本书中所提出的阿罗不可能定理实际上正是对“投票悖论”现象的一般化证明。其理论前提同样建立在新福利经济学假定上。（1）序数效用与人际间效用的不可比性。在第二章，作者写道：“这里，我们所持的观点是：人际间的效用比较是无意义的；而且，实际上，度量个人的效用对于人际间的福利比较而言，也是无意义的。……在全部争论中，支持效用可度量的一方提不出任何能够被他们的假说所解释，却不能被无差异去线所解释的命题。实际上，效用概念的唯一意义在于：它是真实行为的表征，故而，任何行为的过程如果能够被一个给定的效用函数所解释，那么，对此效用函数做严格递增变换所得任何其他的效用函数也能解释同样的行为。在这层意义上，假使我们连可度量的效用都找不到，那就更谈不上做人际间的效用比较了。”“假若我们由于某种原因必须引入个体偏好的可度量性，对于如何加总这些偏好，仍然存在着问题。……或者我们先不谈数学，仅仅从常识出发，把一个人的效用——一种内心体验的尺度——和另一个人的效用相加也是毫无意义的。”（2）福利主义。福利主义指社会福利的高低仅仅取决于社会成员的效用水平。如果在一种经济状态x下，社会成员的效用水平比较高，那么其相应的社会福利就高；或者，如果社会成员在状态x下的效用高于在状态y下的效用，那么状态x的社会福利就高于状态y。因此，根据福利主义，可以判断不同经济状态下社会福利的高低，对不同的经济状态排序。阿罗在书中虽然没有明确地提出福利主义这一前提，但是新福利经济学试图从个人排序获得社会排序，或构造社会福利函数的尝试就是基于这种福利主义的基本认识。
构造社会排序的依据是帕累托准则。由于帕累托标准存在着不完全性的缺陷，卡尔多、希克斯、西多夫斯基等试图进行完善。阿罗对各种补偿原则进行了考察和形式化工作，证明这些补偿原则仍不能完美无缺地从个人排序构造出社会排序。作为证明的出发点，阿罗提出了个人和社会偏好所应满足的两个基本性质。公理1：对于所有x和y，或者xRy，或者yRx。这里xRy表示“x偏好于y或x和y无差异”。那么，公理1是说，对任何备选状态x和y，或者x优于y，或者y优于x，或者x、y无差异，这三者必居其一。这一性质可以称为完全性或完备性。公理2：对于任意的x，y，z，xRy且yRz，则有xRz。公理2是说，如果x优于或无差异于y，y优于或无差异于z，则x优于或无差异于z。这一性质可以称为传递性。这两条公理是理性排序所必须具备的基本条件。通过R关系可以定义出严格偏好（P）和无差异（I）关系，并进而得到通常所希望偏好模式所具有的性质。
作者还举出了社会福利函数——如果它是存在的——所应满足的五个合理化条件。
条件1：在所有备选项之中，存在一个包含三个备选项的集合S，满足如下条件：对于任何S上的个人排序T1，…，Tn，均存在一个对所有备选项的个人排序的容许集R1，…，Rn，使得对于任何个体i而言，xRiy当且仅当xTiy（x和y是S中的元素）。阿罗定义了容许集的概念：“令社会福利函数所定义的社会排序（它是满足公理1和公理2的关系）称为容许集。”作者对条件1解释道：“对于包含三个备选项的集合S而言，任何逻辑可能的个人排序集合，均可以从个人对所有备选项的某个容许集中得到。”条件1实质是要求个人的排序集合不是单一的，在至少有三个备选项的情形下，任何符合逻辑的个人排序都是允许的，都可能成为社会排序。如果所有人的排序都一样，那这种排序自然就是社会排序，也就不需要社会福利函数来寻求社会排序了。
条件2：令R1，…，Rn和R1’，…，Rn’表示两个个人排序的集合，R和R’是相应的社会排序，P和P’是相应的社会偏好关系。假设对于所有个体i，社会排序以如下方式相联系：对于任何与给定备选项x不同的x’和y’，x’Ri’y’当且仅当x’Riy’；对于任意y’，xRiy’可以推出xRi’y’；对于任意y’，xPiy’可以推出xPi’y’。那么，若xPy，则xP’y。条件2说明的是社会价值和个人价值的正相关关系。“我们必须设准，社会福利函数是这样一种社会排序，它能够对个人价值的变化做正向反应，至少不能做逆向反应。故而，如果一个备选社会状态在所有个人排序中位次升高或至少保持不变，那么我们会希望，在社会排序中，该备选对象在社会排序中的位次会上升，或至少不下降。”
条件3：令R1，…，Rn和R1’，…，Rn’表示两个个人排序的集合，然后令C（S）和C’（S）是相应的社会选择函数。如果对于所有的个人i，以及所有给定的社会环境S中的备选项x和y，xRiy当且仅当xRi’y，那么C（S）和C’（S）是相同的。条件3说明的是无关备选对象的独立性。作者写道：“在给定环境下，社会所做的选择仅仅与该环境下的备选项的个人排序有关。换言之，考虑两个个人排序集合，对于任何个人，他在某个给定环境中对特定备选项的排序每次都是相同的，那么我们要求社会从这一环境中所做的选择也是相同的，不管它是依据第一个个人排序集合还是依据第二个个人排序集合。”作者举了一个例子来说明。假设在一次选举中，每个选民对若干候选人进行排序，列在一张表单上，通过一套事先约定的程式从其中候选人中选出赢家。如果在此过程中一位候选人突然去世，则应该从所有表单中划去此候选人的名字。在这种情况下，剩余候选人的社会排序的顺序不应发生变化。“亦即，个人在活着的候选人集合S中所做的选择与他们对不在S中的候选人的偏好无关。如果不做这样的假设，那么选举结果就会受偶发事件的影响……”
条件4：社会福利函数不能是被强加的。强加的定义是：如果对于两个不同的备选项x和y，对于任何个人排序集合R1，…，Rn，均有xRy（R是对应于R1，…，Rn的社会排序），那么该社会福利函数称为被强加的。“如果社会福利函数是强加的，那么便存在着某一对备选项x和y，无论社会成员的口味如何变化——即使所有人认为y优于x——社会也永远不会把y放在x之上……”在人们通常的认识中，个人应该能够根据自己的意愿做自由的选择。而条件4要求所有的社会选择都建立在个人意愿的基础上，社会排序必须根据个人排序得出。
条件5：社会福利函数不能是独裁的。独裁的定义是：如果存在个人i，对于所有的x和y，不管i之外的所有个人排序R1，…，Rn形式如何，只要xPiy，则xPy（P是与R1，…，Rn相对应的社会偏好关系），此时，社会福利函数是独裁的。“独裁意味着社会选择完全取决于一个人的偏好。亦即，只要独裁者喜欢x胜于y，那么整个社会也会认为x优于y。”民主的社会应该充分体现个人的诉求，社会选择应该建立在全体个人选择的基础上。所以非独裁性也是合理的社会福利函数的必要条件。
接下来是对社会福利函数的一般可能性定理证明，尽管具体证明过程涉及较为烦琐的数学推导，但是其核心思路是很容易理解的。假设存在这样的社会福利函数，从这样的社会福利函数却推出矛盾的结论，于是论证了社会福利函数的不可能性。首先考察两个备选对象的情况，并且得出，在多数决策方法下，可以得出满足条件1~5的社会福利函数。这一结论可以扩展到任何备选对象的情况，它们都能满足条件2~5。但是当备选项超过两个时，条件1不能得到满足。接下来阿罗将设定推广到三个备选对象的情形。这时，阿罗利用“决定性集”的概念，从公理1、2和五个条件推出了五条结论，但是由这五条结论却进一步推出相互矛盾的结果，所以反面论证了原假设条件之间的矛盾。“换言之，如果我们假设我们的社会福利函数满足条件2和条件3，并进而满足条件1（亦即，个人至少在三个备选项上可以任意排序，此时仍能得到社会排序），那么条件4或条件5必定不满足。”这就是阿罗的一般可能性定理（或者称不可能定理）。一般可能性定理：如果社会成员可以在至少三个备选项上自由排序，那么满足条件2和3，并能得到满足公理1和公理2的社会排序的任何社会福利函数，必定要么是强加的，要么是独裁的。
一般可能性定理说明从预定的公理和条件无法得出社会福利函数，那么对条件施加一些限制是否可以呢？用类似的方法，阿罗证明，对个人偏好做“个人主义”（一是每个人对两个备选社会状态的比较仅仅取决于他在这两个状态下得到的商品；二是如果一个人在第一种状态中得到的每一种商品量至少和第二种状态一样多，且在至少一种商品上得到的更多，那么他将偏好第一种状态）的限定，仍然得出相同的不可能结果。不过，布莱克（Black）对个人偏好做了一种更为严格的“单峰”假定（把各个选择方案整理为一条线，使每人的偏好强度只具有一个峰值，即由左向右移动时偏好单调下降或上升，或者先升到一个峰值然后下降），这一假定实际上是对条件1进行了修正。这时，阿罗证明，可以由多数决策方法得到满足预定条件的社会福利函数。
四、简要评述
《社会选择与个人价值》是一部运用数学方法研究福利经济问题的名著。作者用数理逻辑方法对投票问题进行了一般性研究，并得出了著名的阿罗不可能定理。这一结论在西方理论界引起轰动，也宣告了新福利经济学的终结，对社会科学诸多领域都产生了深远的影响。
此后，从对不可能性的根源探讨开始，有一部分经济学家放弃序数主义，将效用不可比性扩展为完全可比性，以福利主义、序数可度量性、完全可比性为前提构造出了社会福利函数。另一部分经济学家主张放弃福利主义，其中以阿玛蒂亚·森的研究为代表，证明如果效用水平是人际间可比较的，那么阿罗不可能定理将不再成立。但是，森的研究强调个人权利问题，又得出所谓“帕累托标准和自由主义的不可能性定理”或者“个人主权不可能定理”，揭示出合理界定与分配个人权利是设计社会选择机制需要解决的首要问题，从而推动了福利经济学的新发展。
扩展性阅读文献
[1]罗云峰，肖人彬.社会选择的理论与进展[M].北京：科学出版社，2003.
[2]姚明霞.阿罗定理之后的福利经济学的发展趋势[J].经济学动态，2004，12.
[3]许光.从福利主义到非福利主义的转折——阿罗不可能性定理带来的困惑与拓展[J].生产力研究，2007：23.
[4]周海欧.揭开社会选择的神秘面纱——从阿罗不可能定理到现代福祉经济学[J].北京大学学报（哲学社会科学版），2005（5）.
[5]宋宇，袁宁.福利经济学的若干新观点及其启示/ /区域经济与西部大开发研究[M].北京：世界图书出版公司，2003.
（作者：西北大学经济管理学院郑小庆）
曼瑟尔·奥尔森
集体行动的逻辑
The Logic of Collective Action①
①[美]曼瑟尔·奥尔森著陈郁等译上海三联书店1995年版
一、作者简介
曼瑟尔·奥尔森（Mancur Lloyd Olson，Jr，1932—1998）是美国著名经济学家，马里兰大学教授，曾就读于牛津大学、北达科他州州立大学等，因从事政治学、社会学、经济学跨学科研究，为公共选择经济学领域做出重大而深远的影响。在制度经济学方面有突出的贡献，主要从经济理论角度，研究公共物品、集体决策、组织的行为方式等。
主要有三部代表作《集体行动的逻辑》（1965）、《国家兴衰探源》（The Rise and Decline of Nations，1982）、《权利与繁荣》（Power and Prosperity，2000）。《集体行动的逻辑》一书，包括了“看不见的手失灵”、“搭便车”、“集体行动出现的条件”、“理他主义者凤毛麟角”等重要结论。作者在后来的研究中，用这一理论研究国家的繁荣、社会经济增长、不同类型政府对社会的经济效应等问题。
二、本书精要
《集体行动的逻辑》是公共选择理论中的经典著作之一，主要研究具有相同利益的集团或组织的决策逻辑，研究这种集体行动的特点和行动的效率及发生条件。作者明确地指出了一种错误的普遍观点：由具有相同利益的个人所形成的集团，均有进一步追求扩大这种集团利益的倾向。书中认为社会中不同的利益集团之间可以相互影响，同一集团内部的不同个体在考虑自身的成本和收益，就会有不同的结果出现。无论相容性的集体利益还是排他性的集体利益，都无法避免集体和个体之间的利益矛盾，针对这种矛盾，奥尔森提出了“有选择性的激励”机制，并指出这种激励机制的应用范围与集团的规模有关。最后得出结论：小集团比大集团更容易组织起集体行动；具有选择性的激励机制比没有这种机制的集团更容易组织起集体行动。
