2.2力系简化
2.2.1力线平移
图2.2.1力线的平移
与力偶不同，力对刚体而言是滑动矢量，它只可以沿着力
作用线移动而不可平移，平移将改变原来的力对刚体的作用效
果。具体地，作用于刚体上的力等效地平移到刚体上的任一点
时，将产生一个附加力偶，其力偶矩等于原来的力对新作用点
的力矩。
事实上，设力F作用在刚体上，其作用线为l，为将此作用
线l平移到l1，沿l1加一对力F′和F″，满足F′=-F″=F。因
为F′和F″合力为零，增加该对力不改变力F的作用效果。可
以认为力F′是将力F从l上平移到l1上，而F和F″组成力偶，
称为附加力偶，力偶矩为M=r×F，其中r为由力F′的作用点
引向力F作用点的矢径(见图2.2.1)，亦即M=MO(F)，表明此力偶矩等于原来的力
对新作用点的力矩。
此结论说明了力是如何与其等值同向平行力等效的。由矢积的性质知，附加力
偶一定与力垂直。反过来，一个力F和一个与之垂直的力偶M可以通过力的平移简
化为一个力，只要将力F从其作用点O平移到O′点，使产生的附加力偶满足
r×F=M(2.2.1)
其中r为O相对O′的矢径。将F与式(2.2.1)作矢积，利用三重矢积的公式(a×b)×c=
(a·c)b-(b·c)a，可以导出
F×M=(F·F)r-(r·F)F(2.2.2)
因力是滑移矢量，总可以使→OO′与力F垂直。此时，与F垂直，则r·F=0。由
式(2.2.2)导出
r=
F×M
F·F
(2.2.3)
至此，我们将作用在O点的力和力偶简化为作用在O′点的一个力。
力线平移的结论指出了力等效平移后的结果，是力系简化的基础。
2.2.2力系向一点简化
设刚体上作用有力系Fi(i=1，2，…，n)，作用点分别为Ai(i=1，2，…，n)。任
选一点O，称为简化中心，各力作用点相对该点的矢径为OA
→i=ri(i=1，2，…，n)
(图2.2.2(a))。利用前述力线平移的结果，可将每一个力平移到O点，而得到一个34
作用点为O点的汇交力系F′i=Fi(i=1，2，…，n)和一个力偶系Mi=ri×Fi(i=1，
2，…，n)(图2.2.2(b))。对于汇交力系和力偶系，我们已经知道可以分别进一步合
成为一个力和一个力偶(图2.2.2(c))。
F′R=∑
n
i=1
F′i=∑
n
i=1
Fi，M=∑
n
i=1
MO(Fi)=MO(2.2.4)
汇交力系F′i(i=1，2，…，n)的合力F′R的大小和方向与力系的主矢相同，作用点在简
化中心O，而力偶系Mi(i=1，2，…，n)的合力偶M等于原力系对O点的主矩MO。
图2.2.2空间一般力系向一点简化
2.2.3力系的最简形式
前面只是力系向任意一点简化的结果，未必是力系的最简单形式。力系的最简
单形式是力系本身的特性，应该独立于简化中心的选择，最简形式与简化中心无关。
即若选择其他点作为新的简化中心，虽然简化结果有可能不同，但也能得到相同的最
简形式。因此以下根据与简化中心无关的力系不变量，讨论力系简化所能得到的最
简单形式。可以预期，力系不变量为零，则力系简化结果比较简单，而力系不变量不
为零，力系简化结果相对复杂。由力系不变量的定义，力系第一不变量为零时，第二
不变量也为零。因此首先讨论力系第二不变量是否为零的情形，再在其不为零时讨
论第一不变量是否为零的情形。
图2.2.3力螺旋及其中心轴
若力系第二不变量不为零，即MO·FR≠0，则MO和
FR不垂直。此时将向O点简化所得到的力偶MO分解
成与主矢FR平行和垂直的两个分量MO‖和MO⊥。力线
平移的逆过程知，此时FR和MO⊥可以简化为一个力。
力系简化结果为力FR和力偶MO‖，不能进一步简化。这
种力和与其平行的力偶的组合被称为力螺旋。钻头对
工件的作用和用螺丝刀拧木螺丝都是力螺旋的例子。
当力和力偶指向相同时，即MO·FR>0时，称为右螺旋，
否则称为左螺旋。用螺丝刀拧入木螺丝就是右螺旋。若力系第二不变量为零，即MO·FR=0时，区分力系第一不变量是否为零的情
形。若FR不为零，则力系主矩MO与主矢FR垂直，或主矩MO为零。这两种情形，力
系简化结果均为一力。两种情况不同之处在于，MO与FR垂直，作为简化结果的合力
作用线不通过简化中心，而需要平移。若MO=0，则合力作用线通过简化中心。
若力系第一不变量和第二不变量均为零，则进一步考虑主矩是否为零。若MO≠
0，则简化结果为一力偶。若MO=0，系统该力系与零力系等效，即力系平衡。平衡
问题将在第3章详细分析。力系第一不变量即主矢为零时，由式(2.1.4)知主矩与简
化中心无关。
上述分析表明，力系简化的最简形式有四种:平衡、合力、合力偶和力螺旋。所
有非零最简力系由力和力偶组成，故力和力偶是组成力系的基本元素。这些简化结
果及其相应条件，可以用下表加以总结，其中括号中的是由前列条件得出的推论而非
独立条件。
表2.2.1力系最简结果及其条件
条件
第二不变量MO·FR第一不变量FR主矩MO
结果
MO·FR≠0(FR≠0)(MO≠0)力螺旋
MO·FR=0
FR≠0
FR=0
合力
MO≠0合力偶
MO=0平衡
特殊地，对于所用力的作用线都在同一平面的平面力系，因力线平移产生的附加
力偶与力系所在平面垂直，这样就不存在力螺旋。所以，平面力系简化的最简形式只
有三种:平衡、合力和合力偶。
2.2.4力螺旋中心轴
力系简化为合力或力螺旋时，亦即FR≠0时，力的作用线称为该力系的中心轴。
一旦选择了简化中心并得到相应的简化结果，就可以在FR≠0时导出中心轴。事实
上，设选取新的简化中心B(中心轴上任意一点)后，力系简化成力螺旋。此时主矩
MB=MO‖，MB与主矢FR重合共线。两者单位矢量相同，因此MB可以表示为
MB=MB·FR
FR·F
?
è
?
?
?
÷
R
FR
FR·FR
(2.2.5)
上式右端括号中的数量积是MB在FR方向上的投影。由式(2.1.5)，式(2.2.5)可改
写为
MB=(MO·FR)
FR
FR·FR
(2.2.6)6
设从O到B的矢量为r，则由式(2.1.4)，导出
MO-r×FR=
MO·FR
FR·FR
FR(2.2.7)
式(2.2.7)确定了中心轴方程，从物理意义出发，可以导出式(2.2.7)的显式参数解。
由式(2.2.3)，记从点O向中心轴作垂线的垂足为P，矢量rOP满足
rOP=
FR×MO⊥
FR·FR
(2.2.8)
注意到MO⊥=MO-MO‖和FR×MO‖=0，由式(2.2.8)可以用主矢和主矩表示rOP，
rOP=
FR×MO
FR·FR
(2.2.9)
若引入中心轴上任一点到垂足P的有向距离为s，与FR指向一致为正，反之为负，则
中心轴上任一点为
r=
FR×MO
FR·FR
+s
FR
FR·FR
(2.2.10)
例2.2.1三个大小相等的力F沿长方体的三个不相交且不平行的棱作用。棱
的长度a，b和c满足什么关系时这三个力能够简化为合力?
解建立图示直角坐标系，i，j和k为沿坐标轴方向的单位向量。选O点为简
化中心，力系的主矢和主矩分别为
F′R=F(i+j+k)，MO=F(b-c)i-Faj(a)
当主矢和主矩垂直时，能够进一步简化为一个力，即
F′R·MO=F2(b-c)-F2a=0(b)
由此可知当棱的长度a，b，c满足条件
a=b-c(c)
时，力系能够简化为一个合力。
例2.2.1图例2.2.2图
例2.2.2沿边长为a的立方体的各棱作用12个大小均为F的力，如图所示。
试求该力系简化的最简形式解建立图示直角坐标系，i，j和k为沿坐标轴方向的单位向量。选O点为简
化中心，力系的主矢和主矩分别为
F′R=F1+…+F12=2F(-i+j+2k)(a)
MO=MO(F1)+…+MO(F12)=2Fa(i-j+2k)(b)
主矢方向的单位矢f为
f=
6
6
(-i+j+2k)(c)
主矩在主矢方向的投影为
Mf=MO·f=
26
3
Fa(d)
从Mf>0知，力系最终可以简化为右力螺旋:
F=2F(-i+j+2k)，Mf=Mff=
2
3
Fa(-i+j+2k)(e)
力作用点的矢径按式(2.2.8)计算
r=
F×(MO-Mf)
F2=
2
3
a(i+j)(f)
这是力作用线与xy平面交点的矢径，容易验证，F·r=0，即矢径r是和力F垂
直的
