“原题”
今有三人共车，二车空；二人共车，九人步。问人与车各几何？（选自《孙子算经》15卷下）
“译文”
今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行。问有多少人，多少辆车？
“解答”
当我们计数或分配一定数量的事物时，总会遇到这样三种情况：适足、多余、不足。我国古人把这种规律编入算数题，便衍生出我们现在看到一类非常有趣的题目——“盈不足”问题。“盈”意味着“多余”、“富余”，“不足”即是“欠缺”、“不够”的意思。这类题目尽管繁杂，但是我们聪明的祖先很快便摸索出应对此类题目的解题套路——“盈不足术”。“盈不足术”在西方数学还不发达的年代，被誉为能够孵化“金蛋”的“万能算法”，它不仅可以化繁为简，而且解题的过程也简单、有趣。
依据“盈不足术”，基本的“盈不足”问题都可以表达为：每份分x1，余y1；每份分x2，缺y2.求总数，适足时的每份数和份数。
解答此类问题的只需记住3个公式：
你可以画个图，帮助你自己理解和记忆这几个公式：
x1 x2
y1 y2
再背背下面的口诀：
现在我们来用“盈不足术”解答“几人共车”这道题。首先，我们需要整理一下已知条件，将4个数量全部换成以人数做单位的量：“每车3人”、“每车2人”，“剩余9人”不用改动，将“剩余2辆车”换成“差6个人”。然后排列3、6、2、9这几个数：
32
69
先求车数，车数相当于份数。“求份数：下和除以上差”，（6 9）÷（3-2）=15辆。
知道车数，可直接求乘车的总人数，用每车乘坐的人数2乘以车数15，再加上步行的9人，等于39人。
因此，一共有39个人，15辆车。
“原题”
今有人盗库绢，不知所失几何。但闻草中分绢，人得六匹，盈六匹；人得七匹，不足七匹。问人、绢各几何？（选自《孙子算经》28卷中）
“译文”
有贼盗窃仓库中的丝绢，不知道仓库损失的具体情况。只听说这些贼分赃的情形是这样的：若每人分得6匹绢，则剩余6匹，若每人分得7匹，则缺7匹。问共有多少个贼？多少匹绢？
“解答”
根据“盈不足”问题的解题套路，先将本题的4个已知量排写出来：
6 7
6 7
求贼的数量，相当于求份数，“求份数：下和除以上差”，（7 6）÷（7-6）=13人。
求绢的数量，相当于求总数，“求总数：交叉相乘，积求和，除以上差”，（6×7 6×7）÷（7-6）=84匹。
因此，一共有13个贼，84匹绢。
1.贼人盗绢2
“原题”
假如贼人盗绢，各分一十二匹，总多一十二匹；各分一十四匹，总少六匹。问贼人与绢各几何？（选自《续文摘奇算法》）
“译文”
假如有贼偷绢，每人分12匹，多余12匹；每人分14匹，缺6匹。问贼数和所偷绢数各是多少？
“解答”
根据“盈不足”问题的解题套路，先将本题的4个已知量排写出来：
12 14
126
求贼的数量，相当于求份数，“求份数：下和除以上差”，（12 6）÷（14-12）=9人。
求绢的数量，相当于求总数，“求总数：交叉相乘，积求和，除以上差”，（12×6 14×12）÷（14-12）=120匹。
因此，有9个贼，他们一共偷了120匹绢。
2.分棉花糖
星期天，花花家来了很多客人。花花就把自己的棉花糖拿出来给大家分享。如果每人分5颗还少3颗，如果每人分4颗就还剩3颗。你知道花花家来了多少个客人，自己有多少颗糖吗？
根据“盈不足”问题的解题套路，先将本题的4个已知量排写出来：
5 4
3 3
求客人的数量，相当于求份数，“求份数：下和除以上差”，（3 3）÷（5-4）=6人。
求糖的数量，相当于求总数，“求总数：交叉相乘，积求和，除以上差”，（5×3 4×3）÷（5-4）=27颗。
因此，花花家一共来了6个客人，她有27颗棉花糖。
1.合伙买猪
“原题”
今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足。问人数、豕价格几何？（选自《九章算数》）
“译文”
有几个人合伙买猪，每人出100钱，富余100钱；每人出90钱，钱正好用尽。问人数和猪的价格各是多少？
“解答”
这道题的特别之处在于出现了“适足”的情况，不过它依然可以按照前面几道“盈不足”题目的思路计算。
首先将题干中的4个数量排布如下：
100 90
100 0
在“适足”的情况下，既没有“盈”也没有“缺”，因此，用0表示。
先求人数，人数相当于份数，“求份数：下和除以上差”，（100 0）÷（100-90）=10人。
根据人数，可以直接计算猪的价格，用“适足”情况下每人的出钱数目90乘以人数10，等于900，所以，猪的价格是900钱。
因此，一共有10人买猪，猪的价格是900钱。
2.合伙买金
“原题”
今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百。问人数、金价各几何？（选自《九章算数》）
“译文”
今有几人合伙买金子，每人出400钱，超出实际价格3400钱；每人出300钱，超出实际价格100钱。问人数和金子的价格各是多少？
“解答”
这道题目的特别之处在于它既不是由一“盈”一“不足”、也不是由“盈”（或“不足”）与“适足”情况组合而成的，它由两次“盈”构成。对于“两盈”或者“两不足”问题，解法与前面的题目稍有不同。
首先还是画图排列已知数量，这一步骤与其他情况相同：
400 300
3400 100
求人数，依然相当于求份数，只是不再用“下和除以上差”，而要用“下差除以上差”：（3400-100）÷（400-300）=33人。
求金子的价格，依然相当于求总数，只不过这一次交叉相乘之后求得的两积不再做加法，而要做减法。也就是说，在“两盈”或者“两不足”情况下，“求总数：交叉相乘，大积减去小积，除以上差”：（3400×300-400×100）÷（400-300）=9800钱。
因此，一共有33人合伙买金，金子的价格是9800钱。
这道题目虽然没有要求我们求每人应出的钱数——也就是“适足每份数”，但是我们也应该顺便了解一下它的算法：在“两盈”或者“两不足”情况下，求适足每份数：交叉相乘，大积减去小积，除以下差。
你注意到了吗，在“两盈”或者“两不足”情况下，原来算法口诀中的所有求和运算都变成了求差运算。
“原题”
今有百鹿入城，家取一鹿，不尽；又三家共一鹿，适尽。问城中家几何？（选自《孙子算经》29卷下）
“译文”
现有100只鹿进城，如果每家分1只鹿，分不完；又让每3家分一只剩余的鹿，刚好分完。问城中共有多少户人家？
“解答”
这并不是一道典型的“盈不足”问题。好在题目中的数量关系其实并不复杂，如果用一般除法，也能求出答案：根据已知，每家先分到1只鹿，而后3家又平分一只，因此，每家实际分到1（）只鹿，用鹿的总头数除以每家分得的数目便可以求出一共有多少户人家：100÷1（）=75家。
《孙子算经》把这道题转化成了典型的“盈不足”问题，解法也相当巧妙。
将一般问题转化为“盈不足”的关键步骤是要进行两次假设，通过假设制造“一盈”与“一不足”两种情况，至于假设什么数，是任意的。
在解答这道题目时，《孙子算经》营造了以下两种情况：
把72、4、90、20四个数量排列如下：
72 90
4 20
虽然，72和90并不是这道题的每份数而是份数，但在解答这类特殊问题时我们却需要将它们列于每份数的位置，这样求城中实际有多少人家时需要应用普通“盈不足”问题每份数的求解公式：“求适足每份数：交叉相乘，积求和，除以下和”。（72×20 90×4）÷（20 4）=75家。
因此，城内一共有75户人家。
在古代，“盈不足术”之所以被誉为能够孵化“金蛋”的“万能算法”，就在于它不仅能够解答各类盈亏问题，而且还能通过假设，把特殊应用问题转化为一般形式的盈亏问题，再通用“盈不足术”的固定运算程序得出所求。我们再来练习一道《九章算术》中的题目。
桶中粮食
“原题”
今有米在十斗桶中，不知其数。满中添粟而舂之，得米七斗。问故米几何？（选自《九章算术》）
“译文”
容量为10斗的桶中有若干粝米。添满粟然后捣去皮壳加工，得粝米7斗。问桶中原有多少米？
“单位换算”
1斗=10升
“解答”
用假设法，构建一般的“盈不足”情况：
把20、2、30、2四个数量排列如下（以“升”为单位）：
20 30
2 2
在这道题目中，求原来的粝米量，相当于求“盈不足”问题中的每份数，“求适足每份数：交叉相乘，积求和，除以下和”。（20×2 30×2）÷（2 2）=25升=2斗5升，桶中原有粝米2斗5升。
因此，桶中原有粝米2斗5升。
买数学书
小方和小华到新华书店买《小学数学百问》这本书。一看书的价钱，发现小方带的钱缺1分钱，小华带的钱缺2.35元。两人把钱合起来，还是不够买一本的。那么买一本《小学数学百问》到底要花多少元？
明明买这本书还缺1分钱，小华要是能补上1分钱，就能买这本书了。可是小华、明明的钱合起来，仍然买不了这本书，这说明小华连1分钱也没带。题中说，小华买这本书缺2.35元，因此，2.35元正好是这本书的价钱了。
