祖冲之在天文历法方面也有很多创造性的贡献，他发现当时通行的《元嘉历》有三大错误，于是他上书宋孝武帝，建议采纳他编制的《大明历》，这部《大明历》是他经过长年观测天象和认真分析研究，精密而科学的推算出来的，它开辟了历法史的新纪元。遗憾的是这套先进的历法遭到保守权臣的百般诋毁和阻挠。祖冲之不畏强权，据理辩争，写出了著名的《驳议》。这篇理直气壮的论文，将保守派的谬论驳得体无完肤，反映了祖冲之不畏权势敢于坚持真理的高贵品质；也显示了他横生洋溢的才华。宋朝统治者始终未能采用《大明历》，直到祖冲之死后10年，在他儿子祖日恒的再三推荐之下，梁武帝才批准施行，一直沿用了80年。
除了在数学和天文学方面的成就，祖冲之在机械方面还有许多贡献。他曾经发明了指南车，这辆车无论怎样行走转动，车上铜人的手总是指向南方。他还发明过水礁（磨），千里船等，祖冲之对古代的经典著作还多有涉猎，他曾论述或注释过《易经》、《老子》、《庄子》、《论语》等。他甚至还写过小说，并且精通音乐。祖冲之确实可称得上是一位博学多才的科学家。
祖冲之的科学成就在我国科学技术发展史上永放光芒。他的卓越贡献也载入了世界科学史册，60年代初，人类第一次发现的月球背面的一个环形山谷，就是以“祖冲之”来命名的。祖冲之为中华民族赢得了光荣，世界人民也永远缅怀这位科学巨人。
阿拉伯的杰出数学家花拉子密
花拉子密（al-Khwārizmi，Abū Ja ‘far Muhammad Ibn Mūsā，约783～850），阿拉伯数学家、天文学家。
对于花拉子密的生平只有很少资料流传下来，通过考察历史文献，人们知道他生活的时代正是阿拉伯帝国政治局势日渐安定、经济发展迅速、文化生活繁荣昌盛的阶段，这为花拉子密从事科学研究提供了良好的社会环境。
花拉子密早年在家乡接受初等教育，后来到中亚细亚古城默夫继续深造，并且到阿富汗、印度等地游学，这使得他博学多闻，成为当时有名的科学家。公元813年，花拉子密应阿拔斯王朝的国王马蒙的邀请，到其首都巴格达工作。马蒙是一位重视科学的贤明君主，公元830年，他创办了著名的“智慧馆”，这是自公元前3世纪亚历山大博物馆之后世界上最重要的学术机构。花拉子密曾长时间主持“智慧馆”的工作，直到在巴格达去世。
花拉子密的科学研究范围涉及数学、天文学、历史学和地理学等很多领域，均取得了许多重要成果。
在数学上，花拉子密有两部著作流传了下来：《代数学》和《印度的计算术》。
《代数学》是后人将原著的书名意译后给出的，原文直译应是《还原与对消的科学》，“还原”即将方程中的负项移到方程另一端使之变成正项，“对消”即方程两端可以消去相同的项或合并同类项。
在《代数学》中，花拉子密用十分简单的例题讲述了一次和二次方程的一般解法，其中二次方程一般解法的给出在世界上是最早的。《代数学》包括三部分内容。在第一部分中，花拉子密系统地讨论了一次和二次方程的解法问题。他第一次提出“根”这一名称，指出方程有三种量组成：根（植物的根或事物的根本）；根自乘的结果，即根的平方；简单数。我们现在将解方程求未知量叫做求方程的根，其来源就在于此。
花拉子密将方程化归为六种标准类型，用现代符号表示，即：
1.“平方”等于“根”，即ax2=bx
2.“平方”等于“数”，即ax2=c
3.“根”等于“数”，即：bx=c
4.“平方”和“根”等于“数”，即：ax2+bx=c
5.“平方”和“数”等于“根”，即：ax2+c=bx
6.“根”和“数”等于“平方”，即：bx+c=ax2
其中，a，b，c均为正数。
对于每一种类型的方程，花拉子密都结合具体的例子，系统地给出了一般解法。在解方程的过程中，花拉子密还认识到二次方程有两个根，这在数学史上是最早的，比希腊人和印度人有了很大的进步。但他在解方程时只取正根，而将出现的负根和零根舍去。另外，他还特别指出，若根的数目之半平方后小于自由项，则方程没有根。这相当于指出了现在我们所说的判别式必须非负的条件。
花拉子密在解方程过程中所采用的“还原”和“对消”两种变形法则正是今天我们解方程时常用的移项、合并同类项的前身。
《代数学》在12世纪传入欧洲，在以后的很长一段时间，它都被当作标准课本来使用，书中表现的内容、思想和方法对历代数学家都产生了广泛深远的影响。事实上，在中世纪和文艺复兴时期，凡是在代数学方面有过成就的欧洲数学家大多在不同程度上受到过花拉子密的影响。《代数学》一书以其逻辑严密，系统性强、通俗易懂等特点被奉为代数学教科书的鼻祖。
《印度的计算术》是一本专门讲述印度数码及其计算法的著作。书中花拉子密首先讲述了印度人使用9个数码和零号计数的方法。而后给出了四则运算的定义和法则，讲述了分数理论等。
《印度的计算术》是世界上第一部用阿拉伯文撰写的在伊斯兰国家介绍印度数码和计数法的著作，对于十进制计数法在中东和欧洲各国的传播和普及起到了关键作用。12世纪，此书传入欧洲，对于欧洲数学的发展产生了重大影响。印度数码逐渐代替了希腊字母计数系统和罗马数字，最终成为世界通用的数码。
除了数学以外，花拉子密在天文学、历史学、地理学等领域也都有很深的造诣，取得了重要的成就。
古希腊和印度的天文学著作在公元8世纪后开始传入阿拉伯国家，对其天文学发展产生了重要影响。到9世纪开始出现用阿拉伯文撰写的天文学著作，人们制造各种三角表和天文表，用以测定时间、确定日食、月食的开始时刻等。花拉子密在制造许多数据表的同时，还从理论上对已有的天文学体系做了有意义的补充，并撰写了一些关于日规和历法的著作。
中世纪，阿拉伯国家的军事和商业较为发达，这在一定程度上促进了这些国家地理学的研究和发展。花拉子密撰写了中世纪阿拉伯世界第一部地理学专著《地球景象书》，为中世纪近东和中东地理学、测量学和制图学的发展奠定了基础。
花拉子密对于历史学也颇有研究，他用阿拉伯文写出了最早的历史著作：《历史学》。
分析术杰出大师邦贝利
虚数的引入是人类在对数的认识过程中向前跨出的一大步，“虚数”这一名词是由笛卡尔在他的《几何》中首先创用的，大数学家欧拉最先引进了虚数符号“i”。在虚数的引入和应用过程中我们还应该提到另一个人的名字，那就是意大利数学家邦贝利。
邦贝利（Bombelli Rafael，1526～1572）1526年出生于意大利波伦亚的一个商人之家。大学毕业后成为一名水利设计工程师。但他酷爱数学，业余时间勤于钻研，著有《代数学》五卷，大约完成于1556年～1560年间。在这部著作中，邦贝利主要系统总结了代数方程理论。他采用了一些较为新颖的符号，并首次提出用连分数逼近平方根的方法。
为了系统总结前人解三次、四次方程所取得的成果，邦贝利从基本定义和符号入手，全面讨论了各种方程的求解方法。他主要研究了5种二次方程、7种三次方程和42种四次方程，针对每一种方程，给出了解法及例题。
卡尔达诺在研究二次方程时就已经遇到过虚数根的问题，但他只把类似于“（5+-15）（5--15=25-（-15）=40”之类的运算当作算术中“既精妙又无用”的技巧。另外，卡尔达诺也没有解决三次方程判别式为负的情形。在《代数学》中，邦贝利讨论了卡尔达诺没能解决的三次方程不可约情形，即方程的根是实数，而应用求根公式解方程时却出现平方根下为负数的表达式。邦贝利没有像卡尔达诺一样认为虚数是无用的，而是认真地看待了虚数。他证明了卡尔达诺给出的求根公式依然适用于这种情形，给出了相当于我们现在所说的虚数单位“i”的名词：“需要把它加上时，我把它叫做‘负之正’，若要减去它时，我叫它‘负之负’”。基于这样的认识，邦贝利解决了这一类三次方程，指出这一类方程通常有三个实数根，这在复数发展史上是具有里程碑式的重要意义的。
邦贝利还建立了虚数的运算法则。由于当时还没有引进虚数符号“i”，邦贝利的运算法则并不是以现在所见的形式给出的，如他是这样叙述乘法法则的：
正乘以负之正得负之正；……即（+1）（i）=+i；
负乘以负之正得负之负；……即（-1）（i）=-i；
正乘以负之负得负之负；……即（+1）（-i）=-i；
负乘以负之负得负之正；……即（-1）（-i）=+i；
负之正乘以负之正得负；……即（+i）（+i）=-1；
负之正乘以负之负得正；……即（+1）（-i）=+1；
负之负乘以负之负得负；……即（-i）（-i）=-1；
在《代数学》第五卷中，邦贝利还研究了著名的古希腊几何难题三等分角问题。他指出三等分角问题可以转化成解不可约情形的三次方程的问题，从而建立了从理论上证明不能通过尺规作图解决三等分角问题的基础。
邦贝利被誉为意大利文艺复兴时期最后一位代数学家，曾被德国数学家莱布尼兹称为“分析术的杰出大师”，在自己的教学过程中将邦贝利的著作作为学生学习三次方程的基础课本。
事实上，《代数学》是文艺复兴时期意大利出版的最有系统的代数著作，加速了方程理论等相关代数知识在西方的传播。
代数学之父韦达
韦达（F· Viete，Francois，1540～1603），法国数学家。
韦达1540年出生于法国普瓦图地区的一个律师家庭，早年在家乡接受初等教育，后来考入普瓦杰大学学习法律。20岁时，他大学毕业了，理所当然地继承父业，成为一名律师。但过了4年之后，他便辞掉律师职务，去给别人做了一段时间的秘书和家庭教师。直到1573年，韦达才又重操旧业，出任法国某地方法院律师，后来在政治上几经波折，于1589年被亨利三世任命为法国最高法院律师。1595年～1598年，法国和西班牙发生战争，韦达效力于亨利四世，为法国军队翻译截获的军事密码，立下汗马功劳。但政治生涯多变化，在韦达去世前一年，他被亨利四世免去了职务，韦达的一生可谓波折起伏。但就是在这样一种环境下，他始终将数学作为业余爱好，在工作之余坚持数学研究，并自费印刷和发行自己的数学著作，最终取得了许多创造性的成就，充分体现了一个数学家对数学事业的热爱和执着追求。
韦达在数学上的研究领域主要包括方程理论、符号代数、三角学及几何学等，在每一个领域他都做了一些有意义的工作。
符号代数与方程理论
数学中代数与算术的区别在于代数引入了未知量，用字母等符号表示未知量的值进行运算，而算术则是以具体的数进行运算。1591年，韦达出版了他最重要的代数学著代《分析方法入门》，这是最早的符号代数专著。在书中，韦达引入字母表示未知量，并使之系统化，使得代数成为研究一般的类和方程的学问，为代数学的进一步发展奠定了基础。为此，韦达被后人称为“代数学之父”。
在研究方程的一般解法的过程中，韦达试图创立一种一般的符号代数来代替原来的每一问题各有一种特殊解法的情形。他引入字母来表示量，用辅音字母B，C，D等表示已知量，用元音字母A表示未知量，并将这种代数称为“类的运算”以区别于原来的“数的运算”。同时，韦达还规定了“类”的运算法则（与数的运算法则相同）。以此为起点，韦达对代数方程理论进行了较为系统的研究。
韦达这样给出了方程的定义：一个方程是一个未知量和一个确定量的比较。他将方程作了一定的分类，给出了解方程的基本步骤和方法。
1615年，韦达的生前好友将韦达早在1591年完成的《论方程的识别与订正》一书整理出版。
书中研究了几类高次方程的解法，并得到了一般二次方程的求根公式，更为重要的是，韦达在书中提出了著名的韦达定理，即方程根与系数的关系式。他清楚地论述了对于二次方程，若第二项的系数是两数的和的相反数，第三项的系数是这两数的乘积，那么这两个数就是此方程的根。这在我们的中学代数中是一个很重要的定理，想来同学们对此肯定不会太陌生吧！
几何学上的贡献
韦达充分发挥自己在代数研究上的优势，用代数方法研究解决了一些几何问题。他给出了一些尺规作图问题涉及的代数方程知识，较早地将著名的倍立方体问题（“求作一立方体的边，使该立方体的体积为给定立方体的两倍”）和三等分角问题（“分一个给定的任意角为三个相等的部分”）转化为解三次方程的问题。事实上著名的三大几何作图问题——倍立方体问题、三等分角问题和化圆为方问题（“作一个正方形，使其与一给定的圆面积相等”），只有圆规和直尺是不能完成精确的作图的。直到19世纪，这种不可能性才被数学家证明，距离这三大问题的提出已经有两千年之久了。
韦达在《各种数学解答》一书中，讨论了一些几何作图问题，给出了无穷几何级数的求和公式，还最早明确给出了计算圆周率π的如下公式：
π2=1
12·12+1212·12+1212+12
12……
这是π的第一个解析表达式。
韦达利用圆的内接393216边形将π精确到小数点后10位数字，这在当时是欧洲最好的圆周率值。
韦达用代数方法解决几何问题的思想对后来的数学发展的意义是深远的，因为它正体现了解析几何学的根本精神。
三角学上的成就
韦达在三角学方面也有许多创造性的工作。1579年出版的《应用于三角学的数学定律》是韦达最早的数学著作之一，也是早期系统论述三角学的著作之一。书中给出了许多三角函数表和造表方法，韦达自己发现或补充的公式包括我们现在代数课本中出现的和差化积公式：
sinA±sinB=2sin（A±B2）cos（AB2）利用自己纯熟的三角学知识，韦达曾解决了当时一道著名的方程难题——
求解45次方程：
45y-3795y3+95634y5-…+945y41-45y43+y45=C
这是比利时数学家罗门向全世界数学家提出来的挑战。当时的法国国王亨利四世为此召见韦达，要求他解出此方程以为法国争得荣誉。
韦达接受任务后，立即开始钻研，凭借他敏锐的数学直觉，他发现此方程与单位圆中心角为2π／45的弧所对的弦有密切关系，并很快得出了方程的一个解。第二天，他就将方程的所有正根全部求了出来。在解方程的过程中，韦达首次将代数变换应用于三角学中，并讨论了正弦、余弦等的一般公式，具体给出了将cosnx表示成cosx的函数（n≤11）。
