阿波罗尼奥斯与欧几里得、阿基米德一起被称为亚历山大前期的三大数学巨人。
注释《九章算术》的刘徽
刘徽，中国古代数学家，大约生活在公元3世纪。据数学史学家考证，他出生于淄乡，即今天的山东省邹平县。
刘徽注《九章算术》，在数学上做出了许多杰出的贡献，是与他当时生活的社会环境分不开的。自先秦到魏晋，齐鲁地区作为孔孟之道发祥地，一直在文化发展程度上居于全国前列。
战国时期，齐桓公在其都城临淄设立稷下学宫，广招天下博学之士。历时150年间，该地区成为学术气氛最为活跃的研究中心。另外，公元2世纪和公元3世纪的齐鲁地区数学也较为发达，有一批数学家出现，包括郑玄、徐岳等人。在这样一种文化氛围中，使得刘徽有机会学习各种文化典籍，有机会接触到当时先进的数学知识，为他以后的数学研究积累了丰富的资料。
刘徽最大的成就是他注释了《九章算术》，在这一过程中，刘徽取得了许多创造性的成就。
经他作注的《九章算术》对我国数学的发展产生了深远的影响，成为东方数学的代表作之一。刘徽的创造性工作，我们可以从以下几个方面加以概括。
刘徽与圆周率的计算
古往今来，世界上许多数学家运用各种方法计算过圆周率，为认识π这个数付出了无数心血。我国战国时期的数学著作《周髀算经》中已有“周三径一”之说，意思是圆的周长约是其直径的三倍。这是人们在长期的实际生产生活中摸索总结出的经验性知识，并不是通过严格的数学计算得到的精确值，人们在应用过程中也发现用它计算出来的圆周长和圆面积都比实际值小。后来的数学家利用各自的方法逐步将其精确化，从此踏上寻找圆周率精确值的漫漫旅程，今天的数学家利用计算机已经将圆周率精确到小数点后数亿位。
刘徽在他的《九章算术》“圆田术注”中，论证了圆面积公式，给出了著名的圆周率计算方法——“割圆术”，并利用它计算出在当时相当精确的圆周率值。割圆术也成为数学史上伟大的创造之一。
刘徽从圆内接正六边形开始，使边数逐次加倍，作出正十二边形、正二十四边形…，并依次计算出它们的面积，这些结果将逐渐逼近圆面积，这样就可以求出圆周率的值，这种方法被称为刘徽割圆术。用刘徽的话来说，“割之弥细，失之弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”意思就是说把圆周分得越细，即圆内接正多边形的边数越多，用它的面积去代替圆面积，就丢失的越少。不断地分割下去，让边数不断地增多，那么边数无限多的正多边形的面积就与圆面积相等了。刘徽巧妙地利用极限思想，化“曲”为“直”，化“无限”为“有限”，对圆面积公式S＝1/2·CR作了相当严格的逻辑证明。利用相关的结果，在当时的计数方法、计算法则、计算工具等均不像今天这样方便的条件下，刘徽凭着他深刻的洞察力和执着钻研的精神，进行着艰苦的数字计算。推算到正192边形时，得出π＝3.14，或π＝157/50；推算到正3072边形时，可得到π＝3927/1250（≈3.1416），这在当时是相当精确的结果。为了纪念刘徽的功绩，人们把π＝157/50称为“徽率”。
刘徽的方法比希腊数学家阿基米德所用的方法更加巧妙。阿基米德用内接和外切正多边形确定圆面积的上、下限，而刘徽只用到了圆的内接正多边形。
刘徽的体积理论我们在学习立体几何时，会接触到这样一条公理：“夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”。最早明确提出这一原理的是祖冲之的儿子祖日恒（“缘幂势既同，则积不容异”）。而刘徽的体积理论则为这一原理的提出作了充分的准备。
《九章算术》时代，人们已经开始通过比较两个等高立体的最大截面积来解决某些体积问题，但并没有认识到必须保证任意等高处的截面积之比都等于最大截面积之比，才能进行比较。《九章算术》“开立圆术”中即认为球与外切圆柱之比等于π∶4，从而容易得出球体积公式V＝9/16·D3其中D是球的直径。刘徽在“注”中指出此公式是错误的。他将两个底面半径等于球半径的圆柱正交，称其公共部分为牟合方盖（见下图）。刘徽指出球与外切牟合方盖的体积比为π∶4。这一结论为200年后祖冲之父子求出牟合方盖的体积，从而为得到正确的球体积公式奠定了坚实的基础。
球、牟合方盖与立方（八分之一）
刘徽与计算方法
《九章算术注》中有几百个公式和解题方法，刘徽对每个算法的正确性均作了考察，并对各种算法的内在联系及应用进行了论述。“率”是这些工作中使用最普遍的工具，刘徽极大地发展了“率”的思想，从而将《九章算术》的算法提高到系统理论的高度。
“率”本是规格、标准之意。刘徽将率定义为“凡数相与者谓之率”，即相关的一组量称为率，用以讨论若干量之间的相关性，即相对的数量关系。这一概念要比我们现在常用的比率概念宽广得多。为了求出各物的率，要有一个公度作为标准，这个公度就是单位度量，亦即一，刘徽将它称为“数之母”。如五单位米可以化为一，则米率即为5，三单位粟可以化为一，则粟率即为3，米、粟的相与率为米5、粟3。由此可见率表示某物的度量与另一物的度量的相对关系，相当于现在密度、速度等意义。我们容易知道，分数的分子和分母也可以看成一种率关系。
刘徽还给出了率的一些重要性质，如：“一组成率的数，在投入运算时，其中一个缩小或扩大某倍数，则其余的数必须同时缩小或扩大同一倍数”。由此出发，刘徽给出了三种重要的等量交换：“约以聚之，乘以散之，齐同以通之”。“约以聚之”就是说，分子、分母同时缩小同一倍数，称作约分，此时分数单位变大；“乘以散之”即分子、分母同时扩大相同的倍数，分数单位就会变小。同时，刘徽还指出经过这样两种运算之后，虽然分数单位发生了变化，表现的形式不同，但分数值不变，明确阐述了分数的基本性质。
在运算时，几个分数只有化成同一分数单位才能进行加减，从而刘徽提出“齐同术”即“齐同以通之”，也就是我们现在所说的通分。刘徽指出应先使诸分数的分母同一，而后使每个分数的分数值保持不变。
刘徽将《九章算术》中的许多算术问题解法进行了归纳总结，形成了一些系统的方法。如他高度评价了今有术，将《九章算术》中的许多术文归结为今有术，把其中包含的原理（若A∶B＝a∶b，则B＝Ab/a）称为“都术”即普遍方法，这一方法传到印度和西方后被称为三率法。
率在代数中的应用主要表现在方程术中，刘徽在方程的定义、方程直除法、互乘相消法消元中的齐同原理及方程新术等方面做了创造性的工作。另外，刘徽还把率应用于圆周率、面积、体积、勾股容方、容圆等许多几何问题的解法中。
《九章算术》粟米、衰分、均输三章都是关于比例和比例分配的问题，内容交错。刘徽用率将这三章的方法统一了起来，不仅把比例、比例分配归结为今有术，而且将分数、追及、利息等一般算术问题都化为今有问题，并将率应用于方程、面积、体积等问题，使得率成为计算问题的灵魂。
总之，刘徽的《九章算术注》不仅有概念、命题，而且还有联系这些命题的逻辑推理，它标志着我国古代数学已经形成了自己独具特色的理论体系。
另外，刘徽熟练地运用直角三角形的性质，推广了我国古代的“重差术”，写成了《海岛算经》一书，从书中所解决的问题可以看出刘徽已经掌握了相当复杂的测量和计算方法。
刘徽注《九章算术》，充分体现了他作为一个数学家应有的科学态度。他实事求是，不仅继承了《九章算术》所开创的数学联系实际的传统，更重要的是他没有盲目崇拜古人取得的成就。他在全面论证《九章算术》的公式、解法的同时，指出了其中的许多错误和不精确之处，并给以纠正或提出改善建议，他对许多问题的补充解法，大大丰富了《九章算术》的内容。但用对《九章算术》作注的形式展现自己的数学思想，在一定形式上也限制了刘徽的数学创造的展开及其数学思想对后世的影响，或许这该是最让人引以为憾的事情了。
丢番图与别具一格的墓志铭
丢番图（Diophantus，约公元3世纪）是古希腊最杰出的数学家之一，他在代数和数论方面作出过卓越的贡献。
对于丢番图的生平，人们了解的不多，只知道他大约是公元3世纪的人，曾经活跃于亚历山大里亚城。他的一生，在他的别具一格的墓志铭上通过一道谜语式的妙趣横生的代数方程问题反映出来：
“过路人，这儿埋着丢番图的骨灰，下面的数字可以告诉你，他活了多少岁。
他生命的1/6是幸福的童年；
再活过生命的1/12，他长出了胡须；
又过了生命的1/7，他才结婚；
再过了5年他有了一个儿子；
但爱子竟然早逝，只活了他寿命的一半；
失去儿子后，老人在悲痛中又度过4年，终于结束了他尘世的生涯。
根据这段墓志铭，设丢番图的年龄为x，你可以列出方程算出丢番图的年龄：
x6+x12+x7+5+x
2+4=x
解方程得到：丢番图活了84岁，他是33岁结婚，38岁得子。
丢番图被誉为代数学的鼻祖，他一生中解过许多代数方程和不定方程，还写有多达12卷的《算术》一书。这套书主要是代数和数论方面的内容，包括189个问题的叙述和解法，大多是一次、二次方程和很特殊的三次方程以及一些不定方程的解法。丢番图建立了不定方程的理论，第一次系统地提出了代数符号，创立了运算符号。《算术》中的一些问题构成了后来的数论问题。有些问题的结论一直被后来的数学家们津津乐道。著名的费尔马猜想问题，就是数学家费尔马在读了《算术》这本书的译本后，在书边写下的注释。
丢番图是一位才华横溢的数学家，他解方程的手法使人感到变幻无穷，神奇莫测。他远远超过了同时代的许多数学家。但由于当时希腊科学状况不景气，他的著作没有产生太大的影响。直到《算术》一书流传到中东，16世纪、17世纪又流传到欧洲时，才真正产生了影响。
数学泰斗祖冲之
祖冲之（429～500）是我国南北朝时代的一位杰出的科学家。祖冲之卓越的数学成就，在世界数学史上闪耀着光芒，他是代表中国古代数学高度发展水平的杰出人物。
从东晋到南北朝这一段时期内，由于经济文化生活的迅速发展，推动了科学的前进。这一时期出现了许多杰出的科学家，祖冲之是其中最杰出的人物之一。
祖冲之字文远，祖籍范遒县（今河北涞水县）他生活在南朝宋、齐之间。当过南徐州从事史公府参军等职，祖冲之的故乡范阳，在西晋末年的战乱中遇到破坏，他全家随北方居民，一起迁居到江南。据《隋书》记载，他的祖先有几代人研究历法，祖父祖昌当过刘宋王朝的大匠卿，是管理土木建筑工程的官，也懂一些科学技术。祖冲之生长在科技世家，从小受到良好的家庭教育，对自然科学，文学和哲学都有浓厚的兴趣。他尤其酷爱数学、天文学、机械制造。青年时代的祖冲之一面苦心钻研、继续家学，一面学习古人的科学成就。他饱览群书，兼学百家，为后来的科研工作奠定了深厚的基础。祖冲之一生虽然也担任一些官职，但他更热爱科学，几十年孜孜不倦地从事科学研究，他重视实践，批判地接受前人的科学遗产。经过他勤勉工作，对前人的研究仔细推敲，驳正错误，推导出许多极有价值的科学成果。
祖冲之对中国科学事业的最大贡献，是对圆周率值的计算精确到了小数点后的第六位。对于现代人圆周率的计算已经不是数学上的大问题了。但是在15世纪以前，许多国家的数学家都曾寻找更加精确的圆周率，因此圆周率的精确程度可以作为衡量一个国家数学发展水平的标志。在圆周率的近似计算方面，古希腊数学家曾算得圆周率为3.1416时，我国还停留在“古率”为3上，一直沿用到汉代时，圆周率的计算才为较多数学家所注意。刘歆算得圆周率为3.1547或3.166，有效数字仅为3.1。后来东汉张衡又用10和92〖〗29作为圆周率，蔡邕、王蕃等也由于天文研究的需要计算了圆周率，但有效数字仍只有二位。刘徽从圆内接正六边形出发，依次将边数加倍，至192边形，求得圆周率为15750（相当于3.14）。刘徽的计算在中国数学史上给圆周率的计算打下了坚实的基础，而在这个基础上建造大厦的巨匠是祖冲之。祖冲之利用刘徽的方法，对圆周率进行了更加细密深入的计算。他通过计算内接正1536边形的面积，算出圆周率为3.1416，用分数表示为39271250，这在当时已经是够精确的了。但祖冲之并不满足于此，进一步提出了3.1415926＜π＜3.1415927。祖冲之一下子把圆周率的精确度提高了一万倍。而且他用不足和过剩近似值表示无理数值的变化范围是十分了不起的，这正是现代关于无理数表示的一个基本方法。由于中国古代存在着运用分数的习惯，祖冲之还用二个分数227（约率）和355113（密率）的值表示圆周率。密率355113近似于3.1415929（已精确到7位有效数字），这是最佳渐近分数，欧洲一直到1573年才得到这一数值，比祖冲之要晚一千多年。
在讲到祖冲之在数学方面的成就时，我们还应该提到他的数学专著——《缀术》。这本书出自祖冲之这样杰出的数学家之手，其内容博大精深，相当精彩。在他死后，他的儿子又把自己的研究成果添加进去，续写了《缀术》。可惜这部很有价值的科学著作在北宋中期就失传了，我们现在只能从历代有关文献和评论中找到一些线索。在唐朝《缀术》曾被国立学校列为必读的教材，要学习四年，是学习期限最长的算书，由此可见《缀术》一书内容之深奥。中世纪的朝鲜和日本的学校中，《缀术》也都被列为必读的书籍。
祖冲之还创造了“开差幂”、“开差立”等的算法。“开差幂”是已知长方形的面积及长宽之差求其长及宽。“开差立”是已知长方体的体积及最短棱与其他两棱之差求其长、宽、高。这分别相当于解二次方程x（x+a）=A和三次方程x（x+a）（x+b）=V。他还和儿子祖日恒一道，在世界上最早发现了“等积原理”。
