于是得出：圆周长为一丈零零四分八。并说周三径一是古率，不太准，较准确的数字是径一周三一四一五九二六五，（正是祖冲之计算的结果）并声明只用“大数”（较接近的近似值）三一四计算得出的圆周长。这就是说，米兰芬用3.23.14＝10.048。
什么是铺地锦呢？
铺地锦原来是古代阿拉伯人计算乘法时用的一种方法，后来传入我国，这种算法被起了一个很好听的名字：铺地锦。你看前面米兰芬画的那个乘法图式，象不象用瓷砖铺起的地面。我们如何用铺地锦来计算乘法呢？
比如要计算34227，被乘数与乘数分别有3个与2个有效数字。就可以画一个三列二行（竖的叫列，横的叫行）的方格，并画出一系列的对角线。在方格上方写上被乘数342，每个方格上写一个数字，右方从上列下写出乘数27，然后就开始相乘：先用2分别乘以3、4、2，得到6、8、4，把这三个数字分别填在与被乘数、乘数的对应数字对齐的方格中，均填在下半格。再用7分别乘3、4、2，得出21、28、14，把这三个数依次填在相应的格子中。各个积的个位数字填在右下的半格中，十位数字填在左上的半格中，填完后，按斜线，把每两条斜线间夹的数字分别相加，和写在格子外的相应位置。如和超过10，则格子外只记和的个位数字，而和的十位数字则在上一斜线间补记上。（如图中加圈的两个数字）在上一斜线间数字求和时，这些补记的数字也要加进去。全部加完后，从左上到右下沿格子外读数，即是所求积，即34227＝9234。
这个乘法在古印度则是这样算的：
古印度算法与铺地锦在形式上虽然不同，但实质上是一样的，现代的竖式乘法则是在此基础上加以改进的结果。
10.富兰克林的遗嘱
美国着名政治家富兰克林在他的遗嘱中，对自己的遗产作了具体的安排，其中谈到：
“1000英磅赠给波士顿的居民……把这笔钱按5％的利率借出。过了100年，这笔钱增加到131000英磅……那时用100000英磅来建造一所公共建筑物，剩下的31000英磅继续生息。在第二个100年尾，这笔钱增加到4061000英磅，其中的1061000英磅还是由波士顿的居民支配，而其余的3000000英磅让马萨诸塞州的公众管理。”
从这段遗嘱中，我们可以看出富兰克林为民着想的精神是非常可嘉的。不过开始只有区区一千英磅的赠款，就要为几百万英磅安排用场，这种设想是可能的吗？
富兰克林的遗嘱并非想当然，也不是一般地估计，而是经过精密的计算的。小朋友们，你知道怎么计算的吗？
11.数学魔术家
心算表演开始了，大厅内挤满了观众。一位教授走上讲台，简短的致词后，在黑板上写下了一个201位的大数：
916，748，679，200，391，580，986，600，275，853，810，624，831，066，801，443，086，224，071，265，164，279，346，570，403，670，965，932，792，057，674，803，067，900，227，965，775，473，400，756，816，883，056，208，210，161，291，328，455，648，057，801，586，067，711。
心算的要求，是求这个大数的23次方根。
表演者是印度的一位37岁的妇女，她的名字叫沙贡塔娜。今天，她要以惊人的心算能力，与一台先进的电子计算机展开竞赛，看看谁算得快，算得准确。
教授用4分钟写完这个大数。然后，沙贡塔娜便开始心算。与此同时，电子计算机也进行工作。运算结果，沙贡塔娜只用了50秒钟就向观众报出了正确的答案：546372891。与沙贡塔娜心算形成鲜明对比的是，计算机为了得出同样的答数，必需输入两万条指令和数据，然后再进行计算，花费的时间比沙贡塔娜要多得多。
大厅中暴发出暴风雨般的掌声和热烈的欢呼声，人们祝贺沙贡塔娜所取得的成功。
印度数学界1981年出现的这一奇闻，在国际上引起了轰动。美国报界称沙贡塔娜为“数学魔术家”。我国已故着名数学家华罗庚还为此专门给《数学情报》杂志撰写了一篇名为“天才与实践”的文章，赞扬了沙贡塔娜特殊的天才与刻苦实践的精神。值得提出的是，在这篇文章中，华罗庚教授对这个问题提出了一种非常巧妙的计算方法。
首先，华罗庚根据近似计算的原理和科学计数法的方法，将这个201位数写成
916……711≈（9.1674867921016）10823
然后把9.1674867921016输入计算器，开23次方，很容易得到它的方根为5.463728910。而10823的23次方根为108。
∴23916……711=23（9.1674867921016）10823
=5.463728910108
=546372891
这便是所求的201位大数的23次方根。
在这里华罗庚教授运用指数的运算法则，借助于普通的计算器，用初等代数的方法，就解决了这个繁杂的计算问题。
12.《名画》
前苏联着名科学家别莱利曼在他所着的《趣味代数学》中介绍了波格达诺夫·别列斯基的《名画》，画上那位老师拉金斯基是一位自然科学教授，放弃了大学教席来到农村学校当一名普通老师。
画中，黑板上写着一道式子：
十几个学生，有的抓头，有的搔腮，都在吟思，看来老师正让大家心算这道题目，画面紧凑生动，寓意很深。
如果光凭心算来算这一题，是比较困难的，因为数据比较大，算起来比较繁。但如果仔细一研究，10、11、12、13、14这几个数目具有一种有趣的特性：
102+112+122=132+142，
而且
100+121+144=365。
所以，很容易算出画里的算式应等于2。
现在，把这个问题推广一点：还有没有其它这样五个连续的整数，前三个的平方和正好等于后两个的平方和呢？
设x为这五个连续整数的第二个数，（这样设有方便之处，为什么？）依题意可列得方程：
（x-1）2+x2+（x+1）2=（x+2）2+（x+3）2。
去括号，化简，得
x2-10x-11=0。
解这个一元二次方程，得
x1=11，x2=-1。
所以，具有所要求性质的数列有两组：拉金斯基的那组是10，11，12，13，14；另一组是-2，-1，0，1，2。
事实上，
（-2）2+（-1）2+02=12+22。
如何把问题进一步拓宽一点：有没有这样七个连续整数，前四个的平方和等于后三个的平方和？问题就是要解方程
（x-3）2+（x-2）2+（x-1）2+x2=（x+1）2+（x+2）2+（x+3）2。
不难得出这个方程的解是x1=24，x2=0。
读者不难写出类似的等式。
13.月亮宝石的价值
你看过《月亮宝石》这本书吗？《月亮宝石》是十九世纪英国着名作家威廉·威尔基·柯林斯（1824-1889）的代表作，这本书被后世誉为“第一部英国侦探小说，也是最伟大的一部”。柯林斯也因此而被戴上“现代侦探小说的鼻祖”的桂冠。以写福尔摩斯探案小说闻名今世的柯南·道尔也在很大程度上受到他的影响。
这部小说是围绕着一颗价值连城的黄色的印度钻石而展开的。这颗宝石原来一直被镶嵌在一尊四只手的印度神——月亮神的前额上。
1799年，英国侵略者攻入印度圣城塞林加柏尔。官兵烧杀劫掠，无恶不作。
英国侵略军军官亨卡什抢到这颗宝石后，把它带回英国。而印度爱国者不甘心国宝流落异邦，也跟踪来到英国。伺机夺回。亨卡什嫁祸于人，临死前把宝石送给侄女雷茜儿，但雷茜儿得到宝石的当晚就失窃了。
于是探长得以登场大显身手。几经波折，扑朔迷离的案情终于真象渐白。原来是以慈善家面目出现的雷茜儿的表哥艾伯怀特偷走了宝石。
艾伯怀特一方面为了逃避印度爱国者的追索，另一方面也为了销赃方便，想把宝石带到阿姆斯特丹去割成几块，他认为宝石如被割成几块，不成完璧，印度爱国者就可能因为不能再镶嵌到月亮神象上而放弃追索。从而有利于他销赃。
当然，宝石被割开，价值会大跌。但飞来之财，对艾伯怀特来说也足够他挥霍的了。
宝石的价值，要看它的纯净度，还要看它的颜色。而在颜色纯度都一样的情况下，其价值与重量的平方成正比。这块宝石，据当时的宝石商，高利贷者鲁克的估价，至少价值30000英镑，这在当时已经可算是天文数字了。而且贪婪的鲁克也是为了杀价才这样压低估价的。就算这块宝石价值30000英镑吧，再假定这块宝石重G克拉（克拉是计算宝石的重量单位，1克=5克拉），于是可知一粒重1克拉的这种宝石。
为方便计，假定艾伯怀特准备把宝石割成重量为x克拉及（G-x）克拉的两块，于是
割开后宝石价y=［Kx2+K（G-x）］2=2KX2-2Kx+2KG
显然，宝石的价格是x的二次函数，其中0＜x＜G，于是。
这就是说，割开后宝石价值一定受损失，且当宝石割成相等两块时受损失最大。此时的价值只有原价的一半。
这个问题用几何方法也可以说明。
如图，取线段AB表示月亮宝石的重量G，即AB=G。
于是，月亮宝石的价值为KG2=K·SABCD。
设宝石被割成重为x=AM及G-x=BM的两块。在正方形的各边上依次截取BN=CR=DP=AM，则MNRP也是正方形。
两块宝石价值和y＝［kx2+K（G－x）］2=K（AM2+AP2）=K·MP2=KSMNRP。
显然SMNRP＜SABCD，即割开后宝石的价值要受损失。
如果取正方形ABCD的四边中点E、F、G、H，则正方形EFGH的面积xK则表示宝石被割成相等两块时的价值，下面证明SEFGH≤SMNRP。
不妨设AH＞AP。作PS‖AB，交HE于S，且设HE与PM交于O，易证S△OEM=S△OSP。
于是SAMP＝SAEOP+SOSP=SAESP＜SAEH。
∴SEFGH=SABCD-4SAEH＜SABCD-4SAMp＝SMNPR。
即当E、F、G、H为正方形ABCD的四边中点时，其面积取最小。
当然，故事的结局是：正当化装成水手的艾伯怀特揣着宝石准备动身上阿姆斯特丹时，探长们赶到了，但三位印度爱国者先到了一步，夺走了宝石并重新把宝石送回国，并镶嵌在月亮神的前额上去了！
14.拿破仑三角形
对于法国人来说，拿破仑·波拉巴这个妇孺皆知的名字是他们的骄傲。拿破仑出身于科西嘉岛。1793年，24岁的拿破仑在土仑战役中崭露头角，打了一个大胜仗。
“谁在土仑打胜仗啦？”法国人都在问。
“炮兵上尉拿破仑·波拉巴。”知道情况的法国人骄傲地回答。
“我们从来没听过这个名字。拿破仑长得什么样子呀？长得一定挺帅的吧。”太太小姐们问。
“不，拿破仑是个矮子。”
一夜之间，拿破仑就成了家喻户晓的英雄。拿破仑是个天才的军事家，在接下去的几次战役中，拿破仑所向披靡，风头出尽。当他指挥着法国部队翻过阿尔卑斯山时，他已赫赫有名，并登上法兰西第一帝国皇帝的宝座。他几次打垮了欧洲的封建君主们的反法联盟，并把大半个欧洲置于他的帝辇之下。
1812年，法国军队踏进了莫斯科。然而铺天盖地的暴风雪，把踌躇满志的拿破仑的美梦压碎了。面对坚壁清野的俄国人，法国兵陷入了饥寒交迫的绝境。而当法国兵退出空城莫斯科时又遭到俄国名将库图佐夫的毁灭性打击。不久，失败的拿破仑被流放到厄尔巴岛。据说他此时写了一段回文：“ABLEWASIEREISAWELBA。”（可译为：在我看见厄尔巴之前，我可是非常能干的。）
不久，他又复辟，但又在滑铁卢打败了（这次又是电闪雷鸣、暴雨如泣的恶劣天气帮了他的对手的忙。）拿破仑又被流放到圣·赫勒钭岛，1821年死于慢性砷中毒。
由于拿破仑是炮兵军官出身，所以他的几何与三角都学得相当好，在绚丽的数学大花园中，就开着一朵以他的名字命名的小花。
以任何三角形ABC的三边为边向三角形外侧（或内侧）作正三角形ABC′、BCA′、CAB′，这三个正三角形的中心分别为P、Q、R，则△PQR是正三角形。当所作三个正三角形在△ABC外侧时，
△PQR称外拿破仑三角形；而当它们位于△ABC内侧时，则称内拿破仑三角形。
这个题并不难证，首先△ABC′、△BCA′、△CAB的外接圆交于一点X。
连AP、AR、XP、XR，易知△APR≌△XPR，故∠APR=∠XPR，连BQ、BP、XQ，同理可证∠BPQ=∠XPQ，于是∠QPR=1/2∠APB，由∠APB=120°知∠QPR=60°。同理∠PQR=∠QRP=60°，即△PQR为正三角形。
类似可证三角形的内拿破仑三角形是正三角形。
拿破仑三角形还可有更简单的证明：实际上，连AX、BX、CX，则由于PQ⊥BX，（两圆连心线垂直于公共弦）PR⊥AX，于是立即可得到∠QPR=60°，于是命题可证得。
