欧几里得的《几何原本》自公元前3世纪诞生以来直到18世纪末，在几何学领域一直是一统天下，被人们奉为圭臬与经典，但它研究的仅仅是用圆规与直尺画出的直线、圆、正方体等规则的几何形体。这类形体是光滑的，具有特征长度的，在自然界确实也有非常多的欧几里得几何对象的例子。然而在我们生存的空间，还大量存在着另一类不规则的结构与现象：云彩不是球体，山脉不是圆锥，海岸也不是折线……这些不规则图形是不能用传统的欧氏几何来准确描述的。那么对于这些看似无规律的图形和现象，我们用什么数学工具来进行描述呢科学家经过研究发现，用几何分形可以描述蕨类植物或者雪花等对象，而随机分形则可由计算机生成，用来描述熔岩流和山脉。有了分形，我们的几何学就能描述不断变化的宇宙了。那什么是分形呢分形（fractal）是曼德尔布罗特由拉丁语形容词“fractus”创造出来的一个新词，至今尚无一个科学的定义。一般来说，分形是具有如下性质的集合：
.具有精细结构，即在任意小的比例尺度内包含着整体。
.不规则，不能用传统的几何语言来描述。
.通常具有某种自相似性，或许是近似的或许是统计意义上的。
.在某种方式下定义的“分维数”通常大于其拓扑维数。
.定义常常是非常简单的，或许是递归的。
我们注意到，不论是自然界中的个体分形形态，还是数学方法产生的分形图案，都有无穷嵌套、细分再细分的自相似的几何结构。换言之，谈到分形，我们事实上是开始了一个动态过程。从这个意义上说，分形反映了结构的进化和生长过程。它刻画的不仅仅是静止不变的形态，更重要的是进化的动力学机制。生长中的植物，不断生长出新枝、新根。同样，山脉的几何学形状是以往造山运动、侵蚀等过程自然形成的，现在和今后还会不断变化。
