1.数学的起源
数学是研究客观世界数量关系及空间形式的科学。
数学起源于人类文明的创始阶段。
大约在300万年前，人类还处于茹毛饮血的原始时代，以采集野果、围猎野兽为生。这种活动是集体进行的，所得“产品”也平均分配。这样，古人渐渐产生了数量的概念。他们可以用一块石子代表一只野兽，或用绳子打一个结代表一头捕获的猎物，或打一个大结代表一头大兽，打一个小结代表一头小兽，如此等等。数量的观念就是在此过程中，逐渐发展起来的。
在距今大约五六千年以前，在非洲尼罗河流域出现了一个伟大的文明国家——埃及。埃及人是世界上较早从事农业生产活动的。由于尼罗河定期泛滥，淹没大片农田，埃及人通过古埃及数字长期的观察，发现每年7月尼罗河定期泛滥，11月份洪水逐渐退落，而且这种现象大约365天重复一次。这样，埃及人就选择洪水退落后，在淤泥上播种，在6月洪水来临前收割，以此获得好的收成，这是通过天文观测和水文观测来实现的。另外，古埃及的农业制度，是把同样大小的正方形土地分配给每一个人，承租人每年将收成的一部分交给土地所有者——国王。如果洪水冲垮了他们分得的土地，国王便从出土的甲骨上来看，中国古代早就发明了记数符号派人前去丈量受灾的土地面积，适当减少交租的数量。这种土地丈量的方法，为几何学的诞生奠定了基础。
数学正是从打结记数、天文和水文观测、土地测量的实际需要逐渐发展起来的。
继埃及而崛起，世界上还有巴比伦、印度、中国等几个伟大的文明古国雄踞于亚洲，它们分别都产生了各自的记数法和最初的数学知识。在距今两千多年以前，古希腊人也积累起较为丰富的数学知识，并将数学发展成为一门系统的理论科学。“数学”的希腊文原意就是“科学或知识”的意思。他们特别注意“论证”在数学中的应用，因此欧几里得的几何学几乎成了希腊数学的代表。古希腊文明被毁灭后，阿拉伯人又继承了他们的文化，后又传回欧洲，使数学重新繁荣，并最终导致了近代数学的创立。
2.数的来历
原始社会，人类在狩猎、种植、捕鱼、采集等活动中，要与野果、鱼、木棒、石头等打交道，久而久之，人们便有了多少、数量的意识。这种对数的认识往往与实物联系在一起，如用“月亮”代表“1”，用“眼睛”、“耳朵”、“鸟的翅膀”代表“2”。这是由于只有一个月亮，人有两只眼睛两只耳朵、鸟有两只翅膀的缘故。原始人还认识到一个苹果和一头羊各是一个个体，三棵树和三把石斧都是三个个体的一堆等，这就是最初的数的概念。
最早用来计数的是手指、脚趾，或小石子、小木棍等。表示1，2，3，4个物体，就分别伸出1，2，3，4个手指，遇到5个物体便伸出一只手，10个物体伸出两只手。当数目很多时，就用小石子来计数，10颗小石一堆就用大一些的一颗石子来代表。中国古代用的是木、竹或骨子制成的小棍，称为算筹。但是，大多数的原始人遇到大一些的数目，往往无法区分。
用手指、脚趾、石子、小木棍等来计数，难以长时间记录一个数字。因此，古人发明了打绳结来记数的方法，或者在兽皮、树木、石头上刻划记数。这些记号，慢慢就变成了最早的数字符号(数码)。
现在通用的数码是印度-阿拉伯数码，用十进位制来表示数。用0，1，2，…9十个数码可表示任数，低一位的数满10后就进到高一位上去。这种十进制，现在看来简单而平常，可它却是人类经过长期努力才演变成的。如在古埃及，数码记号是这样的：
古埃及3，4，5的写法一个数中若某位数超过1时，就要将它的符号重复写若干次。如345就要写成如下图，写更大的数则是一大串符号了，这样运算当然十分困难。古希腊人也需要27个字母互相组合，才能表示100以内的数目，非常不便。
算筹最初是用树枝做成的，后来用竹棍做，也有用象牙制成的除了十进制以外，还有五进制、二进制、三进制、七进制、八进制、十二进制、十六进制、二十进制、六十进制等。经过长期实际生活的应用，十进制终于占了上风。
数的概念和数码、进位制的出现和发展，都是人类长期实践活动的结果。
3.我国数的概念起源
数的概念是人们长期在数目观念的基础上所产生的认识上的飞跃，因此数的概念的起源是相当早的。
(1)最早的数目观念
数的概念在我国的起源，可以追溯到原始社会。当时人们对数目的认识，最初是从“一”和“多”开始的，后来才逐渐有“二”、“三”等数目观念。
在出土的原始社会文物中，我们可以看到一些与数目有关的内容，例如河姆渡的骨耜有两个孔，半坡的尖底提水器有两个耳。在其他陶器上有两耳或三足，在河姆渡的陶钵底上刻着四叶，这是形成“二”、“三”、“四”等数目的观念的依据。半坡的陶器上有整齐排列的点点，由一个到八个或到九个，可以说是“八”和“九”的反映。还有一些陶器上有近似等份圆周形的刻纹，很规则，有的正好为八十等份，如河北磁县下潘汪村出土的四五千年前的陶器上就有这种例子。至于是否有意识地进行等份和有较大的数目观念，不好确定。
(2)原始记数法
《易·系辞传》上说：“上古结绳而治，后世圣人易之以书契”，说明结绳记数和刻划记数是当时带有普遍性的记数方法。至于中国的结绳起源于何时，很难回答，有些古籍上说轩辕(黄帝)、伏羲、神农等很长一段历史传说时代都是“结绳而用之”，或说伏羲“结绳而治”。如果说结绳是我国新石器时代广泛使用的记数方法的话，恐怕是不会错的。三国时吴人虞翮在所着《易家九义》中引汉郑玄的话说：“事大，大结其绳；事小，小结其绳，结之多少，随物众寡。”这里把结绳的用法说得很清楚。现已找不到早期结绳的实物资料。
刻划记数在我国也起源于原始社会。根据现有考古发掘资料，最早可以追溯到一万多年前的“山顶洞人”。在“山顶洞人”的遗址中出土了四个带有磨刻符号的骨管，可能是一种刻划记数的实物。
这四个骨管上的符号为横向磨制，形状多数是圆点形，有两个长圆形。其中有一个围着骨管形成半圆，展开成平面，则为一长条形。骨管A，相对的两个侧面分别有一各圆点和两个圆点，共三个；骨管B，相对的两个侧面，一面三个圆点，一面两个，共五个；骨管C，相对的两个侧面，一面两个，一面一个，在另外一侧又加一个长圆点，共四个；骨管D，只有一个长条形的符号。从这些符号的排列方式，我们可以推测出“山顶洞人”对于数目的一些观念。“山顶洞人”最基本的数目是一，用一个圆点表示，两个圆点并列的是二，三个圆点并列的是三。同时可以看到，骨管对应两侧的符号带有累计的意义。一个加两个是三个，两个加三个是五个。长圆形可能是代表：“十”。
刻划记数的方法沿用了较长时期。到了原始社会末期，甚至到了奴隶社会和封建社会，都可以找到这方面的资料。例如在青海省乐都县柳湾原始社会末期的遗物中有带刻口的骨片四十件。在骨片的中部一侧或两侧刻有三角形小口，其中的三十五件上各有一个，三件上各有三个，两件上各有五个，被认为“大约是用作记事、记数或通讯联络用的”。这样解释有道理。刻口的排列方式和山顶洞人的骨管刻划非常相似：三个口的是在骨片的一侧有一个口，另一侧有两个口；五个口的是一侧有两个，另一侧有三个，这么多带刻口的骨片，说明它们不但用于记数，而且有可能用于简单的计算，由一到五十四之间的任何一个数都可以用这些骨片迅速地摆出，比如“四”用一个带三个口的和一个带一个口的骨片代表，“十五”用两个带五个口的、一个带三个口的和两个带一个口的代表等等。把这种骨片看作是一种原始的计算工具是并不过分的。
(3)数目字的出现
在结绳和刻划的基础上，进而形成数目字。在半坡出土的陶器上刻划的符号中就包含了数目字，计有“×”(五)、“∧”(六)、“+”(七)、“)(”(八)、“｜”(十)、“｜｜”(二十)。在陕西姜寨出土的陶器上也有数字符号，比半坡的多“——”(一)、“｜｜｜”(三十)，而少“)(”。这也是一种十进制系统，与前面的记数法完全相同。在距今四千年前的上海马桥遗址出土的陶片上有“X”、“｜”和“+”相当于五、一(或十)和七。年代与马桥差不多或稍晚的山东城子崖出土的陶片上刻有五个数目字即相当于七、十、十二、二十、三十，后三个数是合书。
事实说明，约四千年前我国的数字写法发生了一次重大变化，如“×”变成了“X”，“｜｜”变成了“∪”，十的倍数采用“合书”形式，对后世影响很大，很显然，这种改变有明显的道理，因为原来的写法容易发生混淆，如，“×”与“+”，“｜”、“｜｜”、“｜｜｜”与“一”、“-”、“≡≡”孤立来看就分不清了。通过长期实践，当人们发现这种混淆时，必然要想到改变写法。城子崖的数目字与甲骨文早期为近，和殷文化是一个系统。但是比甲骨文早数百年到一千年。
4.浅近的几何知识
几何的起源，在我国同样很早，它萌芽于旧石器时代，或许比数目观念的起源还要早。因为人们在从事生产或其他活动中，自然界一些物体的形状、大小和位置关系逐渐反映到人的头脑中来，人们通过不断地思考、抽象，便有了形的初步观念。
(1)石器工具的几何形状
原始人制作石器的目的是把它作为工具使用，制造时必然要考虑大小和形状。形状思想的产生和数目观念一样，要有个过程。以自然的形状为模特儿，经过反复观察、思考而形成某些简单形状的观念。如观察一些圆形水果可以产生球的观念，观察一些平展植物叶子和平静的水面容易形成平面的观念，观察一些直的树干和直的树枝容易形成圆柱或直线的观念，等等。从观察自然物产生的简单几何观念用来考虑石器的形状，再根据要制作的石器的功能确定采取什么形状和大小。用于砍削的石器要做得平一些，象石刀、石斧等属于这一类。它们的每一个面都是近似的平面。北京猿人使用的石器中有很多片状的，还有考古学上称为尖状器的石器，从几何形状来说，是一种近似的锥体。在山西省襄汾县丁村发现了一批几万年前原始人制造的球形工具。其中最大的重量在1500克以上，最小的在200克左右，可能是用于打猎的武器，可见早在几万年前，我们的祖先已经有了球的观念。考古工作者还发现时代较晚的许多棒状石器，如在黑龙江省巴尔虎左旗和吉林市郊头砬子等地新石器遗址发现的石棒状物，有扁的也有圆的，比较规则，说明柱体观念已有了进步。
从发掘的石器上还可了解到原始人的其他几何观念。例如1974年在云南省云县忙怀新石器时代遗址中发现的一百多件石器中，有一件圆饼状的石钻，在另一件石器的平面上有纵横交叉的方格纹，说明在五、六千年前人们已经有了圆、平行和垂直等几何观念。
从各种不同形状的石器中，反映出原始社会随着社会生产的发展，人们逐渐有了平面、球、圆、柱、锥、平行、垂直等许多初等几何观念，是几何在我国萌芽的一种表现。
(2)陶器形状特征
陶器在新石器时代占重要地位。石器的形状在陶器上有了发展，多数器物的水平截面基本都是圆形的，口和底也多为圆形。如河姆渡出土的陶器大都是这种形状，有的敛口釜的外沿呈现多边形。
半坡新石器遗址出土的陶器，其几何形状丰富多采。三足陶器，除了反映出“三”这个数目外，还说明当时人们发现三足具有稳定性的特点，这是一个很重要的发明。在半坡遗址出土的大批陶器中，最简单的是纺轮。光是这种遗物就有50个，还有两个用石头磨成的。它们中间都有从两面钻成的小圆孔，大多数两面是平面；个别的只有底面是平的。侧面的几何形状有的是圆柱，有的是圆台。与此相近的是一大批圆环。除了多数呈同心圆外，还有三个外圈带齿的特别形状，其中一个有六齿外突，一个有三十四个齿，一个有二十八个齿，齿距虽不是绝对均匀，但大体差不多，说明那时已经有了等份圆周的思想。还有一大批大小不等的陶球，都很规则，说明球的观念已完全形成。
在一些陶器上具有等份圆周的特点，如河北磁县下潘汪新石器时代遗址出土陶器的口沿不仅是规则的圆形，而且底周外缘有花牙子，牙距比较均匀，明显地反映出等份圆周思想。
在四川、湖北一带新石器时代遗址中先后发现不少空心陶球，制作精致，非常规则。由实心球到空心球在几何认识上是一个很大进步。这些空心陶球的特点是：都有镂孔，孔与孔之间用实线或虚线连接，球壁厚度均匀，外面的连线都具有规律性。比如在桂花树出土的陶球中有一个画着六条经线和一条纬线。经线基本上构成三个大圆，交于两个镂孔上，经纬线的交点上也是镂孔。还有一个以一个镂孔为中心画出“米”字型的双虚线。毛家山出土的也有一个与此相似，每个上面有六孔，三对，每对正好是一个直径的两个端点。大溪的陶球也与此类似，也是六个孔，只是外面的连线稍有差别。很显然，三个直径是互相垂直的。
