在数学宝库中，有一颗光灿灿的明珠，被誉为“黄金分割”。在我国现行的初中几何课本中，经常讲到了“黄金分割”，它很值得我们好好学习和研究。
中外比
在已知线段AB上有一点P。如果BP∶AP＝1∶1，那么P将二等分AB。即P为AB的中点。如果BP∶AP＝1∶2，P将三等分AB，即P为AB的一个三等分点。如果P将AB分为大小两段，使小段与大段之比恰好等于大段与全长之比，即BP∶AP＝AP∶AB，那么就叫P点分线段AB成“中外比”。著名画家达·芬奇把人体许多部位之比画成中外比，显得特别和谐美观，他称中外比为“黄金分割”。
黄金数
用代数解方程的知识可以求得中外比的比值。
设线段全长AB＝a，大段AP＝x，则小段BP＝a－x，
于是，a-xx=xa
即x2＋ax－a2＝0
x-a±5a2
舍去负根，得x=5-12a
因此，xa=5-12a
这就是说，中外比的比值为5-12
中外比的比值，叫做“黄金数”，用记号g表示。请记住：
g＝5-12。
由于5=2.236…所以
g＝0.618。
黄金分割法
2000多年前，古希腊的柏拉图派学者欧多克斯，首先使用规尺分已知线段为“黄金分割”，他的作法如下：
1.过B点，作BC⊥AB，而且使BC＝12AB；
2.连AC；
3.以C为圆心，CB为半径作圆弧，交AC于D；
4.以A为圆心，AD为半径作圆弧交线段AB于P，则P点分AB成黄金分割。
这个作法十分简便，证明也很容易。
设AB＝a，则BC＝a2，由勾股定理可知：
AC=AB2+BC2=a2+（a2）=52a；
AD=AC-DC=52a-a2=5-12a；
AP=AD=5-12a。
这就证明了，P点分AB成黄金分割。
这个作图方法，叫做“黄金分割法”，P点为“黄金分割点”。
辗转分割
设点P1将线段AB分成黄金分割，即
BP1∶AP1＝g；
取AB中点O，作点P1关于点O的对称点P2，则点P2有下述重要性质：
1．点P2也将线段AB分成黄金分割。
这是因为：
AP2＝BP1，BP2＝AP1，
AP2∶BP2＝BP1∶AP1＝g，
所以点P2也分AB成黄金分割
由此可知，每条线段有两个黄金分割点。
2．点P2还分线段AP1成黄金分割。
证明如下：由于BP1∶AP1＝g，而AP2＝BP1，
所以AP2∶AP1＝g，这就说明P2分AP1成黄金分割。
3．作P2，关于线段AP1中点的对称点P3，则AP3将AP2黄金分割。如此继续利用对称，辗转相割，可以得到一系列的黄金分割点。
黄金矩形
国外，有位画家举办过一次画展，所有的画面都是不同比例的矩形，有的狭长，有的正方。据统计数字表明，观众最喜爱的宽与长之比为g的矩形画面。人们称这种矩形为“黄金矩形”。
黄金矩形有个奇特的性质，如果矩形ABCD是黄金矩形，即DA∶AB＝g，在它的内部截去一个正黄金矩形。这个过程继续下去，还可以得到一系列的黄金矩形。这个美妙的结论，请你自己证明吧。
