对于实数范围内的数，“＞”关系是满这四条性质的。但对于复数范围内，数之间是否能规定一种“＞”关系来满足上述四条性质呢？答案是不能的，也就是说复数不能比较大小。
为了证明这个结论，我们需要交待复数运算的部分内容，证明中要用到它：
(1)-1·-1=-1-1·0=0
——1·0=0
(——1)·(——1)=-1
-1+(——1)=0
0+(——1)=——1
(2)复数中的实数仍按实数的运算法则进行运算。
现在用反证法证明复数不能比较大小。假设我们找到了一种“＞”关系(注意：“＞”关系不一定是实数中规定的含义)来满足上述四条性质。当然对于-1应具有性质(1)：
-1＞0或0＜-1
先证明-1＞0不可能。
-1＞0的两边同乘-1，由性质(4)得：
-1·-1＞-1·0
-1＞0
(注意：由于“＞”不一定是实数各规定的含义，故未导出矛盾。)
-1＞0的两边同加1，由性质(3)得：
-1+1＞0+1
0＞1
-1＞0的两边同乘-1，由性质(4)得：
(-1)·(-1)＞(-1)·0
1＞0
于是得到0＞1，而且1＞0，也就是0与1无法满足性质(1)，这与假设形成矛盾，所以-1＞0是不可能的。
其次证明0＞-1不可能。
0＞-1的两边同加——1，由性质(3)得：
0+(——1)＞-1+(——1)
——1＞0
——1＞0的两边同乘——1，由性质(4)得：
(——1)·(——1)＞(——1＞)·0
-1＞0
以下可依第一种情况证明，导出矛盾，所以0＞-1不可能。
以上证明从复数中取出两个数-1与0是无法比较大小的，从而证明了复数没有大小关系。
复数无大小，听来新鲜，确是事实！
80.函数是如何发现的
函数概念最初产生于17世纪，这首先应归功于解析几何的创始人法国数学家笛卡儿，但是，最早使用“函数”一词的却是德国数学家莱布尼茨。尽管人们早已在不自觉地使用着函数，但究竟什么是函数，在很长一个时期里并没有形成一个很清晰的概念。大数学家欧拉曾认为“一个变量的函数是一解析表示，由这个变量及一些数或常量用任何规定方式结合而成”。与此同时，欧拉把“用笔画出的线”也叫做函数。到了19世纪，函数概念进一步发展，逐渐发展为现代的函数概念，俄国数学家罗巴切夫斯基最早较为完整地叙述了函数的定义，这时已经非常接近于当今在中学数学课本中所看到的定义了。现代意义上的函数是数学的基础概念之一。在物质世界里常常是一些量依赖于另一些量，即一些量的值随另一些量的值确定而确定。函数就是这种依赖关系的一种数学概括。一般地，非空集合A到B的对应集为函数(或映射)，如果f满足：对任意A中元素a，在B中都有一个元素［记为f(a)］与a对应。
函数在人们的日常生活中是很常见的，比如经常会看到类似这样的统计数字：某护士每小时量一次病人的体温，可以将6小时所得的结果制成下表：小时123456温度37.1℃38℃37℃39℃38℃37.2℃这就是一种函数关系。函数关系不一定很有规律，当然也不一定非得用规则的表达式表示出来，实际上，更多的函数是不能用表达式表示出来的。在中学阶段，同学们主要学习的函数都是非常简单和有规律的，比如初中学习的正比例函数(y=kx，k≠0)、反比例函数(y=kx.k≠0)、一次函数(y=kx+b，k≠0)和二次函数(y=ax2+bx+c，a≠0)。函数可以用图像直观地表示出来，我们经常看到用“直方图”表示的函数。
在学习过程中，同学们更多地使用“描点法”来描绘函数的图像，即将满足函数方程的点逐一在直角坐标系中描绘出来，从而得到函数的图像。数与形的结合是研究函数的有效的手段。
81.代数式与多项式是如何发现的
用字母来代替数是数学从算术发展到代数的重要标志。比如，用R表示一个圆的半径，那么πR2就表示这个圆的面积；如果分别用a、b表示直角三角形的两个直角边，则该三角形的面积就是12ab。一般地，我们把用加、减、乘、除、乘方、开方等数学符号联结在一起的表示数的字母组成的式子称为代数式。一个数或一个字母也叫做代数式，比如πR2，12ab，x，a等。代数式中的字母一般可以任意取值，用给定数值代替代数式里的字母所得到的结果，叫做代数式的值。比如a=1，b=2时，12ab=1。
代数式可以分成很多种，没有加减符号联结的代数式叫单项式，比如x，3y等；有加减号联结的代数式称为多项式，比如2x+1，3x2-x+1等。一般地，形如anx2+an-1xn-1+……+a1x+a0的代数式称为关于x的一元n次多项式(n为非负整数，an≠0)。aixi，为多项式的i次项，ai称为i次项的系数。在小学阶段，学生们钻研最多的是一元二次多项式，比如2x2+3x+1等。代入一元n次多项式后所得代数式的值为0的x的值，称为多项式的根。关于多项式根的研究在数学史上曾经持续了好几百年，法国数学家伽罗瓦(1811年～1832年)在这方面做出了杰出贡献，开创了现代代数学。关于多项式根的研究目前仍然是数学家们关注的热点。
82.韦达定理是如何发现的
数学在许多人眼里是很抽象，复杂的，但在这些复杂现象的背后却往往有着非常和谐、自然的规律，如果能更加理解和掌握这些规律，就会对数学有更深刻的认识。很多迷恋数学的人就是被数学的这一特点所吸引。韦达定理就很好地反映了数学这一特点。
韦达定理是以16世纪法国数学家韦达的名字命名的。韦达定理通过揭示多项式根与系数的关系反映了多项式根的问题的基本特征，是多项式理论中的关键定理之一。在中学阶段学生们比较熟悉的是关于二次多项式的韦达定理，即对于ax2+bx+c(a≠0)来说，若它的两个根是x1和x2，则x1+x2=-ba，x1x2=ca。利用这种关系可以不求根而直接用系数表达出关于x1、x2的某些对称式的值，比如：
1x1+1x2=x1+x2x1x2=-baca=-bc等。
韦达在三角学、代数学上也颇多建树，特别在代数符号体系的建立上有突出贡献。
83.三角函数表的来历
早期的三角学是伴随着天文学而产生的。大家熟知，把周角分成360等份，每一份就叫做1度的角。这种做法起源于古代巴比伦人。他们为了建立历法，把圆周分成360等份，就相当于把周角分成360等份。为什么要把圆周分成360等份？有几种解释。有人认为巴比伦人最初以360天为一年，将圆周分为360等份，太阳就每天行一“等份”。另一种意见认为巴比伦人很早就知道每年有365天，所以上面的说法是不可信的。较多的数学史家认为，比较起来，下面的说法似乎更有道理。在古巴比伦时代，曾有一种很大的距离单位——巴比伦里，差不多等于现在的英里的7倍，由于巴比伦里被用来测量较长的距离，很自然，它也成为一种时间单位，即走一巴比伦里所需的时间。后来，在公元前1000年内，当巴比伦天文学达到了保存天象系统记录的阶段时，巴比伦“时间里”，就是用来测量时间长短的。因为发现一整天等于12个“时间里”，并且一整天等于天空转一周；所以，一个完整的圆周被分成12等份。但是为了方便起见，把巴比伦“时间-里”分成30等份，于是，便把一个完全的圆周分为12×3=360等份。
后来，每一等份变成了“度”。“度”是来自拉丁文，原来是“步”、“级”的意思。
三角学的最早奠基者是古希腊天文学家依巴谷。为了天文观测的需要，他作了一个和现今三角函数表相仿的“弦表”，就是在固定的圆内，不同圆心角所对弦长的表。相当于现在圆心角一半的正弦线的两倍，可惜这表没有保存下来。
托勒玫是古代天文学的集大成者。他继承、发展了前贤特别是依巴谷的成就，汇编了《天文集》。按照托勒玫的说法和用法，依巴谷采用了巴比伦的60进位制：把圆周分为360°，从而圆弧所对的圆心角就有了度量；把半径分成60等份，这样就可用半径的多少等份来表示圆心角所对的弦长，即用半径的160作为度量弦长的单位。例如60°角所对的弦长就是圆内接正六边形的一边之长，应该是60个单位，相当于现在30°角的正弦是12；90°角所对的弦长是圆内接正方形一边之长，应该是602个单位。
为了提高计算弦长的精确程度，托勒玫把半径分为60等份后，又把每一份分为60小份，每一小份再按60进位制分为更小的份，以此类推。把这些小份依次叫做“第一小份”、“第二小份”。后来“第一小份”变成了”分”(minute)，“第二小份”变成了“秒”(second)，这就是“分、秒”名称的来源。现在英文里minute这个字仍然有“分”和“微小”两种意义，Second这个字有“秒”和“第二”两种意义。
用“°”“′”“″”表示度、分、秒，是1570年卡拉木开始的。这已在托勒玫之后1400年了。
托勒玫是在托勒玫定理的基础上，按下面方法造出弦表的。
如图，先取以AD为直径的特殊的内接四边ABCD。设AD、AB、AC已知，则CD、BD利用勾股定理很易求出。这样，图中6个长度已知5个，故利用托勒玫定理可求出第六个长度BC，但BC=AC-AB，所以若两弧的弦是已知时，便可算出两弧之差的弦。托勒玫还指出怎样从圆的任意一给定的弦，求出相应半弧所对的弦；怎样从AB的弦和BC的弦，求出AC的弦，实质上托勒玫已经得到与下列公式
sin2x+cos2x=1，
sin(x-y)=sinxcosy-cosxsiny，
cos(x+y)=cosxcosy=sinxsiny，
sin2x2=12(1-cosx)
等价的关系。
托勒玫利用圆内接正五边形和正十边形的边长推导对36°弧和72°弧的弦长；从72°弧的弦和60°弧的弦，利用差角公式算出对12°弧的弦长；从12°弧的弦平分数次得出对(34)°弧的弦。因此，他能给任一已知弦所对的弧加上(或减去)(34)°弧，计算这样两段弧之和(或差)所对的弦值。这样他能算出两个相差(34)°的所有弧所对的弦值。后来，他利用不等式来推理，得出了从0°到90°每隔半度的弦表。这就是第一个三角函数表。
公元5世纪印度数学家阿利耶毗陀对三角学贡献很大，制作了一个正弦表。他依照巴比伦人和希腊人的习惯，将圆周分为360度，每度为60份，整个圆周分为21600份，再由2πy=21600，可得半径λ=3437.746(他知道圆周率π的近似值3.1416，人们推测这是从中国流传到印度的)。略去小数部分，取近似值λ=3438，依此计算第一象限内每隔3°45′的正弦长。他的方法是用勾股定理算出特殊角30°，45°，60°，90°的正弦，如sin30°=1719个单位，sin45°=2431个单位(这里把λ作为3438个单位)，然后再用半角公式计算较小角度的正弦。
印度人的正弦表比希腊人的弦表有所改进，他们是计算半弦(相当于现在的正弦线)而不是全弦的长。
本来，在印度文中，半弦是猎人的弓弦的意思。后来印度的书大量译成阿拉伯文，辗转传抄，意思搞错了。12世纪时，意大利人柏拉图又将这个字译成拉丁文“sinus”，它和当初印度人弓弦的意义已相差很大。
1631年邓玉函和汤若望等人编的《大测》一书，将sinus译为“正半弦”和“前半弦”，简称为“正弦”，这是我国“正弦”这一术语的由来。
中亚细亚的着名天文家阿尔·巴坦尼在三角方面也有很大贡献，他曾着《星的科学》一书，书中有很多三角内容。
阿尔·巴坦尼树立一根杆子在地上，求日影b，以测定太阳的仰角。阴影b的拉丁译名叫做“直阴影”，而水平插在墙上的杆子投影在墙上的影叫“反阴影”。“直阴影”后来变成“余切”，“反阴影”变成正切。公元920年左右，阿尔·巴坦尼造出自0°到90°每相隔1°的余切表。
稍后，中亚细亚的另一位着名天文学家、三角学者阿布尔·威发计算了每隔10′的正切表。14世纪末叶，贴木儿帝国的兀鲁伯(贴木尔的孙子)在撒马尔罕建立一座当时世界上规模最大的天文台。他聚集了100多名学者，组织无与伦比的天文观测和数学用表的计算。他造了0到45°之间每隔1′、45°到90°之间每隔5′的正切表。
14世纪时，欧洲早期的三角学者、英国人布拉瓦丁开始将正切和余切引入三角计算中。
16世纪时，伟大的天文学家哥白尼的学生利提克斯见到当时天文观测日益精密，迫切需要推算详细的三角函数表，并花费了大量时间来推算正弦、正切及正割表。可惜，他未能在生前完成，直到1596年才由他的弟子完成，公布于世。
现代三角函数表是后来经过多次改进、演变而成的。
