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第21章 中外数学经典名题(4)

机会终于来了。这一天,诸葛亮来到吴都建业,屁股还没坐稳,就有几位将军围了上来,说:“听说先生能掐会算,料事如神,很想当面请教。”“不敢当!”诸葛亮笑了笑说,“不过众家将军如有什么吩咐,尽管直言。”“那好,我们就请教了。现在本城四门都有守门军士,我们不说东、西、北三门,只说这对面的南门,那里的守门人数,相信先生一定能算得出来。先生您就不必推辞了。”诸葛亮一听,心里很不高兴,但他声色不露地说:“众家将军问得好,不过要回答这个问题,山人需要借助诸位先把四门将士调动一下。

首先(调整)使每门人数一样多。其次(初步调动)先从南门分别向东、西、北门调去1人、2人、3人,再从东门调到西门1人,西门调到北门1人,北门调到南门2人。最后(关键调动)数一数南门现在有多少人,就从其他三门分别调入多少人。”

这些将军一一照办后,诸葛亮面带笑容,说:“众家将军,现在山人就告诉你们东、西、北三门的人数。至于面前这座南门嘛,我想就不必再说了!这东门有……”“算得好准”。诸葛亮话音刚落,几位将军就同时伸出了大拇指。

诸葛亮是怎么算出来的呢?道理如下:设每门都是m人,初步调动后:

东门为m+1-1=m(人),

西门为m+2+1-1=m+2(人),

北门为m+3+1-2=m+2(人),

南门为m-1-2-3+2=m-4(人),

关键调动后:

东门有m-(m-4)=4(人),

西门有(m+2)-(m-4)=6(人),

北门有(m+2)-(m-4)=6(人)。

韩信点兵

韩信是刘邦的领兵元帅,相传韩信只要把队伍的队形进行变换,就可以算出自己有多少军队。例如,三人一行余二人,五人一行余三人,七人一行余二人,此题看起来难以计算。我国古代有一种算法,宋朝周密叫它“鬼谷算”,又名“隔墙算”,杨辉叫它“剪管术”,比较通行的名称叫“韩信点兵”。在《孙子算经》中可以见到其算法,后来数学家秦九韶又推广之,发现了一种算法,叫“大衍求一术”,这在数学史上是著名的问题,后来还流传着一首歌诀:

三人同行七十稀,

五树梅花廿一枝,

七子团圆正半月,

除百零五例得知。

设人数为N,则有N=70×2+21×3+15×2-2×105=23。70是5与7的倍数,除以3余1,为了使其余数为2,所以有70×2;同样21是3与7的倍数,为了能使它除以5余3,所以有21×3;同样15是3与5的倍数,15×2除以7余2;最后减去105的整数倍,因为105是3、5、7的最小公倍数,在70×2+21×3+15×2中完全符合题目的要求,除以3余2,除以5余3,除以7余2,因此N=70×2+21×3+15×2-2×105=23是它的最小值。改为N=105n+23(n是自然数),根据实际情况,就可以有相应的数与之对应,也就是说,韩信知道自己有多少军队。

塔尖灯的盏数

此题是明代珠算家所著《算法统宗》中的一道题:远望巍巍塔七层,红灯点点倍加增,共灯三百八十一,问问塔尖几盏灯?译成白话文是:远远望去,一座高塔巍巍耸立,共有七层。塔内红灯闪烁,由上至下每一层灯都较上层增加一倍。金塔共有灯三百八十一盏,那么试问塔尖有几盏灯?我们可以先来分析一下,整个塔从上至下数,如果塔尖灯数为1份,第六层则为2份,顺次往下,第五层为4份,第四层为8份,第三层为16份,第二层为32份,第一层为64份,这样根据题意列出代数式:381÷(1+2+4+8+16+32+64)=381÷127=3(盏)。

我们也可以用方程法解这道题,先设塔尖灯的盏数为X,那么顺次下去。从六层到一层塔灯的盏数分别为2X、4X、8X、16X、32X、64X,根据题意列方程X+2X+4X+8X+16X+64X=381,解方程求得X=3(盏)。

摩诃毗罗算题

摩诃毗罗(公元9世纪)是印度数学家,在其著作《计算方法纲要》一书中出过这样一题:有檬果若干,大王取1/6,王后取余下的1/5,3个王子分别取前一人余下的1/4、1/3、1/2,最后余下檬果3枚。求原来有檬果多少枚?这道题可以由逆算的方法来算:①三王子取前有多少枚?3÷(1-1/2)=6(枚);②二王子取前有多少枚?6÷(1-1/3)=9(枚);③大王子取前有多少枚?9÷(1-1/4)=12(枚);④王后取前有多少枚?12÷(1-1/5)=15(枚);⑤原来有多少枚檬果?15÷(1-1/6)=18(枚)。所以,原来有檬果18枚(从18枚开始按比例算下去,可知每人取的都是3枚)。

帽子的颜色问题

(1)有三顶红帽子,两顶白帽子,现将其中三顶给排成一列纵队的三人每人戴上一顶,每人都只能看到自己前面的人的帽子,而看不到自己和自己后面人的帽子。从后往前问三人同样的问题:“你戴的帽子是什么颜色?”最后面的人回答说:“不知道。”接着中间的人也说:“不知道。”然而最后回答问题的站在最前面的人却做出了肯定的正确回答。问这个人戴的帽子是什么颜色?

回答这个问题需要做正确的逻辑分析。

在提问后,最后面的人回答“不知道”,从中可断定以下事实:

前面两个人中至少有一个戴红色帽子。不然的话,如果前面两人均戴白帽子,而白帽子只有两顶,最后面的人就会知道自己戴红帽子,不会说不知道。这个事实中间的人也可得知,在此基础上他又回答“不知道”,那么一定是最前面的人戴着红帽子。不然的话,最前面的人若戴白帽子,因他与中间的人两人中至少有一个戴红帽子,那中间的人就一定戴红帽子了,中间的人也不会说不知道。于是,最前面的人戴红色帽子是正确结论。

在这个帽子的颜色问题中,戴着帽子回答问题的三个人应是聪明人,都能正确地进行逻辑推理,并作出正确的判断。如果有一个智力有问题,或胡乱猜测随便回答,那么整个事情就无法正确解释了。

此问题是一个传统的逻辑推理问题,人们经常利用这样的问题考察智力,既要看会不会推理,又要看整个推理过程是不是简明,还要看推理用的时间。在一个好的问题面前,可以充分显示人的思维能力。

中国著名数学家华罗庚对上述帽子的颜色问题作了改造,提出下面的问题:

(2)一位老师让三位聪明的学生看了一下事先准备好的五顶帽子:三顶白色的,两顶黑色的。然后让他们闭上眼睛,他替每个学生戴上一顶帽子,并把其余两顶藏起来,让学生睁开眼睛后各自说出自己戴的帽子的颜色。三人睁眼互相看了一下,踌躇了一会儿,觉得为难,继而异口同声地说自己头上戴的是白帽子。问他们是怎样推演出来的?

先看戴帽情况,有两黑一白、两白一黑、三白共三种情况。

若第一种情况,戴白帽子的学生一看便能说出自己戴的帽子颜色,而实际上三人睁眼互相看了一下,踌躇了一会儿,没一人马上说出,这表明这种情况是不符合现实。

这样三人都明白其中至多只有一人戴黑帽子,如果有一人戴黑帽子,另外两人必会立刻说出自己戴着白色帽子,而不会踌躇且觉得为难。三人均为难说明谁也没有看见有人戴黑色帽子,那么三人戴的都是白色帽子。于是三位聪明学生便异口同声说出自己戴的帽子的颜色。

这个问题初看似乎感到条件不足,然而细一琢磨,“踌躇了一会儿,觉得为难,继后异口同声地说”里面涵义丰富,奥妙无穷。建立在这条件上,便可展开如上推理,层层深入,环环紧扣。

华罗庚推出这一改编的问题,让人深深体会到了数学大师的内在功力,其中表现出高超的思维技巧。

如果把人数增多,还可提出类似的问题:

(3)四个爱动脑筋的小朋友接受老师的智力测验,看谁能最快最准确地回答问题。老师让他们都闭上眼睛,给他们每人戴上一顶帽子,或者是白的,或者是蓝的。然后让他们睁开眼睛,告诉他们:“谁看到的白帽比蓝帽多就马上举手。然后各位说出自己戴的帽子颜色。”大伙互相看了一下(每个人都看不见自己戴的帽子,但能看清别人戴的帽子),谁也没举手,过了一会儿,也没有人说出自己戴的帽子颜色,其中一个叫小光的学生见大家都不说话,就猜出了自己头顶上的帽子颜色。问小光戴的是什么样的帽子。

再来分情况考虑。

如果恰有两个人戴白色帽子,另外两人都会看到两顶白帽,一顶蓝帽。他俩会同时举起手,而实际上无人举手,这表明在四个学生中最多只有一人戴白帽子。

如果只有一个学生戴白帽子,另外三人都会看到一顶白帽,两顶蓝帽,谁也不会举手。戴白帽子的人看到的是三顶蓝帽,也不会举手。三个戴蓝帽的人会想到:“我已看到一顶白帽子,如果我戴的也是白帽,就会有两人举手,而事实上没有举手,说明我戴的是蓝帽。”

可是,仍然没有人举手,这就说明一顶白帽也没有,四人戴的都是蓝帽子。

托尔斯泰的割草问题

俄国大文豪托尔斯泰不仅是文学巨匠,而且是个有名的“数学谜”。一有闲暇,他便动手编创数学题。其中“割草问题”便是其中最有趣的一道题。

一些割草人在两块草地上割草,大草地的面积比小草地的面积大1倍。上午全体割草人都在大草地上割草,下午他们对半分开,一半人留在大草地上,到傍晚时把剩下的草割完;另一半人到小草地割草,到傍晚时还剩下一块没割完。剩的一小块草地第二天由一个人割完。假定每半天的劳动时间相等,每人工作效率亦相同。问共有多少割草人?

下面是托尔斯泰的解法。因为大草地全体人割了一个上午,一半人割了一下午才将草地割完。所以如果把大草地的面积比作是1,那么一半人在半天里割草面积为1/3,另一半人在小草地上工作了一下午的割草面积也应为1/3。由此可推断出第一天割草面积为4/3。剩下的面积是多少呢?由大草地的面积比小草地大1倍,可知小草地面积为1/2。因为第一天下午已割的小草地面积为1/3,那么所剩面积应是1/6,而这1/6恰好是第二天一个人的工作量。所以,将第一天割草总面积除以第一天每人割草面积,就是参加割草的总人数,即4/3÷1/6=8(人)。

爱因斯坦的奇特记忆方式

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