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第58章 百鸡问题

百鸡问题是我国古代一个极为著名的数学问题,也是古代世界著名数学问题之一。

百鸡问题出自中国古代算书《张丘建算经》,题意是这样的:公鸡5元1只,母鸡3元1只,小鸡3只1元,100元可买100只鸡。问可买公鸡、母鸡和小鸡各多少只?

答案有三种

①公鸡4只,母鸡18只,小鸡78只;

②公鸡8只,母鸡11只,小鸡81只;

③公鸡12只,母鸡4只,小鸡84只。

百鸡问题是一个求不定方程整数解的问题,解法如下:

设公鸡x织,母鸡y只,小鸡z只。根据题意可列出方程组:

x y z=100

5x=3y 13z=100

消去z,可得7x 4y=100,因此y=100-7x4=25-7x4.由于y表示母鸡的只数,它一定是正整数,因此Χ必须得4的倍数。我们把它写成:x=4K(K∈N)。于是y=25-7K。代入原方程组,可得z=75 3K。把上面三个式子写在一起有:

x=4K

y=25-7K

z=75 3k

在一般情况下,当K取不同的数值时,可得到x、y、z的许许多多组不同的数值。但是对于上面这个具体问题,由于Y∈N,故K只能取1、2、3三个数值,由此得到本题的三种答案。

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