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第39章 对数函数

对数的定义:一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,读作以a为底N的对数,其中a叫做对数的底数,N叫做真数。一般地,函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,也就是说以幂为自变量,指数为因变量,底数为常量的函数,叫对数函数。其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞)。它实际上就是指数函数的反函数,可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定,同样适用于对数函数。

基本信息

中文名:对数函数

外文名:LogarithmicFunction

别称:对函数

表达式:y=logax(a>0&a≠1)

提出者:纳皮尔

提出时间:16世纪末

应用学科:数学

适用领域范围:代数学,自然科学

函数最值:无

函数零点:x=1

函数对称轴:无

简介

正在加载对数函数

函数y=a^x(a>0,a≠1)的反函数y=loga(x)(a>0,a≠1)叫做对数函数.

对数函数的一般形式为,它实际上就是指数函数的反函数。因此指数函数里对于a的规定,同样适用于对数函数。

右图给出对于不同大小a所表示的函数图形:

可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形,因为它们互为反函数。

(1)对数函数的定义域为大于0的实数集合。

(2)对数函数的值域为全部实数集合。

(3)函数总是通过(1,0)这点。

(4)a大于1时,为单调递增函数,并且上凸;a小于1大于0时,函数为单调递减函数,并且下凹。

(5)显然对数函数无界。

历史

16世纪末至17世纪初的时候,当时在自然科学领域(特别是天文学)的发展上经常遇到大量精密而又庞大的数值计算,於是数学家们为了寻求化简的计算方法而发明了对数。

德国的史提非(1487-1567)在1544年所著的《整数算术》中,写出了两个数列,左边是等比数列(叫原数),右边是一个等差数列(叫原数的代表,或称指数,德文是Exponent,有代表之意)。

欲求左边任两数的积(商),只要先求出其代表(指数)的和(差),然后再把这个和(差)对向左边的一个原数,则此原数即为所求之积(商),可惜史提非并未作进一步探索,没有引入对数的概念。

纳皮尔对数值计算颇有研究。他所制造的「纳皮尔算筹」,化简了乘除法运算,其原理就是用加减来代替乘除法。他发明对数的动机是为寻求球面三角计算的简便方法,他依据一种非常独等的与质点运动有关的设想构造出所谓对数方法,其核心思想表现为算术数列与几何数列之间的联系。在他的《奇妙的对数表的描述》中阐明了对数原理,后人称为纳皮尔对数,记为Nap.㏒x,它与自然对数的关系为

Nap.㏒x=107㏑(107/x)

由此可知,纳皮尔对数既不是自然对数,也不是常用对数,与现今的对数有一定的距离。

瑞士的彪奇(1552-1632)也独立地发现了对数,可能比纳皮尔较早,但发表较迟(1620)。

英国的布里格斯在1624年创造了常用对数。

1619年,伦敦斯彼得所著的《新对数》使对数与自然对数更接近(以e=2.71828...为底)。

对数的发明为当时社会的发展起了重要的影响,正如科学家伽利略(1564-1642)说:「给我时间,空间和对数,我可以创造出一个宇宙」。又如十八世纪数学家拉普拉斯(1749-1827)亦提到:「对数用缩短计算的时间来使天文学家的寿命加倍」。

最早传入我国的对数著作是《比例与对数》,它是由波兰的穆尼斯(1611-1656)和我国的薛凤祚在17世纪中叶合编而成的。当时在lg2=0.3010中,2叫「真数」,0.3010叫做「假数」,真数与假数对列成表,故称对数表。后来改用「假数」为「对数」。

我国清代的数学家戴煦(1805-1860)发展了多种的求对数的捷法,著有《对数简法》(1845)、《续对数简法》(1846)等。1854年,英国的数学家艾约瑟(1825-1905)看到这些著作后,大为叹服。

当今中学数学教科书是先讲「指数」,后以反函数形式引出「对数」的概念。但在历史上,恰恰相反,对数概念不是来自指数,因为当时尚无分指数及无理指数的明确概念。布里格斯曾向纳皮尔提出用幂指数表示对数的建议。1742年,J.威廉(1675-1749)在给G.威廉的《对数表》所写的前言中作出指数可定义对数。而欧拉在他的名著《无穷小分析寻论》(1748)中明确提出对数函数是指数函数的逆函数,和现在教科书中的提法一致。

概念与知识点

定义

在实数域中,真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零(若为负数,则值为虚数),底数则要大于0且不为1。

对数函数的底数为什么要大于0且不为1?【在一个普通对数式里a<0,或=1的时候是会有相应b的值。但是,根据对数定义:

log以a为底a的对数;如果a=1或=0那么log以a为底a的对数就可以等于一切实数(比如log11也可以等于2,3,4,5,等等)】

通常我们将以10为底的对数叫常用对数(commonlogarithm),并把log10N记为lgN。另外,在科学技术中常使用以无理数e=2.71828···为底数的对数,以e为底的对数称为自然对数(naturallogarithm),并且把logeN记为InN。根据对数的定义,可以得到对数与指数间的关系:

当a>0,a≠1时,aX=N→X=logaN。(N>0)

由指数函数与对数函数的这个关系,可以得到关于对数的如下结论:

在实数范围内,负数和零没有对数

logaa=1

log以a为底a的对数为1(a为常数)恒过点(1,0)

性质

定义域求解:对数函数y=logax的定义域是{x丨x>0},但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解,除了要注意大于0以外,还应注意底数大于0且不等于1,如求函数y=logx(2x-1)的定义域,需同时满足x>0且x≠1

和2x-1>0,得到x>1/2且x≠1,即其定义域为{x丨x>1/2且x≠1}

值域:实数集R,显然对数函数无界。

定点:函数图像恒过定点(1,0)。

单调性:a>1时,在定义域上为单调增函数;

0<a<1时,在定义域上为单调减函数。

奇偶性:非奇非偶函数

周期性:不是周期函数

对称性:无

最值:无

零点:x=1

注意:负数和0没有对数。

两句经典话:底真同对数正,底真异对数负。解释如下:

也就是说:若y=logab(其中a>0,a≠1,b>0)

当<a<1,0<b<1时,y=logab>0;

当a>1,b>1时,y=logab>0;

当0<a<1,b>1时,y=logab<0;

当a>1,0<b<1时,y=logab<0。

指数函数的求导:

e的定义:e=lim(x→∞)(1+1/x)x=2.718281828...

设a>0,

a!=1----(loga(x))'

=lim(Δx→0)((loga(x+Δx)-loga(x))/Δx)

=lim(Δx→0)(1/x*x/Δx*loga((x+Δx)/x))

=lim(Δx→0)(1/x*loga((1+Δx/x)x/Δx))

=1/x*lim(Δx→0)(loga((1+Δx/x)x/Δx))

=1/x*loga(lim(Δx→0)(1+Δx/x)x/Δx)

=1/x*loga(e)

特殊地,当a=e时,(loga(x))'=(lnx)'=1/x。

----设y=ax两边取对数lny=xlna两边对求x导y'/y=lnay'=ylna=a^xlna

特殊地,当a=e时,y'=(ax)'=(ex)'=e^lnex=ex。

运算性质

一般地,如果a(a>0,且a≠1)的b次幂等于N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作logaN=b,其中a叫做对数的底数,N叫做真数。

底数则要>0且≠1真数>0

并且,在比较两个函数值时:

如果底数一样,真数越大,函数值越大。(a>1时)

如果底数一样,真数越小,函数值越大。(0<a<1时)

当a>0且a≠1时,M>0,N>0,那么:

(1)loga(MN)=logaM+logaN;

(2)loga(M/N)=logaM-logaN;

(3)logaMn=nlogaM(n∈R)

(4)换底公式:log(A)M=log(b)M/log(b)A(b>0且b≠1)

(5)a(log(b)n)=n(log(b)a)证明:

设a=nx则alog(b)n=(nx)log(b)n=n(x*log(b)n)=nlog(b)(n^x)=n(log(b)a)

(6)对数恒等式:alog(a)N=N;log(a)ab=b

(7)由幂的对数的运算性质可得(推导公式)

1.log(a)M^(1/n)=(1/n)log(a)M,log(a)M^(-1/n)=(-1/n)log(a)M

2.log(a)M^(m/n)=(m/n)log(a)M,log(a)M^(-m/n)=(-m/n)log(a)M

3.log(a^n)M^n=log(a)M,log(a^n)M^m=(m/n)log(a)M

4.log(以n次根号下的a为底)(以n次根号下的M为真数)=log(a)M,

log(以n次根号下的a为底)(以m次根号下的M为真数)=(n/m)log(a)M

5.log(a)b×log(b)c×log(c)a=1

表达方式

(1)常用对数:lg(b)=log10b(10为底数)

(2)自然对数:ln(b)=logeb(e为底数)

e为无限不循环小数,通常情况下只取e=2.71828对数函数的定

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