第36章 计数法

总述

人类从“多”这个概念分离出“1”的概念，被认为是人类经过最困难的阶段才作出的数的概念。分出“1”的概念想必发生在人类处于低级发展阶段。这可能由于，人通常总用一只手拿一件物品，这便把“1”从“多”中分了出来。因此，计数的开端建立了由“1”和不确定的“多”这两个概念构成的计数法。数“2”的出现，可能是由于用双手各拿一件物品，在计算机的初级阶段，人们把这个概念与双手中各有一件物品联系起来。表示“3”的概念时，人们领悟到可以把第三件物品放在自己的脚边，这样“3”的特征就是举起双手和指定一只脚。由此，“4”的概念也就比较容易地区分出来。在发展计数的初级阶段，人们还绝对不会使用数的名称，在表达数时，或者用实际拿在手上或放在脚边的被数物品，或者就靠相应的身体动作和手势。

计数的继续发展，大概与那时人类熟悉狩猎和捕鱼等生活方式有关。原始公社制度要求人们对食物、衣服、战利品等进行分配，从而迫使人们以某种方式对公共财富进行计算。计算过程停留在“4”上已经不能满足需要，在这个发展阶段上，人们开始抛弃必须将被数的物品拿在手中或置于脚边的做法。数学中发生了第一次抽象，就是把一些被数的物品用另外某些彼此同类的物品和标记来代替，如用小石块、绳结、树枝、刻痕等。根据一一对应的原则进行这种计算，即给每一个被数物体选择一个相应的东西作为计算工具，为了不致丢失这些简陋的计算工具（如小石块、贝壳、核），而把它们串在细绳或小棒上，后来导致至今仍有用的计算工具——算盘。

当人们领悟到离自己最近和天生的计算器——自己的手指时，计算的发展有了飞跃。手指参加计算帮助人们越过了“4”，因为当开始用一只手的所有手指计算相同的一个物体时，就能够一下子把数数到“5”。计算的继续发展，要求人们用两只手作为计算工具。尔后，又发展成用自己的脚趾。

原始社会的发展，逐渐到达了以农业生产为主要方式的程度，对口头计算的要求开始了。在这一时期逐渐产生了以田地、菜园、畜群为对象的私有财产。这些财产的拥有者被迫的不仅要计算属于他们的财产，而且要记住它们的数目。这推动着人们走上创造数的名称的道路。要表述几个个体的总和，是数的名称发展的下一个阶段。例如，表述两个物品的数的名称时，就用“像我有几只手这样多”来代替，即主要使用任何动物的身体部位作为对一些物品的口头表达。后来，叙述的语句被相应单词的名称所代替，名称便作为数字固定下来。例如，数“2”用“耳朵”、“手”表示；“4”表示为“鸵鸟的脚趾”，等等。手指计算逐渐引起了计算的调整，人们便想法使数的口头表达简化，这样导致了更高一级的单位出现，这也就是独特的计数法形成了。

二进位制被认为是最古老的记数法。它出现在人们还没有用手指计算的时候，也就是在一只手是低级单位，一双手和一双脚是高级单位之前的时候。人们用手指计算，就使各种计数法创造出来。五进位制备认为是手指计数法中最古老的，据推测很早起源于美国，当人们会用一只手上的手指进行计算时所创立，并且得到了很充分的推广。使用五进位制法，每当一只手上的全部手指被用光，一些外部的记号就开始产生。

随着时间的推移，计数法沿着两个方向发展。用一只手的手指计算扩展到两只手的手指，进而应用了两只脚的脚趾。只用双手计算的，成为十进位计数法的基础；扩大到用脚趾计算的，成为二十进位制的基础。这种计数制主要由北美洲印第安人、中美和南美的土著居民创立，并被推广到西伯利亚北部和非洲。

二十进位制产生以后，人类就变成了天然的高一级的单位，如20表示“一个人”，40表示“两个人”，60表示“三个人”。随着人类的进步，人们已不再赤脚，这样脚趾就遮起来，脚趾再不能参加计算，这就迫使人们更多的使用十进位制。现代，二十进位制以被人们遗忘，通常代之以十进位制。

有些原始部落不把手指作为计算工具，而是用他们自己的关节。此类计算同样也会有效的发展，并形成严整的体系。此种算法可设想如下：一只手上的大拇指可作为其余手指关节的计数器，其余四指中的关节个数恰好为12，这样在关节数12的后面是高一级的单位，十二进位制计数法便由此产生。这个过程的进一步发展，另外一只手上的每个手指也可作为高一级的单位，即12*5=60，这大概就是建立六十进位制的原因。古巴比伦人广泛使用六十进位制，并把它传到了其他许多民族。今天，我们仍然可以看到十二进位制和六十进位制计数法的痕迹，如，一昼夜钟点的计算，圆周角度的测量。

这样，随着人类社会发展的要求，人们逐渐地创造出了各种的计算方法，最后，计数法达到了完美的程度。我们现代所采用的计数法，是由印度人创造，后经阿拉伯传入欧洲，在经欧洲传遍世界，成为国际通用的统一计数法。