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第59章 爱吹牛的理发师

1919年,著名英国数学家罗素编了一个很有趣的“笑话”。

小镇有个爱吹牛的理发师。有一天,理发师夸下海口说:“我给镇上所有不自己刮胡子的人刮胡子,而且只给这样的人刮胡子。”

大家听了直发笑。有人问他:“理发师先生,您给不给自己刮胡子呢?”

“这,这,……”理发师张口结舌,半晌说不出一句话来。

原来,这个爱吹牛的理发师,已经陷入自相矛盾的窘境。如果他给自己刮胡子,那就不符合他声明的前一半,这样,他就不应当给自己刮胡子;但是,如果他不给自己刮胡子,那又不符合他声明的后一半,所以,他又应当给自己刮胡子。无论刮不刮,横竖都不对。

像理发师这样在逻辑上自相矛盾的言论,叫做“悖论”。罗素编的这则笑话,就是数学史上著名的“理发师悖论”。

理发师的狼狈相是很好笑的,可是,数学家听了却笑不起来,因为他们自己也像那个爱吹牛的理发师一样,陷入了自相矛盾的尴尬境地。

实际上,20世纪初期的数学家们,比那个爱吹牛的理发师更狼狈。理发师只要撤消原来的声明,厚起脸皮哈哈一笑,什么事情都没有了;数学家可没有他那样幸运,因为他们遇上了一个无法回避的数学悖论,如果撤消原来的“声明”,那么,现代数学中大部分有价值的知识,也都荡然无存了。

这个数学悖论也是罗素提出来的。1902年,罗素从已被人们公认为数学基础理论的集合论中,按照数学家们通用的逻辑方法,“严格”地构造出这个数学悖论。把它通俗化就是理发师悖论。

集合论是19世纪末发展起来的一种数学理论,它已迅速深入到数学的每一个角落,直至中学数学课本。它极大地改变了整个数学的面貌。正当数学家们刚刚把数学奠立在集合论的基础上时,罗素悖论出现了,它用无可辩驳的事实指出,谁赞成集合论,谁将变成一个“爱吹牛的理发师”,从而陷入自相矛盾的窘境。数学家们尴尬万分,如果继续承认集合论,那么,号称绝对严密的数学,就会因为罗素悖论这样的怪物而不能自圆其说;如果不承认集合论,那么,许许多多重要的数学发明也就不复存在了。

罗素悖论震撼了世界数学界,导致了一场涉及数学基础的危机。人们已经发现,在数学这座辉煌大厦的基础部分,存在着一条巨大的裂缝,如不加以修补,整座大厦随时都有倒塌的危险。

数学家们勇敢地接受了挑战。他们认真考察了产生罗素悖论的原因。原来,之所以出现罗素悖论这样的怪物,是由于在集合论中,“集合的集合”这句话不能随便说。于是,数学家们开始探索数学结论在什么情况下才具有真理性,数学推理在什么情况下才是有效的……,从而产生了一门新的数学分支——数学基础论。

在这个领域里,由于数学家的观点不同,产生了3个著名的学派。以罗素为主要代表的数学家叫逻辑主义学派,他们认为,只要不允许使用“集合的集合”这种非逻辑语言,罗素悖论就不会发生;以布劳威尔为主要代表的数学家叫直觉主义学派,他们认为,“集合的集合”是不能用直觉理解的,不承认它的合理性,罗素悖论自然也就不会产生了;以希尔伯特为主要代表的数学家叫形式主义学派,他们认为,悖论是一种不相容的表现。

三大学派都提出了修补数学基础的方案,由于各执己见,爆发了一场大论战。这场大论战对现代数学发展影响深远,还导致了许多新的数学分支的诞生。

现在,修补数学基础的工作尚未取得令人完全满意的结果,数学家们仍在顽强拼搏。

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