形如y=x^a(a为常数）的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。形如y=x^a(a为常数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。当a取非零的有理数时是比较容易理解的，而对于a取无理数时，初学者则不大容易理解了。因此，在初等函数里，我们不要求掌握指数为无理数的问题，只需接受它作为一个已知事实即可，因为这涉及到实数连续性的极为深刻的知识。
基本信息
中文名：幂函数
外文名：powerfunction
适用领域范围：数学
外文名：powerfunction
分类：理学
概念
形如y=x^a(a为常数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。
当a取非零的有理数时是比较容易理解的，而对于a取无理数时，初学者则不大容易理解了。因此，在初等函数里，我们不要求掌握指数为无理数的问题，只需接受它作为一个已知事实即可，因为这涉及到实数连续性的极为深刻的知识。
性质
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所有的幂函数在（-∞，+∞）上都有各自的定义，并且图像都过点（1，1）。
（1）当α>0时，幂函数y=xa有下列性质：
a、图像都通过点（1，1）（0，0）；
b、在第一象限内，函数值随x的增大而增大；
c、在第一象限内，α>1时，图像开口向上；0<α<1时，图像开口向右；
d、函数的图像通过原点，并且在区间[0，+∞)上是增函数。
（2）当α<0时，幂函数y=xa有下列性质：
a、图像都通过点（1，1）；
b、在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图像开口向上；
c、在第一象限内，当x从右趋于原点时，图像在y轴上方趋向于原点时，图像在y轴右方无限接近y轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴。
（3）当α=0时，幂函数y=xa有下列性质：
a、y=x0是直线y=1去掉一点（0，1）它的图像不是直线。
特性
对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：
首先我们知道如果a=p/q，且p/q为既约分数（即p、q互质），q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号下（x的p次方），如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0，+∞）。当指数a是负整数时，设a=-k，则y=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是（－∞，0)∪(0，+∞)。因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：
a小于0时，x不等于0；
a的分母为偶数时，x不小于0；
a的分母为奇数时，x取R。
定义域和值域
当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：
1、如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；
2、如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。
当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：
1、在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。
2、在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。
而只有a为正数，0才进入函数的值域。
由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，
因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况。
特殊性
可以看到：
（1）所有的图形都通过（1，1）这点，（a≠0）a>0时图象过点（0，0）和（1，1）
（2）单调区间：
当a为整数时，a的正负性和奇偶性决定了函数的单调性：
①当a为正奇数时，图像在定义域为R内单调递增；
②当a为正偶数时，图像在定义域为第二象限内单调递减，在第一象限内单调递增；
③当a为负奇数时，图像在第一三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）；
④当a为负偶数时，图像在第二象限上单调递增，在第一象限内单调递减。
当a为分数时，a的正负性和分母的奇偶性决定了函数的单调性：
①当a>0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递增；
②当a>0，分母为奇数时，函数在第一三象限各象限内单调递增；
③当a<0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递减；
④当a<0，分母为奇数时，函数在第一三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）；
（3）当a>1时，
幂函数图形下凸（竖抛）；当0<a<1时，幂函数图形上凸（横抛）。当a<0时，图像为双曲线。
（4）在（0，1）上，幂函数中a越大，函数图像越靠近x轴；在（1，﹢∞）上幂函数中a越大，函数图像越远离x轴。
（5）当a<0时，a越小，图形倾斜程度越大。
（6）显然幂函数无界限。
（7）a=2n，该函数为偶函数{x|x≠0}。
图象
幂函数幂函数的图象：
①当a≤-1且a为奇数时，函数在第一、第三象限为减函数
②当a≤-1且a为偶数时，函数在第二象限为增函数
③当a=0且x不为0时，函数图象平行于x轴且y=1、但不过（0，1）
④当0<a<1时，函数是增函数
⑤当a≥1且a为奇数时，函数是奇函数
⑥当a≥1且a为偶数时，函数是偶函数
幂函数的图像不过第四象限
特别说明
为了研究方便，在初等函数里对于幂函数，只讨论a=1，2，3，1/2，-1时的情形。
