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第5章 盈不足

“原题”

今有三人共车,二车空;二人共车,九人步。问人与车各几何?(选自《孙子算经》15卷下)

“译文”

今有若干人乘车,每3人乘一车,最终剩余2辆空车;若每2人同乘一车,最终剩下9人因无车可乘而步行。问有多少人,多少辆车?

“解答”

当我们计数或分配一定数量的事物时,总会遇到这样三种情况:适足、多余、不足。我国古人把这种规律编入算数题,便衍生出我们现在看到一类非常有趣的题目——“盈不足”问题。“盈”意味着“多余”、“富余”,“不足”即是“欠缺”、“不够”的意思。这类题目尽管繁杂,但是我们聪明的祖先很快便摸索出应对此类题目的解题套路——“盈不足术”。“盈不足术”在西方数学还不发达的年代,被誉为能够孵化“金蛋”的“万能算法”,它不仅可以化繁为简,而且解题的过程也简单、有趣。

依据“盈不足术”,基本的“盈不足”问题都可以表达为:每份分x1,余y1;每份分x2,缺y2.求总数,适足时的每份数和份数。

解答此类问题的只需记住3个公式:

你可以画个图,帮助你自己理解和记忆这几个公式:

x1 x2

y1 y2

再背背下面的口诀:

现在我们来用“盈不足术”解答“几人共车”这道题。首先,我们需要整理一下已知条件,将4个数量全部换成以人数做单位的量:“每车3人”、“每车2人”,“剩余9人”不用改动,将“剩余2辆车”换成“差6个人”。然后排列3、6、2、9这几个数:

32

69

先求车数,车数相当于份数。“求份数:下和除以上差”,(6 9)÷(3-2)=15辆。

知道车数,可直接求乘车的总人数,用每车乘坐的人数2乘以车数15,再加上步行的9人,等于39人。

因此,一共有39个人,15辆车。

“原题”

今有人盗库绢,不知所失几何。但闻草中分绢,人得六匹,盈六匹;人得七匹,不足七匹。问人、绢各几何?(选自《孙子算经》28卷中)

“译文”

有贼盗窃仓库中的丝绢,不知道仓库损失的具体情况。只听说这些贼分赃的情形是这样的:若每人分得6匹绢,则剩余6匹,若每人分得7匹,则缺7匹。问共有多少个贼?多少匹绢?

“解答”

根据“盈不足”问题的解题套路,先将本题的4个已知量排写出来:

6 7

6 7

求贼的数量,相当于求份数,“求份数:下和除以上差”,(7 6)÷(7-6)=13人。

求绢的数量,相当于求总数,“求总数:交叉相乘,积求和,除以上差”,(6×7 6×7)÷(7-6)=84匹。

因此,一共有13个贼,84匹绢。

1.贼人盗绢2

“原题”

假如贼人盗绢,各分一十二匹,总多一十二匹;各分一十四匹,总少六匹。问贼人与绢各几何?(选自《续文摘奇算法》)

“译文”

假如有贼偷绢,每人分12匹,多余12匹;每人分14匹,缺6匹。问贼数和所偷绢数各是多少?

“解答”

根据“盈不足”问题的解题套路,先将本题的4个已知量排写出来:

12 14

126

求贼的数量,相当于求份数,“求份数:下和除以上差”,(12 6)÷(14-12)=9人。

求绢的数量,相当于求总数,“求总数:交叉相乘,积求和,除以上差”,(12×6 14×12)÷(14-12)=120匹。

因此,有9个贼,他们一共偷了120匹绢。

2.分棉花糖

星期天,花花家来了很多客人。花花就把自己的棉花糖拿出来给大家分享。如果每人分5颗还少3颗,如果每人分4颗就还剩3颗。你知道花花家来了多少个客人,自己有多少颗糖吗?

根据“盈不足”问题的解题套路,先将本题的4个已知量排写出来:

5 4

3 3

求客人的数量,相当于求份数,“求份数:下和除以上差”,(3 3)÷(5-4)=6人。

求糖的数量,相当于求总数,“求总数:交叉相乘,积求和,除以上差”,(5×3 4×3)÷(5-4)=27颗。

因此,花花家一共来了6个客人,她有27颗棉花糖。

1.合伙买猪

“原题”

今有共买豕,人出一百,盈一百;人出九十,适足。问人数、豕价格几何?(选自《九章算数》)

“译文”

有几个人合伙买猪,每人出100钱,富余100钱;每人出90钱,钱正好用尽。问人数和猪的价格各是多少?

“解答”

这道题的特别之处在于出现了“适足”的情况,不过它依然可以按照前面几道“盈不足”题目的思路计算。

首先将题干中的4个数量排布如下:

100 90

100 0

在“适足”的情况下,既没有“盈”也没有“缺”,因此,用0表示。

先求人数,人数相当于份数,“求份数:下和除以上差”,(100 0)÷(100-90)=10人。

根据人数,可以直接计算猪的价格,用“适足”情况下每人的出钱数目90乘以人数10,等于900,所以,猪的价格是900钱。

因此,一共有10人买猪,猪的价格是900钱。

2.合伙买金

“原题”

今有共买金,人出四百,盈三千四百;人出三百,盈一百。问人数、金价各几何?(选自《九章算数》)

“译文”

今有几人合伙买金子,每人出400钱,超出实际价格3400钱;每人出300钱,超出实际价格100钱。问人数和金子的价格各是多少?

“解答”

这道题目的特别之处在于它既不是由一“盈”一“不足”、也不是由“盈”(或“不足”)与“适足”情况组合而成的,它由两次“盈”构成。对于“两盈”或者“两不足”问题,解法与前面的题目稍有不同。

首先还是画图排列已知数量,这一步骤与其他情况相同:

400 300

3400 100

求人数,依然相当于求份数,只是不再用“下和除以上差”,而要用“下差除以上差”:(3400-100)÷(400-300)=33人。

求金子的价格,依然相当于求总数,只不过这一次交叉相乘之后求得的两积不再做加法,而要做减法。也就是说,在“两盈”或者“两不足”情况下,“求总数:交叉相乘,大积减去小积,除以上差”:(3400×300-400×100)÷(400-300)=9800钱。

因此,一共有33人合伙买金,金子的价格是9800钱。

这道题目虽然没有要求我们求每人应出的钱数——也就是“适足每份数”,但是我们也应该顺便了解一下它的算法:在“两盈”或者“两不足”情况下,求适足每份数:交叉相乘,大积减去小积,除以下差。

你注意到了吗,在“两盈”或者“两不足”情况下,原来算法口诀中的所有求和运算都变成了求差运算。

“原题”

今有百鹿入城,家取一鹿,不尽;又三家共一鹿,适尽。问城中家几何?(选自《孙子算经》29卷下)

“译文”

现有100只鹿进城,如果每家分1只鹿,分不完;又让每3家分一只剩余的鹿,刚好分完。问城中共有多少户人家?

“解答”

这并不是一道典型的“盈不足”问题。好在题目中的数量关系其实并不复杂,如果用一般除法,也能求出答案:根据已知,每家先分到1只鹿,而后3家又平分一只,因此,每家实际分到1()只鹿,用鹿的总头数除以每家分得的数目便可以求出一共有多少户人家:100÷1()=75家。

《孙子算经》把这道题转化成了典型的“盈不足”问题,解法也相当巧妙。

将一般问题转化为“盈不足”的关键步骤是要进行两次假设,通过假设制造“一盈”与“一不足”两种情况,至于假设什么数,是任意的。

在解答这道题目时,《孙子算经》营造了以下两种情况:

把72、4、90、20四个数量排列如下:

72 90

4 20

虽然,72和90并不是这道题的每份数而是份数,但在解答这类特殊问题时我们却需要将它们列于每份数的位置,这样求城中实际有多少人家时需要应用普通“盈不足”问题每份数的求解公式:“求适足每份数:交叉相乘,积求和,除以下和”。(72×20 90×4)÷(20 4)=75家。

因此,城内一共有75户人家。

在古代,“盈不足术”之所以被誉为能够孵化“金蛋”的“万能算法”,就在于它不仅能够解答各类盈亏问题,而且还能通过假设,把特殊应用问题转化为一般形式的盈亏问题,再通用“盈不足术”的固定运算程序得出所求。我们再来练习一道《九章算术》中的题目。

桶中粮食

“原题”

今有米在十斗桶中,不知其数。满中添粟而舂之,得米七斗。问故米几何?(选自《九章算术》)

“译文”

容量为10斗的桶中有若干粝米。添满粟然后捣去皮壳加工,得粝米7斗。问桶中原有多少米?

“单位换算”

1斗=10升

“解答”

用假设法,构建一般的“盈不足”情况:

把20、2、30、2四个数量排列如下(以“升”为单位):

20 30

2 2

在这道题目中,求原来的粝米量,相当于求“盈不足”问题中的每份数,“求适足每份数:交叉相乘,积求和,除以下和”。(20×2 30×2)÷(2 2)=25升=2斗5升,桶中原有粝米2斗5升。

因此,桶中原有粝米2斗5升。

买数学书

小方和小华到新华书店买《小学数学百问》这本书。一看书的价钱,发现小方带的钱缺1分钱,小华带的钱缺2.35元。两人把钱合起来,还是不够买一本的。那么买一本《小学数学百问》到底要花多少元?

明明买这本书还缺1分钱,小华要是能补上1分钱,就能买这本书了。可是小华、明明的钱合起来,仍然买不了这本书,这说明小华连1分钱也没带。题中说,小华买这本书缺2.35元,因此,2.35元正好是这本书的价钱了。

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