将复杂力系等效地化为最简力系在理论分析和工程中都具有重要意义。前一章
将汇交力系和力偶系分别合成为一个力和一个力偶就是力系简化的例子。力系简化
的前提是等效。等效力系是指不同力系对同一刚体所产生的运动效应相同。力系的
简化是指用简单的力系等效地替换一个复杂力系。力系简化而得到的最简单力系称
为力系简化的结果，可以是平衡、一个力、一个力偶，或者一个力与一个力偶的组合。
力系的简化结果可以导出力系平衡条件，这将在第3章中详细讨论。力系简化
不局限于静力学。例如，飞行中的飞机受到升力、牵引力、重力、空气阻力等分布在飞
机不同部位力的作用，为确定飞机运动规律可以先进行力系的简化。因此，力系简化
也是动力学分析的基础。
本章首先引入主矢和主矩两个力系的基本特征量作为力系等效简化的依据。然
后讨论力系简化，力系简化的基础是力线平移，由此力系可向任意一点简化，并进而
分析力系的几种最简形式。最后，考虑平行力系的简化，并介绍重心、质心和形心的
概念与计算公式。
2.1力系的基本特征量:主矢与主矩
图2.1.1刚体受力系作用
为讨论力系的等效和简化问题，先引入刻画
作用在同一刚体上力系整体特性的两个基本特征
量:主矢和主矩。
设刚体受到力系Fi(i=1，2，…，n)作用，诸力
的作用点Ai相对固定点O的矢径依次为ri(i=1，
2，…，n)，如图2.1.1所示。力系Fi的矢量之和称
为力系的主矢，记作FR，即
FR=∑
n
i=1
Fi(2.1.1)主矢仅取决于力系中各力的大小和方向，而不涉及作用点，是一个自由矢量。主矢通
常不是合力。
力系Fi对固定点O的力矩的矢量和称为力系对点O的主矩，记为MO，即
MO=∑
n
i=1
ri×Fi(2.1.2)
固定点O称为矩心。从定义看，主矩应该与矩心O的选择有关。为说明不同点主
矩之间的关系，考虑另一固定点B，其相对于O点的矢径为rB，力系Fi对B点的主
矩为
MB=∑
n
i=1
r′i×Fi(2.1.3)
其中r′i=ri-rB为力Fi的作用点相对于固定点B的矢径，如图2.1.1所示。由
式(2.1.2)和式(2.1.3)，可以导出，对不同两点的主矩MO和MB存在如下关系:
MO=rB×FR+MB(2.1.4)
因此，在主矢不为零时，MO和MB不相等。因此，主矩不仅取决于力系中各力的大小、
方向和作用点，还取决于矩心O的选择，即主矩在主矢不为零时是定位矢量。此时
主矩不是合力偶。尽管主矢不为零时主矩随矩心选择而变，但将式(2.1.4)两边点乘
主矢FR，并注意到垂直关系有(rB×FR)·FR=0，得到
MO·FR=MB·FR(2.1.5)
这表明，虽然力系的主矩与矩心的选择有关，但是主矩与主矢的数量积却与矩心选择
无关。
力系与矩心选择无关的量称为不变量。主矢称为力系的第一不变量，主矩与主
矢的数量积称为第二不变量。第一不变量为矢量，而第二不变量为数量。
可以证明，两个力系对刚体运动效应相同的条件是这两个力系的主矢以及对同
一点的主矩对应相等。因此，主矢和主矩的引入为判断力系的等效提供了依据。
例2.1.1试计算图示平面力系的主矢和对固定点O、A和B的主矩。已知正
方形边长为a，大小皆为F的4个力F1，F2，F3，F4作用如图所示，力偶矩m=Fa。
解设Oxy坐标系如图所示，根据式(2.1.1)和式(1.1.12)，力系的主矢在x和
y轴上的投影分别为
FRx=F1cos30°+F2sin45°+F3cos60°+F4cos45°
=2.78F
FRy=F1sin30°-F2cos45°+F3sin60°+F4sin45°
=1.37F
主矢的大小和方向为
FR=F2
Rx+F2
Ry=3.1F2
θ=arctan
FRy
FRx
=0.458=26.2°
力系对O，A点的主矩分别为
MO=-F1acos30°-F2a2+F3asin60°+m=-0.41Fa
MA=-F2acos45°+F3a(cos60°+sin60°)+F4asin45°+m=2.37Fa
力系对B点的主矩留给读者自己完成。
例2.1.1图例2.1.2图
例2.1.2试计算图示空间力系的主矢和对固定点O、A和B的主矩，并验证
式(2.1.5)。
解设O-xyz坐标系如图所示，i，j，k为沿坐标轴x，y，z方向的单位矢量。所
讨论力系包括分别作用于点(0，0.3，0.4)和(0.4，0，0)的力和力偶。
F1=150i(N)，F2=100j(N)，
M=-20j(N·m)(a)
根据式(2.1.1)，力系的主矢
FR=F1+F2=150i+100j(N)(b)
力系中各力作用点相对于固定点O、A和B的矢径分别为
rO1=0.3j+0.4k(m)，rO2=0.4i(m);rA1=0.3j(m)，
rA2=0.4i-0.4k(m);rB1=-0.4i(m)，rB2=-0.3j-0.4k(m)(c)
所求力系对各固定点的主矩即为对相应点力矩的矢量和:
MO=rO1×F1+rO2×F2+M=40j-5k(N·m)(d)
MA=rA1×F1+rA2×F2+M=40i-20j-5k(N·m)(e)
MB=rB1×F1+rB2×F2+M=40i-20j(N·m)(f)
容易验证上述结果满足式(2.1.5)，即
MO·FR=MA·FR=MB·FR(
