现代数论的创始人、法国大数学家费尔马（1601—1665），对不定方程极感兴趣，他在丢番图的《算术》这本书上写了不少注记。在第二卷问题8“给出一个平方数，把它表示为两个平方数的和”的那一页的空白处，他写道：“另一方面，一个立方不可能写成两个立方的和，一个四方不可能写成两个四方的和。一般地，每个大于2的幂不可能写成两个同次幂的和。”
换句话说，在n＞2时，
xn＋yn＝zn（1）
没有正整数。这就是举世闻名的费尔马大定理。
“关于这个命题”，费尔马说：“我有一个奇妙的证明，但这里的空白太小了，写不下。”
人们始终未能找到弗尔马的“证明”。很多数学家攻克这座城堡，至今未能攻克。所以，费尔马大定理实际上是费尔马大猜测。人们在费尔马的书信与手稿中，只找到了关于方程
x4＋y4＝z4（2）
无正整数解的证明，恐怕他真正证明的“大定理”也就是这n＝4的特殊情况。
既然（2）无正整数解，那么方程
x4k＋y4k＝z4k（3）
无解（如果（3）有解，即有正整数x0，y0，z0使
x04k＋y04k＝z04k（3）
那么（x0k）4＋（y0k）4＝（z0k）4
这与（2）无解矛盾！
同理，我们只要证明对于奇素数P，不定方程
xp＋yp＝zp（4）
无正整数解，那么费尔马大定理成立（因为每个整数n＞2，或者被4整除，或者有一个奇素数p是它的因数）。
（4）的证明十分困难。在费尔马逝世以后90多年，欧拉迈出了第一步。他在1753年8月4日给哥德巴赫的信中宣称他证明了在p＝3时，（4）无解。但他发现对p＝3的证明与对n＝4的证时截然不同。他认为一般的证明（即证明（4）对所有的素数p无正整数解）是十分遥远的。
一位化名勒布朗的女数学家索菲·吉尔曼（1776—1831）为解费尔马大定理迈出了第二步。她的定理是：
“如果不定方程x5＋y5＝z5有解，那么5｜xyz。”
人们习惯把方程（4）的讨论分成两种情况。即：如果方程
xp＋yp＝zp
无满足p｜xyz的解，就说对于p，第一种情况的费尔马大定理成立。
如果方程
xp＋yp＝zp
无满足p｜xyz的解，就说对于p，第二种情况的费尔马大定理成立。
因此，吉尔曼证明了p＝5，第一种情况的费尔马大定理成立。她还证明了：如果p与2p＋1都是奇素数，那么第一种情况的费尔马大定理成立。她还进一步证明了对于≤100的奇素数p，第一种情况的费尔马大定理成立。
在欧拉解决p＝3以后的90余年里，尽管许多数学家企图证明费尔马大定理，但成绩甚微。除吉尔曼的结果外，只解决了p＝5与p＝7的情况。
攻克p＝5的荣誉由两位数学家分享，一位是刚满20岁、初出茅庐的狄利克雷，另一位是年逾70已享盛名的勒仕德。他们分别在1825年9月和11月完成了这个证明。
p＝7是法国数学家拉梅在1839年证明的。
这样对每个奇素数p逐一进行处理，难度越来越大，而且不能对所有的p解决费尔马大定理。有没有一种方法可以对所有的p或者至少对一批p，证明费尔马大定理成立呢？德国数学家库麦尔创立了一种新方法，用新的深刻的观点来看费尔马大定理，给一般情况的解决带来了希望。
库麦尔利用理想理论，证明了对于p＜100费尔马大定理成立。巴黎科学院为了表彰他的功绩，在1857年给他奖金3000法郎。
库麦尔发现伯努列数与费尔马大定理有重要联系，他引进了正规素数的概念：如果素数p不整除B2，B4……，Bp－3的分母，p就称为正规素数，如果p整除B2，B4……，Bp－3中某一个的分母就称为非正规素数。例如5是正规数，因为B2的分母是6而5×6。7也是正规素数，因为B2的分母是6，B4的分母是30，而7×6，7×30。
1850年，库麦尔证明了费尔马大定理对正规素数成立，这一下子证明了对一大批素数p，费尔马大定理成立。他发现在100以内只有37、59、67是非正规素数，在对这三个数进行特别处理后，他证明了对于p＜100，费尔马大定理成立。
正规素数到底有多少？库麦尔猜测有无限个，但这一猜测一直未能证明。有趣的是，1953年，卡利茨证明了非正规素数的个数是无限的。
近年来，对费尔马大定理的研究取得了重大进展。1983年，西德的伐尔廷斯证明了“代数数域K上的（非退化的）曲线F（x，y）＝0，在出格g＞1时，至多有有限多个K点。”
作为它的特殊情况，有理数域Q上的曲线
xn＋yn－1＝0（5）
在亏格g＞1时，至多有有限多个有理点。
这里亏格g是一个几何量，对于曲线（5），g可用
g=（n-1）（n-2）2
来计算，由（6）可知在n＞3时，（5）的亏格大于1，因而至多有有限多个有理点（x，y）满足（5）。
方程
xn＋yn＝2n
可以化成
x2n+y4n-1=0
改记x2，y2为（x，y），则（7）就变成（5）。因此由（5）只有有限多个有理数解x、y，立即得出（1）只有有限多个正整数解x、y、z，但这里把x、y、z与kx、ky、kz（k为正整数）算作同一组解。
因此，即使费尔马大定理对某个n不成立，方程（7）有正整数解，但解也至多有有限组。
1984年，艾德勒曼与希思布朗证明了第一种情况的费尔马大定理对无限多个p成立。他们的工作利用了福夫雷的一个重要结果：有无穷多个对素数p与q，满足q｜p－1及q＞p2／3个。而福夫雷的结果又建立在对克路斯特曼的一个新的估计上，后者引起了不少数论问题的突破。
现在还不能肯定费尔马大定理一定正确，尽管经过几个世纪的努力。瓦格斯塔夫在1977年证明了对于p＜125000，大定理成立。最近，罗寒进一步证明了对于p＜4100万，大定理成立。但是，费尔马大定理仍然是个猜测。如果谁能举出一个反例，大定理就被推翻了。不过反例是很难举的。
