老师在黑板上出了几个算术题？
1312212能不能被2整除？
2215412能不能被3或9整除？
35712能不能被5整除？
4412632能不能被11整除？
你不用笔算，能把结果正确地说出来吗？
也许你认为被除数的位数多了，心算就不可能。
其实要算出一个数能不能被某些数整除，不在乎被除数的位数，也不需要有心算的训练，主要的关键在于我们是不是已经掌握了整除的规律。
1因为偶数能被2整除，所以，个位数是0或偶数的都能被2整除。
312212是偶数，所以能被2整除。
2由于10、102、103……除以3或9的余数都是1，因此，10c，102b，103a……除以3或9的余数分别是c，b，a……。比如说，一个四位数，它可以写成103a＋102b＋10c＋d。它能不能被3或9整除，就看各个位数相加的和（a＋b＋c＋d）能不能被3或9整除。
215412各位数字的和是2＋1＋5＋4＋1＋2＝15，再把15的两位数字相加为1＋5=6.6能被3整除，而不能被9整除，因此，215412这个数能被3整除，但不能被9整除。
如果一个数目的各位数字的和能被9整除，这个数目就能被9整除。能被9整除的数，一定能被3整除。但是，反过来说并不一定成立，以上举的215412就是一个例子。
310、102、103……都能够被5整除，一个数能不能被5整除，在于这个数的个位数。因此，个位数是0或5的数，就能被5整除。
410、102、103……除以11的余数，分别是－1、1、－1、1、－1……因而一个数的个位、百位、万位……数的和，如果与十位、千位、十万位……数的和相同，或它们的差能被11整除，就可以断定这个数能被11整除。
由于412632这个数的个位、百位、万位数字的和是2＋6＋1＝9，而十位、千位、十万位数字的和是3＋2＋4＝9.这两个和是相同的，因此，412632这个数能被11整除。
至于其他一些除数能不能整除被除数，并不象2、3、9、5、11那样容易看出来。
我们看看除数是4或7的情况怎么样？
除数是4的时候，由于102、103……都能被4整除，因此，一个被除数能不能被4整除，要看这个被除数的个位数与十位数，能不能被4整除。
例如7324能被4整除，而7322只能被2整除，而不能被4整除。
除数是7的时候，由于10、102、103……除以7的余数分别是3、2、－1、－3、－2、1、3、2、－1……因此，一个被除数，比如说一个五位数104a＋103b＋102c＋10d＋e能不能被7整除，要看（e－b）＋3（d－a）＋2c能否被7整除。
35532这个数能不能被7整除呢？因为（2－5)十3×（3－3）＋2×5＝－3＋10＝7，所以，这个数能被7整除。
如果除数分解成几个互素的因数，比如12＝3×4，14＝2×7，15＝3×5，18＝2×9，21＝3×7，那么，它们能不能整除一个被除数呢？就要看这个被除数能不能被这些因数同时整除。
35532是偶数，它又能被7整除，因此，它能被2×7＝14整除。
73512是偶数，又能被9整除，所以，73512这个数能被2×9＝18整除，其余可以类推。
任何一件事，只要分析了它的原因，总结出规律来，就能很好地解答它。
