约公元前5世纪的古希腊哲学家芝诺提出了4个着名的悖论。第一个悖论说运动不存在。理由是运动物体到达目的地之前必须先抵达小点。也就是说，一个物体从A到B，永远不能达到。因为要从A到B，必须先达到AB的中点C，为达到C必须先达到AB的中点D，等等。这就要求物体在有限时间内通过无限多个点，从而是不可能的。第二个悖论说希腊的神行太保阿希里永远赶不上在他前面的乌龟。因为追赶者首先必须到达被追者的起点，因而被追者永远在前面。第三个悖论说飞箭静止，因为在某一时间间隔，飞箭总是在某个空间间隔中确定的位置上，因而是静止的。第四个悖论是游行队伍悖论，内容与前者基本上是相似的。芝诺悖论在数学史上有着重要的地位，有人将它看成是第二次数学危机的开始。无理数的发现，被认为是第一次数学危机，并由此导致了实数理论、集合论的诞生。
英国着名哲学家、数学家、逻辑学家罗素(1872年～1970年)讲这样一个故事：有一个村庄的理发师立下了“只为所有不自己理发的人理发”的规矩。于是有人问他：“理发师先生，您的头由谁理呢？”这可难住了理发师。因为从逻辑上讲有两种可能性，自己给自己理或请别人给自己理。但若自己给自己理，那就违背了立下的规矩；如果请别人给自己理，那他自己就成了“不自己理发的人”，按照规矩，他应该给自己理发。无论怎样都和自己的规矩相冲突。看来这位理发师真是遇到难题了。这就是罗素于20世纪初提出的着名的理发师悖论，或称罗素悖论。罗素悖论标志着第三次数学危机的开始，由此导致了对数学基础的广泛讨论。实际上，与罗素悖论本质上完全一样的说谎者悖论早在公元前4世纪就由古希腊数学家欧几里得提出，即“我正在说的这句话是谎话”。这句话到底是真话还是谎话呢？这也是一个无法自圆其说的论题。
对于数学悖论的研究，推动了数学的发展，同时也使人们认识到尽管数学是很严密的，但它的真理性却也是相对的。只有不断去探索、去研究，才能更好的发现真理、掌握真理，真正理解世界的涵义。
91.自然数如何发现的
在数学的浩瀚海洋中，人们最熟悉的恐怕就是自然数了。人们一般把1，2，3，4……称为自然数。学校中最基础的数学分类是质数(又叫素数)与合数。自然数中只有能被1与它自身整除的数称为质数，比如2、5、7等。
质数就像建筑上用的砖一样，它是数论中的基石。许多数学家倾注了大量心血，甚至终身对它进行研究。我们注意到，似乎自然数越大，则同它相邻的自然数中质数越少。那么，质数到底有多少个呢？古希腊数学家欧几里得用反证法很巧妙地证明了“质数有无穷多个”。
92.刘徽如何发明“重差术”
刘徽是我国三国时代的魏国人，可能是山东人。他曾从事度量衡考校工作，研究过天文历法，但主要是研究数学。
刘徽自幼就学习《九章算术》，对该书有独到的研究，他不迷信古人，对《九章算术》中许多问题的解法不满意，于公元263年完成了《九章算术注》，对《九章算术》的公式和定理给出了合乎逻辑的证明，对其中的重要概念给出了严格的定义，为我国古代数学建立了完备的理论。
刘徽创造了一种测量可望而不可即目标的方法，叫做“重差术”。重差术也叫“海岛算经”，附在《九章算术》之后，共有九个问题。
刘徽说：“凡望极高，测绝深而兼知其远者必用重差，勾股则必以重差为率，故曰重差也。”这段话的意思是，重差用于测不可到达物的距离。用两次测量之差，再利用相似比来进行计算。
“海岛算经”的第一个问题是“测海岛高及距离。”题目原文是：
“今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，今后表与前表参相直。从前表却行123步，人目着地取望岛峰，与表末参合。从后表却行一127步，人目着地取望岛峰，亦与表末参合。问岛高及去表各几何。”按现代数学浯言译出，就是：“为了求出海岛上的山峰AB的高度，在D和E处树立标杆DC和EF，标杆高都是3丈，两标杆相距1000步，AB、CD和EF在同一平面内。从标杆DC退后123步到G点，看到岛峰A和标杆顶端C在一条直线上；从标杆FE退后127步到H点，也看到岛峰A和标杆顶端正在一条直线上。求岛峰高AB及水平距离BE。”
为解此题，可令标杆高为h，两标杆的距离为d，第一次退a1，第二次退a2。又设岛高为x，BE为y。
按刘徽的作法是，作EL∥AG交BH于L点。
在上面公式里da2-a1是两个差数之比，所以叫重差术，也有人说因为两次用的差a2-a1，所以叫重差。
刘徽也得到了上面的公式，其公式为：
岛高=表高×表间后表却行-前表却行+表高
其中“表”就是标杆，“却行”就是后退。
将“海岛算经”第一题的数据代入公式，可得x=1506步，y=30750步。
“海岛算经”本来不独立成书，是附在《九章算术》中“勾股”章后面的一个附录，主要讲用勾股定理进行测量的补充和发展。到公元7世纪唐朝初年，才从《九章算术》中抽出来成为一部独立着作。因为第一题是关于测量海岛的高和远，所以起名《海岛算经》。
现传本《海岛算经》的九个问题中，有三个问题需要观测两次；有四个问题要观测三次；还有两个问题要观测四次。所有的观测和计算，都是应用相似三角形对应边成比例进行的，虽然没有引入三角函数，但是利用线段之比，同样可得结果。
重差术是我国数学上的一个创造。
93.球体积怎样证明
刘徽在注《九章算术》时，研究了球体积公式。在《九章算术》中，提出了V=916d2的球体积计算公式。从这个公式可以看出，当时把足球的体积作为它的外切立方体体积的916倍来计算的，其中“9”实际表示π2，因那时人们经常取π=3进行计算。刘徽首先看出了其中的错误。他发现了一种有趣的立体图形，并把它叫做“牟合方盖”。牟，相等；盖，伞。“牟合方盖”是指两个半径相同，且两轴相互垂直相交的圆柱的公共部分。由于其形状就像把两个方口圆顶的伞对合在一起，故取名为“牟合方盖”。刘徽指出球体积应该等于外切于它的一个牟合方盖体积的π4倍，即
V球=π4V牟
因此，计算球体积的问题归结为计算V牟的问题，但刘徽一直没有找到求“牟合方盖”的体积办法。他坦率地说：“欲陋形措意，惧失正理。敢不阙疑？以俟能言者。”希望后世能干的学者能尽快解决。
眼下暂且不谈后世学者的事，先讲讲读者关心的问题：刘徽是怎样想到这种有趣的图形的？有人说，因为他曾经长时期使用过一种方口圆顶的斗笠，从中受到启发。这种开玩笑的说法是没有根据的。数学史家推测，他是应用了类推法。
刘徽研究《九章算术》时曾发现：圆柱、圆锥、圆台的体积分别与同高的外切方柱、方椎、方台的体积之比，等于同高处横截面面积之比，即π∶4。刘徽认为，球体的体积可以通过其他容易求出体积的立体来表示，只要这个立体与球体在同高处的截面面积之比处处相等就可以了。
由于刘徽将球体看作是从圆柱到圆台这一变化过程的继续，因此所要寻找的立体，也应该是从方柱到方台这一变化过程的继续，而且它的截面既应是正方形的，又该与球同高处的截面——圆的面积之比恒为π∶4；这一立体应该是一个中心对称的，且对称中心截面面积为最大，而且截面分别向上、下逐渐缩小的立体。
另外，根据《九章算术》将球体放在外切圆柱及外切立方体之中考察的启发，刘徽醒悟到这立方体应该是内切于立方体的两个直交圆柱的所围部分，即“牟合方盖”了。
“牟合方盖”的发现是一个很了不起的成就，这反映了刘徽已经不是单纯地停留于经验总结，他已经采用了辩证的思维形式。
刘徽之后200多年，他所期望的“能言者”果真出现，那就是祖冲之和他的儿子祖暅(又名祖暅之)。祖暅也是博学多才的数学家，从小就懂得孝敬父母，勤奋学习。传说，在祖冲之临终的时候，祖暅发誓要继承发扬他父亲的成就，一定要让皇帝采纳《大明历》，还说每年祖暅总要给他父亲上坟，向他父亲的在天之灵汇报读书、研究心得。后来，他果真实现了自己的誓言。祖暅的主要工作是对《级术》进行修改、补充，有人还认为《级术》是由祖冲之和祖暅合着的。祖冲之在与戴法兴辩论时曾指出张衡盲从古人，沿用了《九章算术》中错误的球体积公式。看来，祖冲之已经得到了正确的球体积计算公式。但是唐朝李淳风在注《九章算术》时，又说所引用求球体积的方法是祖暅的。现在人们推测很可能是，祖冲之已经明确地知道以前的球体积公式是错误的，并且找到了正确的球体积公式，而祖暅则将它清晰地表达出来，并给出了严格的证明。
祖冲之、祖暅父子，运用“祖暅原理”获得球体积公式。所谓祖暅原理，是指“夹在两个平行平面间的两个立体，被平行于这两个平面的任何平面所截。如果它们的截面面积总相等，那么这两个立体的体积相等”。
西方数学书上称这一原理为“卡瓦列里定理”，他们认为是17世纪时意大利数学家卡瓦列里于1635年最早发现的。实际上，祖暅早于卡瓦列里1100多年前就发现了。
祖暅原理的原文是：“幂势既同，则积不容异。”按现在的话来说，即：二同高的立体，如在等高处的截面积相等则体积也相等。该文原载于祖冲之、祖暅父子撰写的《缀术》一书，《缀术》已失传。唐朝数学家李淳风作《九章算术》注时，把祖暅原理及祖暅的由球体积求直径的“开立圆术”引用了进去，这才使这一发明得以流传下来。
祖暅继承了刘徽未完成的事业，求出了“牟合方盖”的体积，从而得到球体积公式。他是这样做的：
取牟合方盖(简称“方盖”)的1／8，如图(a)，设圆柱半径为R。
作一距底面h的平面交方盖，得一正方形PQMN(用阴影表示)，其边长为a，则有a2=R2-h2
另作一棱长为R的正方体，如图(b)，且使它的底面A1B1C1D1，与方盖的底ABCD在同一平面上。从正方体中挖去一个倒立的四棱锥，得到一个新几何体G。作一距底面为A的截面，交G得一曲尺形截面(图(b)中阴影表示)，其面积为R2-h2=a2。
由祖暅原理，方盖的18与G等积，而G的体积=R3-13R2×R=23R3。
所以，牟合方盖的体积V牟=8×23R3=163R3。
再由刘徽的公式，即可求得：
V球=π4V牟=π4×164R3=43πR3
这个球体积公式是数学史上的一个巨大成就，也是我们中华民族对世界科学的伟大贡献。
祖暅原理还可以推广为：“夹在两平行平面间的两个立体，被平行于这两个平面的任一平面所截，如果它们的截面面积的比恒为一定值，那么这两个立体的体积之比也等于这个定值。
94.如何丈量地球
根据牛顿有关引力的理论，可以推想出来，地球并不是一个纯粹的圆球体，而应该有点像橘子那样，是个中间宽，两头扁的球状体。换句话说，由于离心力的作用，地球在赤道上的直径要比两极间的直径要长。也就是说，两极的每一纬度间的距离要比赤道附近每一纬度间的距离要大。
为了证实这一理论，法国政府于1735年组织了两次考察。考察队的任务是通过对子午线弧度的测量，精确地计算出地球的形状和大小。第一支考察队，由拉康达明率领，他们在深入到位于赤道附近的秘鲁安第斯山区时遇到了许多困难。两年后，第二支考察队由马保梯率领，去了北欧拉普兰地区，那是当时欧洲人所能到达的最靠近北极的地区。由于恶劣的气候条件和仪器的敏感度很高，这两次考察不仅耗费时日，而且历尽周折。但是，在历时数年的艰苦工作中，他们所收集到的数据和得出的计算结果证实了牛顿的想法。北极附近的一个纬度间距要比赤道附近的一个纬度间距长1％。赤道部位的地球要比两极部位的更圆。今天我们知道，赤道区域的海平面要比两极地区的海平面离地球的中心远21千米。
95.如何测量经度
许多世纪以前，航海家们已经懂得如何测量纬度(赤道到地球南北任何一点的距离)。为此，他们只要测量出太阳在某地的最高点或北极星的位置，再算出它们与天顶的距离就可以了。但是，只有知道某一点与出发港口的确切距离(无论是向东或向西)，才有可能计算出经度，而这一点在那个时代决非易事。
