”，是一个“介于存在与不存在之间的两栖物”。
18世纪下半叶，大数学家欧拉最先用i这个记号来表示虚数单位，例如，-1可以记作i，-15可以记作15i。但是，欧拉也没有弄清虚数到底是个什么东西。他说：“一切形如-1、-2的数学式，都是不可能有的、想像的数，……它们既不是什么都是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么。它们纯属虚构。”
其实，虚数并不是虚构的数，其中的秘密，数学家们直到19世纪才弄清楚。有人用平面上的点来表示虚数，对虚数的性质作出了合理的解释，虚数也就逐渐为大家所接受。在现在高中课本里，对虚数的性质作了详细的叙述，到时候，读者们自会去作一番探幽揽胜的巡游，这里就不多加介绍了。
需要指出的是，有了虚数之后，整个数系也就完备了。除了0不能作分母以外，任何两个数都可以相加、相减、相乘、相除，以及乘方和开方了。
45.度天下之方圆
有一个气魄宏伟的动人故事，叫大禹治水。
故事发生在遥远的公元前21世纪，那时，我国的黄河流域经常“洪水滔天”。洪水吞没田园，冲毁房舍，使人们流离失所。于是，各个部落的人们团结起来，与大自然展开了一场艰苦卓绝的斗争。
起初，这场斗争由大禹的父亲鲧来指挥。鲧一心想把事情办好，但采用的方法不对，他一味强调，“水来土掩”，哪里有洪水就派人到哪里去堵，结果越堵水患越严重。
鲧治水失败后，大禹挺身而出，担负起领导治水的重任。他认为要制服水患，就必须因势利导，根据河流的走势宣泄水流。为了规划出一套正确的治水方案，大禹不辞辛劳地爬山涉水，实地勘察山川形势。他三过家门而不入，领导人们开山劈岭，疏浚河道，广修沟渠，奋战12年，终于“开九州，通九道”，制服了水患，谱写了一曲人定胜天的凯歌。
不具备相当的数学知识，就很难完成这项规模巨大的工程。所以，史书在记载大禹治水的动人事迹时，都没有忘记加上一句，大禹“左准绳，右规矩”。意思是大禹随身携带着规、矩这两样测量工具。
规矩是什么样的奇妙工具？竟能用来“望山川之形，定高下之势”，在改造大自然的斗争中大建奇功？
在山东省嘉祥县一座古代建筑的石室造像中，依稀可见规矩的模样。图中有两位古代神话中我们远古祖先的形象，一位叫伏羲，一位叫女娲。伏羲手中的物体就是规，它呈两脚状，与现在的圆规相似；女娲手中的物体叫做矩，它呈直角拐尺形。
原来，规就是画圆用的圆规，矩就是折成直角的曲尺。矩由长短两把尺合成，短尺叫勾，长尺叫股，可以用来画直线或者作直角。
公元前11世纪，有位叫商高的古代数学家，曾详细介绍了用矩的方法。他说：
“把矩平放在地上，可以定出绳子的垂直；把矩竖立起来，可以测量物体的高度；把矩倒立过来，可以测量物体的深度；把矩平卧在地上，可以测量两地之间的距离。矩旋转一周，就形成了一个圆形，两个矩合拢起来，就形成了一个方形。
“知天文识地理的人是很有学问的，而这种学问就来自勾股测量，勾股测量又依赖于矩的应用。矩与数结合起来，就可以设计和制作天下的万物。”
瞧，矩的用途是多么广泛和灵活，我们的祖先又将它运用得多么出神入化啊。
规矩究竟发明于何时，已经很难考察了，但它们起源于极遥远的古代，却是无庸置疑的。在我国最早的文字甲骨文中，已有了规、矩这两个字，其中的规字，就很像手执圆规画圆的样子。到了春秋战国时期，书中关于规矩的论述更是多得不胜枚举。墨子说过：造车的工匠“执其规矩，以度天下之方圆”；孟子说过：即使是离娄那样眼光锐利的人，即使是鲁班那样心灵手巧的工匠，“不以规矩，不能成方圆”。可见至少从那时起，规与矩的应用在我国民间已经很普遍了。
