第8章 1用砂粒填满宇宙(7)

我们先来计算一下“四人的生日都不在同一天”的可能性（概率）。随意找一个人甲，他的生日可能是365天中的任何一天，就是说有365种可能；第二个人乙，第三个人丙，第四个人丁也是同样。于是四人的生日状况共有3654种情况。那么生日各不相同的情况占了多少呢？如果要使乙的生日不与甲相同，那么乙就只能是除去甲生日那一天的其它364天中的某一天，即有364种可能。同理，丙不能与甲、乙两人的生日相同，那么有363种可能；丁不能与前三人生日相同，于是只有362种可能。因此，“甲、乙、丙、丁四人生日都不在同一天”的可能性是

365×364×363×3623654＝098＝98%；反过来，“甲、乙、丙、丁四人中至少有两人生在同一天”的可能性就是

1－098＝002＝2％。

现在，将四人推广到40人。“40人的生日都不在同一天”的可能性应是365×364×363×…×32636540＝01088＝1088%；于是，“40人中至少有两人生于同一天”的可能性就是

1－01088＝08912＝8912％，这几乎是十拿九稳的。

如果你班上有45人，那么“至少有两人生于同一天”的可能性达到941%；如果你班上有50人，那更不得了，“至少有两人生于同一天”的可能性竟达到9704%。

你班上有多少同学呢？你不妨算一下，“至少有两人生于同一天”的可能性在你班上是多少呢？

40从头到尾全相同的棋局

我们常常下棋。在那千万盘棋局里，会不会出现从头到尾完全相同的棋局呢？我们不妨从数学的角度来看看。

譬如下围棋，围棋盘上有361个位置。从理论上来讲，第一个子就可以有361种下法（如果先布4子的有357种下法）。当然，第一子是不会放在最外面的边线上的，事实上可摆的位置不会这么多。我们算它50个可能吧。实际上，第二子可以放的位置，当然不止50个，这里我们不妨假定它也是50个可能吧。

这样，黑白各下一子的变化就可以有50×50＝2500种。如果黑白各下50子，假定每一子都有50种不同下法，那么，总的变化就得50100。这个数约有170位。我们用亿、万这些数作单位来谈是谈不清楚的。不要说下棋，就是简单地数数，我们用普通速度从1数到100约需50秒钟。在100以后的数，数起来位数越多，当然时间越长。就拿这个速度来说，数1000要500秒钟，数1亿要50000000秒钟（约14000小时）。一天24小时，不睡不吃，也得要数500天。一个100岁的人，从生出来就数起，数到100岁，不过36525天，还数不到100亿，只有11位整数！而170位整数的数还要比它大10159倍呢！你看，重复的机会是多少分之一？

我们再来看看下中国象棋的情况如何。中国象棋的棋局，看起来子是少一点，而且开局的时候，一般变化也不是太多。但是后来厮杀的时候，变化较多，一只车就可以前后左右有十来种走法，所以，下一步棋有10种到20种变化也是完全可能的。如果双方各走30步，那么变化也有1060，即61位整数的数，比起刚才一生数数也只能数到11位整数的数，倍数还是大得说不清楚的。

所以一般说来，下棋，从头到尾完全相同的棋局，其可能性（概率）是极小的。

41三人行，必有我师

许多同学都听说过“三人行必有我师”这句话，这句话出自《论语》，说的是古代一位大学者孔子，虽然他的学问很高，但仍然很谦虚，自称与任意两人（加上自己共三人）同行，则他们中间一定有一个可以做自己的老师。这句话是孔子的一句自谦的话，那么实际情况又是怎样呢？

要说清这个问题，首先要说明并不是各方面都要比别人优秀才可以做“师”，如果一个人在某一方面比另一人更优秀，那么在这方面他就可以做另一人的老师。孔子说这句话的意思也正是如此。

假如我们把一个人的才能分成德智体三个方面，如果在这三个方面孔子都是最好的，或说在三人中排名第一，那么另两人中就没有人可以做他的老师了。孔子在德智体三方面的排名有以下33＝27种可能

德：1111111112222222223…

智：1112223331112223331…

体：1231231231231231231…

这27种可能中，孔子在三方面都排第一的只有一种，占1／27，而有某一方面或几方面不是排名第一的有26种可能，占26／27，也即另两人中有人可以做孔子的老师的可能性（概率）为26/27≈963％。

这个可能性还有另一种计算方法。孔子在德方面排名第一的可能性是1/3；而在1/3的可能性中，他同时在智方面也排名第一的可能性又只有1/3，因此他在德和智两方面都排名第一的可能性是13×13＝19。再计算下去可知，孔子在德智体三方面都排名第一的可能性是13×13×13＝(13)3＝127。当然，我们把一个人的才能分成德智体三个方面显得太粗略了，俗话说“三百六十行，行行出状元”，我们不妨也把人的才能分成360个方面。另外，孔子是一个大学问家，任意三个人中，他在某一方面排名第一的可能性也不止1/3。我们假设孔子在每一行的排名都处在前1％以内，换句话说，任意一个人在任一方面排名超过他的可能性只有1％，而排名低于他的可能性为99％。我们再来计算一下“三人行，必有我师”的可能性。在任一行中，另外两个人排名均不超过孔子的可能性是99%×99%＝9801%，而在360行中，另外两人的排名均不超过孔子的可能性为（9801%）360≈007%。反过来说，另外两人中有人在某一行的排名超过孔子的可能性为1－（9801％）360≈9993％，两人中有人可以在某一方面做孔子的老师的可能性约为9993％。

从上面两个例子我们知道，“三人行，必有我师”虽然是孔子自谦的一句话，但从实际情况来看，这句话是很有道理的。

42音乐中也要用到数学

我们知道声音是靠振动产生的，音调的高低是由振动的频率决定的。

一首优美的乐曲是由许许多多互相“协调”的音按一定的时值、力度同时或先后发出的。音的“协调”是人类心理上的感觉，但人们很早就发现，它有切实的物质基础，或者说有数学解释：当两个或多个音（振动）的频率成简单的整数比时，它们是“协调”的。最简单的整数比当然是1∶2。

在音乐上如果两个音的频率比成1∶2，频率较高的那个音就是频率较低那个音的高八度同名音。

例如，“1”（do）音的振动频率加倍，就得到“1·”音。2∶3的简单性仅次于1∶2，“1”音振动频率的32倍得到“1”上方纯五度的“5”音……从这样的角度考虑问题，人类发明了音乐上的“纯律”七声音阶。

下表列出“纯律”七声音阶中各音的频率（假定“1”的频率为520赫兹，频率全部只取整数）以及各音与“1”的频率比：

音阶12345671频率5205856506937808679751040与“1”的频率比189544332531582

由上表还可以得出音乐中最常用的两种三和弦（三个音组成的和弦）的频率比：雄浑、明朗的大三和弦（如1－3－5和4－6－）三个音的频率比为4∶5∶6；优美、深沉的小三和弦（如6－1－3和3－5－7）三个音的频率比为10∶12∶15。这两类三和弦中三个音组成简单的整数比，所以非常和谐。

“纯律”七声音阶的发明可以追溯到公元前1200年我国的周武王时代。我国后来又发明了非常简便易行的计算音阶频率的方法——“三分损益法”，被后人誉为音乐史上的惊人发现。“三分损益法”是这样计算频率的：设弦的全长的发音是“1”，弃去弦长的13（即“三分损一”），剩下23，频率变成“1”的32，这是“5”音的频率；以“5”为基础，弦长增加13（即“三分益一”）而成为“5”音弦长的43，频率变成“5”音的34，得到“2”音，它的频率是“1”音的32×34＝98；再“三分损一”得“6”，“三分益一”得“3”……如此交替“损”“益”下去，得到全部七音。这样得到的七音频率的误差与“纯律”七声音阶的频率误差在25％之内。

“纯律”七声音阶虽然非常好地解决了音的“协调”问题，但却不能解决转调问题，因为转调后出现的另外一组音阶的某些音的频率与原调音阶中音高相近的音的频率之间存在微小的差别。为了解决转调问题，又能基本保持“纯律”七声音阶的各音的频率，人们又发明了“十二平均律”，即把一个八度音程平均地分成十二个相等的半音，得到半音音阶1、1、2、2、3、3、4、4、5、5、6、b7、7（记号称为“升号”，表示音调升高半音；记号“b”称为“降号”，表示音调降低半音。当然，1＝b2，以此类推）。这里讲的“平均”是几何平均，即每一个音的频率和它前面一个音的频率之比都相等。我们很容易算出这个频率比应为122≈1059463。下表将按“纯律”和“十二平均律”算出的七声音阶的频率做一对比，可以看出其误差都在08％之内：　音阶12345671·“纯律”频率5205856506937808679751040十二平均律频率5205846556947798749821040

钢琴、竖琴等乐器都是按照十二平均律设定音高的，而铜管乐器则是按照“纯律”设定音高的。由于两者之间的误差甚小，这些乐器在乐队中都能和平共处，演奏出美妙的乐曲。

43大包装商品便宜

你注意过吗？在超市里，同一种商品，大包装的单位重量价格比小包装的要低，这是商家为了吸引顾客购买大包装商品，还是有别的原因呢？

影响商品价格的因素很多，一般来说，商品价格与生产成本、运输成本、包装成本以及市场销售情况有关。其中，生产成本与运输成本可认为与商品重量成正比；但包装成本中的包装材料成本并不与商品重量成正比，而与商品表面积成正比。因此，我们必须弄清楚在形状一定的情况下，商品重量与表面积的关系。

例如，乐口福的听子形状都是圆柱体，设圆柱体的底面直径为D，高为h，则它的体积和表面积分别为

V＝π4D2h，S＝π2D2＋πDh。如果我们把听子设计成底面直径与高相等，即设D＝h，则它的体积与表面积分别为V＝π4D3，S＝32πD2。由于商品重量W＝k1V＝π4k1D3，其中k1为商品密度，因此有

D＝34πk1W，S＝3π234πk1W2＝k2W23。其中

k2＝3π2316π2k21是大于零的常数。于是单位商品重量的表面积为SW＝k2W－13＝k23W。显然，它随着商品重量W的增加而减少。这也就是说，随着商品重量的增加，单位商品重量的表面积却随之减少，单位商品重量的包装材料费也相应减少。

因此，大包装商品单位重量包装材料成本比小包装的要小一些，这是大包装商品比小包装便宜的主要原因之一。另外，大包装商品的单位重量包装加工费，也显然要比小包装的便宜一些。

所以，如果你对某种商品的需要量较多的话，还是买大包装的比较合算。

44条形码中的数学原理

不知你有没有注意到，很多商品如烟、酒等的包装盒上，都有一组平行排列的、宽窄不同的黑白条纹，这就是条形码。其实，条形码在我们日常生活中的应用非常广泛，在普通商品上，在正式出版发行的书刊、杂志的封面或封底上，都可以看到条形码。

那么条形码有什么用途呢？为什么商品、书刊要使用条形码呢？条形码实际上是伴随着计算机技术的发展，伴随着经济领域交流的拓宽，而产生的一种新的信息技术——条码技术，它能够最经济、快速、准确地收集和传递信息。简单地说，条形码的用途就是传递信息。

这样一些宽窄不同的竖条就能传递信息是不是很不可思议？下面我们就来简单地作一个介绍。条形码之所以能够传递信息，是因为条形码本身就代表了某种信息；而条形码的这种信息又可以被机器识读。条形码就是通过条、空的不同宽窄与排列不同来表达不同的信息。仔细观察几个不同的条形码，你就会发现，虽然它们表面看上去似乎很相似，但它们绝对有细小的差别。而这些在我们肉眼看来细小的差别，在计算机里则是巨大的差别了，因为计算机是将其转换为一连串的二进位制数字。我们知道，在二进位制中，只有两个数字0和1，而这两个数字在条形码中就可以用条与空或条、空的宽与窄来区别。计算机靠光电阅读设备如光笔来识别条形码。当光照射到条形码上，黑条与白空产生较强的对比，这种对比可以转化为强弱不同的电流，而条与空的宽窄可以引起信号出现时间的长短，因此计算机就可以直接进行识别。通常条形码还具有双向可读性，也就是说从左右两侧开始扫描，都可以被识读。这是因为在识读过程中，译码器会自动判别扫描方向。

条形码既然是供机器识别的字符，那么人是不是就无法识别了呢？事实上，考虑到当条形码识读设备出问题时，可以采用光学字符或人眼识别，所以在各种条形码中都加入了供人识别的字符，可以让人们对条形码所表示的信息有一个大概的了解。因此，条形码通常就是由一组规则排列的条、空及其对应字符组成。国外根据条形码的外观特征，称之为棒码、宇宙线、斑马线等。

既然条形码是通过计算机来传递信息的，那么它的编码就要有一个统一的规范。例如，汽车工业选用的是Code39码，这是对世界汽车业技术导向有一定作用的AIAG规定的汽车行业标识规范，制定这个规范是为了适应世界各国汽车工业的交流与发展。世界上不少行业或团体都规定了自己的条形码使用规范。当然也有一些只局限于某一单位如大型购物超市专用的条形码管理系统，这种系统就不必符合通用的规范了。

随着计算机技术的推广，作为唯一可直接印制的机器语言，条形码的应用范围必将更为广泛。

45你知道“筛法”是什么吗

“筛法”是一种求质数的方法。是公元前300年左右由古希腊着名数学家埃拉托色尼提出的，所以，也叫埃拉托色尼筛法。

埃拉托色尼把自然数1、2、3、4……写在一块涂了一层白蜡的板上，将去掉数的地方用工具刺成小孔，很像一个筛子。因为用它把所有的合数都筛掉，留下的都是质数，所以，人们把这种求质数的方法叫做“筛法”。

筛法的根据是：对于一个正整数N，如果不能被小于或等于N的任何一个正整数所整除，那么这个数N必定是质数。

具体的做法是：(以100以内的质数的筛选为例)先把1到100这一百个数依次排列(如下表)。

12345678910111213141516171819202122……

1不是质数也是不合数，先划去或圈上。

①，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12……