他的名字之所以流传千古主要因为他“不务正业”地在数学领域中的取得许多伟大成就。他对数论和微积分作出了一流的贡献，他也是解析几何的发明者之一，并且与帕斯卡一起建立了概率论的基础，他一生很少发表数学论文，他的研究成果是在他死后由他的儿子整理出版的。
1621年，费尔马买了一本古代数学家丢番都的《算术》的法译本开始研读，直到他死后，人们发现在这本书中关于不定方程“x2+y2=z2”的全部正整数解的那一页上，费尔马用拉丁文写了一段话：“任何一个数的立方，不能分解成两个数的立方和，任何一个数的四次方，不能分解为两个数的四次方的和。一般来说，任何次幂，除平方以外，不能分解成其它两个同次幂之和。”
这段话，用现在的数学语言说，就是：当n为大于2的整数时，方程xn+yn=zn不可能有整数解。这就是被称为近代数学三大难题之一的“费尔马大定理”。三百多年来，许多数学家对这个“定理”进行了证明，陆续取得进展，直到1993年，才为英国数学家怀尔斯彻底证明。当然，他的证明还有待权威数学家们仔细地审查。
哥德巴赫是普鲁士派往俄国的一位公使，后来，他成了一名数学家。他常与欧拉通信讨论数学问题。1742年，哥德巴赫在与欧拉的通信中提出了一个猜想。这封信及欧拉的回信传播出来后，数学家把他们通信中提出的问题，叫做哥德巴赫猜想：
“每一个大于或等于6的偶数，都可以表示为两个奇素数的和。每一个大于或等于9的奇数，都可以表示为三个奇素数的和。”
1930年，数学家西涅日尔曼证明了“每一个大于或等于2的整数，都可以表示为不超过c个素数的和。”还估算了c不会超过s，s≤800000。以后数学家又把s的值缩小。1937年得到s≤67。
1937年，苏联名家维诺格拉多夫证明了：“充分大的奇数，都可表示为三个奇素数的和。”可是他估算的这个“充分大的数”实在太大了。
这时又有人从另一方面着手，改为证明：“每一个充分大的偶数，都是素因子个数不超过m与n的两个数的和。”这个命题简记为“m+n”：如果能证明“1+1”，哥德巴赫猜想就算是解决了。
1920年，挪威数学家布朗证明了“9+9”；德国数学家拉代马哈于1924年证明了“7+7”；英国数学家埃斯特曼1932年证明了“6+6”……三十年代，我国数学家华罗庚证明了“几乎所有的”偶数“1+1”成立。
1956年我国数学家王元证明了“3+4”；同年苏联数学家维诺格拉多夫证明了“3+3”；1957年王元又证明了“2+3”；1962年我国数学家潘承洞证明了“1+5”；1963年，王元、潘承洞、巴尔巴恩又分别证明了“1+4”；1965年，维诺格拉多夫，朋比尼，布赫夕塔夫又证明了“1+3”。
1966年，我国数学家陈景润宣布证明了“1+2”。至1973年，陈景润的论文正式发表，在世界上引起轰动。这是迄今为止最好的结果。
“近代三大难题”中的另一题是“四色问题”，这是由英国人克里斯1852年提出来的。他在给他的兄弟费雷缀克的信中写道：“画在一张纸上的每一幅地图，都可只用四种颜色着色，就能使有共同边界的国家有不同的颜色。”有很多人都想证明这个问题，但后来却发现他们的证明不严密。
电子计算机的飞速发展为这些难题的攻克创造了条件。许多数学家把证题思路设计成程序而把繁复的运算交给计算机去完成。这样一来，先后有好几个数学家宣布他们在计算机上证明了“四色定理”。
这几个定理的证明过程中，数学家们创造了许多新的方法。这些方法本身的意义就不亚于他们要证的定理。三百多年来，为了解决这些难题，数学家们付出了艰巨的努力。他们锲而不舍，勇于探索的精神，值得我们学习。
75.整数与偶数哪一种数多
如果我问你：“整数与偶数，哪一种数多？”恐怕不少同学都会说：“当然整数比偶数多了。”进一步，恐怕还会有同学告诉我：“偶数的个数等于整数个数的一半！”什么道理呢？那是因为“奇数与偶数合起来就是整数。而奇数与偶数是相间排列的，所以奇数与偶数一样多，大家都是整数的一半。”
“整数包括偶数，偶数是整数的一部分，全量大于部分，整数比偶数多这不是显而易见、再明白不过的事吗？”
你认为这样回答有道理吗？
这真是不成问题的问题！可是，且慢，往往就在这种最不成问题的问题上出了问题。
比如，我们要比较两个班级的人数的多少，该怎么办呢？通常有两种办法：
1．分别数出这两个班的人数，然后比较两个班人数的多少。
2．让两个班同学分别排成一路纵队，让两班排第一的两人牵起手来，排第二的两人也牵起手来……以后的同学依次对应牵起手来。最后，如果某班所有的同学都与另一班的同学牵起了手，而另一班还有同学未与某班同学牵手，则某班同学比另一班人数少。
现在我们再来看整数与偶数的多少问题吧！
1．你能数出整数有多少个？偶数有多少个来吗？由于整数与偶数都有无穷多个，当然我们都不能数出它们的个数。
所以，用第一种办法来比较整数与偶数的多少是行不通的。
现在来考虑第二种办法，我们可以把整数排成一队：0，-1，1，-2，2，-3，3……-n，n……然后再把偶数也排成一队：
0，-2，2，-4，4，-6，6……-2n，2n……
这样排好之后，所有的整数都排进了第一队中，所有的偶数都排进第二队中。现在让第一队中的0与第二队中的0“牵起手”来（即对应起来），第一队中的-1与第二队中的-2对应；第一队中的1与第二队中的2对应……第一队中的-n与第二队中的-2n对应；第一队中的n与第二队中的2n对应……你看，这么一个对一个地“牵好手”（即建立起“一一对应关系”之后），我们马上可以发现，第一队中的每个数都与第二队中的某个数对应，而第二队的每个数都与第一队的某个数对应，两个队伍都没有任何一数剩下来，既然如此，你能说整数比偶数多吗？看来不能。这就是说：整数与偶数同样多！
这真似乎有悖常理了，部分竟然等于全体！但这确是事实！这告诉我们，“无穷”是不能用“有限”中的法则来衡量的，许多对“有限”成立的性质对“无穷”却未必成立。
着名的数学家康托（1829-1920）首先想通了这个问题。着名数学家希尔伯特则讲了下面一个例子：
一家旅馆有无穷多间房间。某天，所有房间都客满了，这时又来了一位旅客，“没问题！”老板说，他马上请一号房的客人移到二号房，二号房的客人移至三号房，三号房的客人移至四号房，等等。由于房间有无限多，自然所有的老客总有房住而新客也都住进去了。
而如果有无穷多位客人来怎么办呢？老板只要请一号房的客人移到二号房，二号房的客人移至四号房，三号房的客人移至六号房，等等，这时，所有单号房间都腾出来让新来的无穷多位客人住进去了。
按照康托建立的法则，我们可以比较任何两个无穷集合的数目的多少，而且可以得出许多惊人的结论。这里就不一一列举这些奇妙的结论了。
76.低温的世界
在小学，我们学的都是正有理数和零，也就是说，数的系统限制在非负有理数的范围里。到了初一，我们学习了负有理数。这样，数的范围就扩大到了有理数。非负有理数在同学们生活中用的很多，大家熟悉。而接触到负数则比较少，大家对它比较生疏。
现在，我们把大家带到“低温的世界”，看一看负数在那里的广泛应用。
人们在地球南极点附近，曾测得世界最低的气温是-94.5℃。据前苏联科学家称，他们曾在南极东方站测得-105℃的气温，不过这个数据未被国际上承认。
近年，科技界用人工方法创造出接近绝对零度（-273.15℃）的低温。
人的骨髓在-50℃的条件下，可保存6到12个月。
现今的低温技术已能使人类的血液、精子、眼角膜、皮肤、神经、骨骼、心脏等器官得以无限期地储藏。前两年，日本一家公司就开发了一种制冷达世界最低温度-152℃的冷藏柜。这种冷藏柜可以应用于保存人体细胞和血液，还可以应用于超导领域。后来这种冷藏柜已成批生产。
1969年6月4日，有个名叫索卡拉斯·拉米尔兹的人，从古巴叛逃至西班牙。他藏身于客机未加压的轮室内，飞机在9142米的高空飞行，他在-22℃的严寒下，忍受了8个小时。
人类早已踏上月球。在月球表面上，“白天”的温度可达127℃，太阳落下后，“月夜”的气温竟下降到-183℃。
低温能使正常温度下的物质发生离奇古怪的变化。例如，-38℃低温的金属锭，能“粉身碎骨”成为一堆粉末；-190℃低温下，空气即变成蓝色的液体，在液态空气环境中，石蜡能放出浅绿色的荧光，猪肉闪着黄色的光芒，橡胶将变得坚硬无比。
-269℃低温下，水银能变为被称作“超导”现象的无电阻固体。人们利用“超导”线圈发电机发电和用“超导”电缆输电，其功率消耗能降低数倍乃至数十倍。
人工降雨、人工降雪，就是把气态的二氧化碳置于-78℃以下低温环境中，在天空施布云层，而后逐渐解冻，使水从天降。
推动火箭升空的巨大动力，是-138℃的液态氧和-252℃的液态氮合成的混合燃料。
1967年1月，美国着名的心理学家詹姆斯·贝德福特患病住进了洛杉矶市郊疗养院。当他知道自己患了肺癌这个不治之症时，便下了决心，把自己所有的存款投入医院，请求将他冷冻处理。
科学家们把他的体温降至-75℃，用铅箔将身子包起来，装进低温密封储藏仓，最后用-196℃液体氮急剧降温，几秒钟以后，贝德福特的身体变得象玻璃一样脆。贝德福特曾留下遗言：希望人类有一天能征服癌症，并能找到将冷冻的生命复活的方法，使他能从密仓里活着走出来，据说，现在美国已有300多个期待复活的冰尸。
77.动物与数学
由于生存的需要，动物肌体的构造为了适应客观环境，常常符合某种数学规律或者具有某种数学本能。许多事实是非常有趣的。
老虎、狮子是夜行动物，到了晚上，光线很弱，但它们仍然能外出活动捕猎。这是什么原因呢？原来动物眼球后面的视网膜是由圆柱形或圆锥形的细胞组成的。圆柱形细胞适于弱光下感觉物体，而圆锥形细胞则适合于强光下的感觉物体。在老虎、狮子一类夜行动物的视网膜中，圆柱细胞占绝对优势，到了晚上，它们的眼睛最亮，瞪得最大，直径能达三四厘米。所以，光线虽弱，但视物清晰。
冬天，猫儿睡觉时，总是把自己的身子尽量缩成球状，这是为什么？原来数学中有这样一条原理：在同样体积的物体中，球的表面积最小。猫身体的体积是一定的，为了使冬天睡觉时散失的热量最少，以保持体内的温度尽量少散失，于是猫儿就巧妙地“运用”了这条几何性质。
我们都知道跳蚤是“跳高冠军”。1910年，美国人进行过一次试验，发现一只跳蚤能跳33cm远，19.69cm高。这个高度相当于他身体长度的130倍。按照这样的比例，如果一个高1.70米高的成年人，能象跳蚤那样跳跃的话，可以跳221米高，相当于70层楼的高度。
蚂蚁是一种勤劳合群的昆虫。英国有个叫亨斯顿的人曾做过一个试验：把一只死蚱蜢切成三块，第二块是第一块的两倍，第三块又是第二块的两倍，蚂蚁在组织劳动力搬运这些食物时，后一组均比前一组多一倍左右，似乎它也懂得等比数列的规律哩！
桦树卷叶象虫能用桦树叶制成圆锥形的“产房”，它是这样咬破桦树叶的：雌象虫开始工作时，先爬到离叶柄不远的地方，用锐利的双颚咬透叶片，向后退去，咬出第一道弧形的裂口。然后爬到树叶的另一侧，咬出弯度小些的曲线。然后又回到开头的地方，把下面的一半叶子卷成很细的锥形圆筒，卷5～7圈。然后把另一半朝相反方向卷成锥形圆筒，这样，结实的“产房”就做成了。
78.雨滴和雾珠
什么是雾？雾是很小的水珠。既然是水珠，就有一定的重量，而且比空气重，就该落下来，为什么会飘浮在空中？
是的，雾珠受到地心的吸力，有一定的重量，不过，空气对它又产生阻力。要想回答雾珠为什么飘浮在空中这个问题，就得研究重力和阻力的关系。
雾珠所受到的地心吸力，是与它的质量成正比的；而质量又是与它的体积成正比的。所以雾珠所受到的重力与它的体积成正比。即F重∝V。
再研究雾珠所受到的空气的阻力。雾珠越小，阻力也越小。所以，雾珠所受到的空气阻力是与它的表面积成正比的。即F阻∝S。
到一定程度时，它所受到的空气阻力便能接近所受到的重力，从而使雾珠飘浮在空中。
