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第4章 物不知数

“原题”

今有物,不知其数。三、三数之,剩二;五、五数之,剩三;七、七数之,剩二。问物几何?(选自《孙子算经》26卷下)

“译文”

现有一些物品,不清楚它们的数量。三个三个地数,剩2个;五个五个地数,剩3个;七个七个地数,剩2个。问这些物品的总数。

“解答”

《孙子算经》中的这道题目用简单的数学语言描述是:求一个数,它能够同时满足被3除余2,被5除余3,被7除余2这三个条件。

什么数能够被3除余2,被5除余3,被7除余2呢?古人探索出了解答这类题目的一般方法,它包括5个步骤:

其实前3个步骤中还各自包含着另外一个步骤——“求一”:要想求“被3除余2、且是5和7倍数的数”,只要先求出“被3除余1、且是5和7倍数的数”,然后将这个数乘以2就可以了。而要想计算出“被5除余3、且是3和7倍数的数”,只要先求出“被5除余1、且是3和7倍数的数”,然后再将这个数乘以3就可以了。求“被7除余2、且是3和5倍数的数”也是同理。也就是说,求除一个数“余x”的数,只要先求出“余1”的数,然后乘以x即可。

现在我们套用以上5个步骤来演算一下这道题:

所以,23便是那个能够同时满足被3除余2,被5除余3,被7除余2的最小的数。

《孙子算经》之所以能在中国古代众多数学研究著作中占有重要一席,这道题目起了举足轻重的作用,因为这道著名的“物不知数”题开创了世界数学领域“同余式”研究的先河。

韩信点兵

“原题”

汉代开国大将军韩信有一次带兵打仗,在册兵员人数是26641人。部队集合时他让战士们按照1~3,1~5,1~7三种方式报数,1~3报数时余1人,1~5报数时余3人,1~7报数时余4人。已知当时缺员人数少于100人,求韩信部队的实到人数和缺员人数。

“解答”

“物不知数”题出现后引起了人们极大的兴趣,后来又衍生出“秦王暗点兵”、“韩信点兵”等经典题目,此题便是众多“韩信点兵”题中的一道。它的解答思路与上面的“物不知数”题相同。

解答“物不知数”题的关键是要先“求一”,也就是求“被某数除,余1的数”。对于3、5、7这几个数,古人很早便总结出了它们“求一”的规律:《孙子算经》有言:“凡三、三数之,剩一,则置七十;五,五数之,剩一,则置二十一;七、七数之,剩一,则置十五。”我国古代数学家程大位还把这一规律编成诗记录在他的数学名著《算法统宗》里:

三人同行七十稀,五数梅花廿一枝。

七子团圆正月半,除百零五便得知。

“三人同行七十稀”是指:“被3除余1、且是5和7倍数的数”是70.

“五数梅花廿一枝”是指:“被5除余1、且是3和7倍数的数”是21.

“七子团圆正月半”是指:“被7除余1、且是3和5倍数的数”是15.

我们可以直接应用《孙子算经》和《算法统综》总结的规律,解答这道题目:

因此,实到兵员26548人,缺员93人。

1.物不知数2

“原题”

七数剩一,八数剩二,九数剩三,文本总数几何?(选自《续文摘奇算法》)

“译文”

现有一些物品,不清楚它们的数量。七个七个地数,剩2个;八个八个地数,剩2个;九个九个地数,剩3个。问这些物品的总数。

“解答”

刚才,我们做了两道关于3、5、7的“物不知数”题。现在我们来做几道有关其他数字的题目。其实,不论数字如何变化和组合,解题的思路和方法都是一致的。对于这道题目:

因此,这些物品的总数是498.

2.物不知数3

“原题”

十一数余三,七十二数余二,十三数余一,问本数。(选自《续文摘奇算法》)

“译文”

现有一些物品,不清楚它们的数量。十一个十一个地数,剩3个;七十二个七十二个地数,剩2个;十三个十三个地数,剩1个。问这些物品的总数。

“解答”

因此,这些物品的总数是1730.

3.物不知数4

“原题”

二数余一,五数余二,七数余三,九数余四,问原总数几何。(选自《续文摘奇算法》)

“译文”

现有一些物品,不清楚它们的数量。二个二个地数,剩1个;五个五个地数,剩2个;七个七个地数,剩3个;九个九个地数,剩4个。问这些物品的总数。

“解答”

解答:

这道题目,我们画图来表示我们的思路:

因此,这些物品的总数是157.

4.韩信点兵2

有兵一队,若列成每列5人纵队,末列1人;若列成6人纵队,则末列5人;若列成7人纵队,则末列4人;若列成11人纵队,则末列10人。求至少一共有多少兵?

这道题目实际是求解同时满足“被5除余1,被6除余5,被7除余4,被11除余10”的数。大家可以依据物不知数题的一般解法,参照上题列表计算,具体运算步骤就不在这里演示了。

这道题的最终答案是:2111人。

5.余米推数《数书九章》

“原题”

问有米铺诉被盗米一般三箩,皆适满,不记细数。今左壁箩剩一合,中间箩剩一升四合,右壁箩剩一合。后获贼,系甲、乙、丙三名。甲称当夜摸得马勺,在左箩满舀入布袋;乙称踢着木屐,在中日舀入布袋;丙称摸得漆碗,在右箩舀入布袋。将归食用,日久不知数。索到三器,马勺满容一升九合,木屐容一升七合,漆碗容一升二盒。欲知所失米数,计赃结断,三盗各几何?(选自《数书九章》)

“译文”

这道题目实际讲了一个三盗偷米的故事:有一家米铺报案说他们的3箩筐米被偷了,这3个箩筐容量相同,原来都装了米,但箩筐的容积具体是多少并不清楚,只知道米被偷后左箩筐还剩1合米,中箩筐剩下1升4合米,右箩筐剩下1合米。后来捉到了甲、乙、丙三个贼,甲说他偷米时用马勺从左箩筐中舀了满满几大勺米;乙说他用一支木屐从中箩筐舀了满满几鞋米;丙说他用一个漆碗从右箩筐舀了满满几碗米,但是他们各舀了多少次已经记不清楚了。后来找到了那三种容器,马勺的容量积1升9合,木屐的容积是1升7合,漆碗的容积是1升2合。问米铺损失了多少米?每个盗贼各偷了多少米?

“单位换算”

1升=10合

“解答”

这道题目其实也是一道典型的“物不知数”题,每箩筐的容米量就是我们“不知道的数”,这个数同时符合如下特征(所有的数以合为单位):被19除余1,被17除余14,被12除余1.根据“物不知数”题的解法,大家可以算出这个数是3193,即每箩筐能够盛米3193合。用3193减去每箩筐剩余的米,便可以求出甲、乙、丙三盗各偷了多少米,甲:3193-1=3192合;乙:3193-14=3179合;丁:3193-1=3192合。将三盗每人偷米的数量相加,便求出了米铺的损失:3192 3179 3192=9563合。

因此,米铺一共损失了9563合米。甲盗米3192合,乙盗米3179合,丙盗米3192合。

1.迷信的渔夫

渔夫从海上打了大约400条鱼,回家后他发现无论如何分装这些鱼都缺1条:他把鱼每2条装一个袋子,结果缺1条;每3条装一个袋子,还是缺1条;每4条、5条、6条、7条装,都统统缺一条。渔夫感到非常苦恼,他苦恼不仅仅是因为鱼无论怎么分都分不好,更糟糕的是他觉得总是少一条鱼非常不吉利。于是,他决定这个丰产的季节不再出海。渔夫的妻子见丈夫如此迷信,便偷偷到市场上买了1条鱼放到丈夫打的鱼堆中,然后要求丈夫再分一遍。这次,无论渔夫按照每个袋子放2条、3条……还是7条,都能恰好把鱼分完,他第二天一早便高高兴兴地出海了。你知道渔夫原本打了多少鱼吗?

2.数橘树

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3.22岁的生日

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4.奇怪的三位数

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