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第24章 数学教学的趣味运用故事(21)

126.混乱中的数学现象

一家药店收到运来的某种药品十瓶。每瓶装药丸1000粒。药剂师怀特先生刚把药瓶送上架子,一封电报接踵而来。怀特先生把电报念给药店经理布莱克小姐听。

怀特先生:“特急!所有药瓶须检查后方能出售。由于失误,其中有一瓶药丸每粒超重10毫克。请即退回分量有误的那瓶药。怀特先生很气恼。

怀特先生:“倒霉极了,我只好从每瓶中取出一粒来秤一下。真是胡闹。

怀特先生刚要动手,布莱克小姐拦住了他。布莱克小姐:“等一下,没必要秤十次,只需秤一次就够了。这怎么可能呢?

布莱克小姐的妙主意是从第一瓶中取出1粒,从第二瓶中取出2粒,第三瓶中取出3粒,以此类推,直至从第十瓶中取出10粒。把这55粒药丸放在秤上,记下总重量。如果重5510毫克,也就是超过规格10毫克,她当即明白其中只有一粒是超重的,并且是从第一瓶中取出的。

如果总重量超过规格20毫克,则其中有2粒超重,并且是从第二瓶中取出的,以此类推进行判断。所以布莱克小姐只要秤一次,不是吗?

六个月后,药店又收到此种药品十瓶。一封加急电报又接踵而至,指出发生了一个更糟糕的错误。

这一次,对超重药丸的瓶数无可奉告。怀特先生气恼极了。怀特先生:“布莱克小姐,怎么办?我们上次的方法不中用了。布莱克小姐没有立即回答,她在思索这个问题。

布莱克小姐:“不错。但如果把那个方法改变一下,我们仍然只需秤一次就能把分量有误的药品识别出来。这回布莱克小姐又有什么好主意?

在第一个秤药丸问题中,我们知道只有一瓶药丸超重。从每瓶中取出不同数目的药丸,最简单的方式就是采用计数序列,我们就可使一组数字和一组药瓶成为一一对应的关系。

为了解决第二个问题,我们必须用一个数字序列把每瓶药单独标上某个数字,且此序列中的每一个子集必须有一个单独的和。有没有这样的序列?有的,最简单的就是下列二重序列:1,2,4,8,16……这些数字是2的连续次幂,这一序列为二进制记数法奠定了基础。

在这个问题中,解法是把药瓶排成一行,从第一瓶中取出1粒,从第二瓶中取出2粒,从第三瓶中取出4粒,以此类推。取出的药丸放在秤上秤一下。假设总重量超重270毫克,由于每粒分量有误的药丸超重10毫克,所以我们把270除以10,得到27,即为超重药丸的粒数。把27化成二进制数:11011。在11011中自右至左,第一,二,四,五位上的“1”表示其权值分别为1,2,8,16。因此分量有误的药瓶是第一,二,四,五瓶。

在由2的幂组成的集合中,每个正整数是单一的不同组合中的元素之和。鉴于这一事实,二进制记数法极为有用。在计算机科学和大量应用数学领域中,二进制记数法是必不可少的。在趣味数学方面,同样也有难以计数的应用。

这里有一个简单的扑克魔术,可叫你的朋友莫名其妙。这个戏法也许看上去与药瓶问题毫无关系,但他们的依据是相同的,都是二进制原理。

请别人把一副牌洗过,然后放进你的口袋,再请人说出一个1至15以内的数字。然后你把手插进你的口袋里,一伸手就取出一组牌,其数值相加正好等于他所说的数字。

此秘密简单的很。在耍魔术之前,预先取出A,2,4,8各一张放入口袋。这副牌缺少区区四张,不大可能为人察觉。洗过的牌放入口袋后,暗中将其排置于原先已经放在口袋中的四张牌的后面。请别人说出一个数字,你用心算将此数表示成2的幂的和。如果是10,那你就应想到:8+2=10,随即伸手入袋,取出2和8的牌示众。

卜算卡片的依据也是二进制原理,准备六张卡片,分别记为A,B,C,D,E,F。然后将一些数字填写在卡片上,确定每张卡片上的数字集合的规则是这样的:在一个数的二进制表示中,若右起第一位是“1”,则此数字就在卡片A上。该卡片上的数字集合自1起始,全部数字就是1至63范围内所有的奇数;卡片B则包括1至63范围内的二进制记数法中右起第二位为“1”的全部数字;卡片C包括1至63范围内的二进制记数法中右起第三位为“1”的全部数字;卡片D,E,F以此类推。注意:63这个数字的二进制记数法是“111111”,每一位都是“1”,因此每张卡片上都有这个数字。

这六张卡片可以用来确定1至63范围内的任意一个数字。请一位观众想好此范围内的一个数字,然后请他把所有上面有此数字的卡片都交给你。你随即说出他心中所想的那个数字。秘诀就是把每张卡片上2的幂的第一个数字相加。例如,如果把卡片C和F交给你,你只要将上面第一个数字4和32相加,便知道别人心中所想的数字是36。

有时,魔术师为了使得这个戏法显得更加玄妙,故意把每张卡片涂上各种不同的颜色。他只需记住每种颜色所代表的2的幂。例如,红卡片代表1,橙卡片代表2,黄卡片代表4,绿卡片代表8,兰卡片代表16,紫卡片代表32,于是,魔术师站在大房间的一头,请人想好一个数字,并且把上面有此数字的卡片置于身旁,他即可根据那人身旁的卡片的颜色随口说出别人心中所想的数字。

127.难铺的瓷砖

布朗先生的院子里铺有40块四方瓷砖,这些瓷砖已经破损老化,他想予以更新,他为修整院子选购新的瓷砖。可惜,目前商店里只供应长方形的瓷砖,每块等于原来的两块。店主:“布朗先生,您需要几块?”布朗先生:“嗯,我要更换40块方瓷砖,所以我估计需要20块。”

布朗先生试着用刚买的新瓷砖铺院子,结果弄得烦闷不堪。不管他怎样努力,总是无法铺好。

贝特西:“出了什么问题?爸爸?”布朗先生:“这些该死的瓷砖,真叫人恼火。最后总是剩下两个方格没法铺上瓷砖。”

布朗先生的女儿画了一张院子的平面图,并且涂上了颜色,看上去好似一张棋盘。然后她沉思了几分钟。

贝特西:“啊哈!我看出症结的所在了。请设想每块长方形瓷砖必定盖住一个红色的格子和一个白色的格子,问题就清楚了。”

这里面有什么奥妙,你理解贝特西的意思吗?

共有19个白色的格子和21个红色的格子,所以铺了19块瓷砖后,总要剩下2个红格没有铺,而一块长方形瓷砖是无法盖住2个红格的。唯一的办法是把最后一块长方形瓷砖断为两块。

布朗先生的女儿利用所谓“奇偶校验”解答了铺瓷砖问题。如果两个数都是奇数或都是偶数,则称其为具有相同的奇偶性,如果一个数是奇数,另一个数是偶数,则称其具有相反的奇偶性,在组合几何中,经常会遇到类似的情况。

在这个问题中,同色的两个格子具有相同的奇偶性,异色的两个格子具有相反的奇偶性。长方形瓷砖显然只能覆盖具有相反奇偶性的一对格子。布朗小姐首先说明,把19块长方形瓷砖在院子内铺上后,只有在剩下的两个方格具有相反的奇偶性时,才能把最后一块长方形瓷砖铺上。由于剩下的两个方格具有相同的奇偶性,因此无法铺上最后一块长方形瓷砖。所以用20块长方形瓷砖来铺满院子是不可能的。

数学中许多着名的不可能性的证明都建立在奇偶校验上,也许你很熟悉欧几里德的着名证明,2的平方根不可能是一个有理数,证明是这样进行的:首先假设此平方根可以表示成一个既约的有理分数,则分子和分母不可能都是偶数,否则它就不是一个既约分数。分子,分母可能都是奇数或者一个是奇数,另一个是偶数。欧几里德证明接着论证此分数不可能属于上述两种情况,换句话说,分子和分母不可能具有相同的奇偶性或相反的奇偶性。而任何有理分数是两者必居其一,因而反证了2的平方根不可能是一个有理数。

在铺砌理论中,有许多必定要用奇偶校验才能论证其不可能性的问题。上述问题只是个极其简单的例子,因为它仅仅涉及用多米诺骨牌,即简单的,不平凡的波利米诺来铺砌。布朗小姐的不可能性证明适用于符合下列要求的单位方格矩阵:这种矩阵若按照棋盘那样涂色后,一种颜色的方格要比另一种颜色的方格至少多一个。

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