从该书的具体内容来看，“张寿王”“刘洪”“马显”“昭素”“周踪”“刘孝荣”“卫朴”“姚舜辅”“蒋友仁”“王孝通”“李德卿”“谭玉”“杨级”“耶律履”“贝琳”传都与李锐有关着作中的文字完全相同；“虞刘”“王处钠”论中亦可见到“李尚之锐曰”等字样，因而早就有人说：“(畴人传)正传成于阮氏，实乃元和李氏之笔”。
整理古算书
乾隆年间编纂《四库全书》，一大批久经埋没的珍贵古代学经典得以重见天日，戴震、阮元、张敦仁等人都曾致力于罗各种“算经十书”和宋元数学名着。然而这些古书历经辗传抄或翻刻，讹文夺字迭出，所用术语又往往与当时的不同，而校勘和注释的任务是相当艰巨的。
《九章算术》是中国古代数学的代表作，现在公认早期最的校注工作是1820年出版的李潢之《九章算术细草图说》。而早在此之前，李锐就已先后完成《勾股算术细草》和《方新术草》二书，书成后都曾送李潢过目，有李潢的信为证：
“读大着《方程新术草》一卷，正负相当各率，正从前传刻之误，阐古人未发之覆，愉快弥日。《股(算术)细草》，前岁(1807)古愚太守(即张敦仁)见。惠一本，条段各图，细入毫芒，真精思大力之作也。”对照李潢和李锐关于勾股定理及其应用的说明，不难发现二者所用“条段各图”几乎雷同，尤其是李潢书中关于刘微用“出入相补”法证明勾股定理的一段说明显然是完全照搬李锐的。李潢书中关于“方程新术”的解释，基本上也是因袭李锐的着作。
李锐也曾撰写《海岛算经细草》和《缉古算术衍》、二书均已失传。但张敦仁有《缉古算术细草》传世，李锐曾为之算校并作跋，有人“疑此细草即以《缉古算术衍》为兰本，而扩其意耳。”李锐又协助张敦仁完成《求一算术》和《开方补记》二书。
李锐还曾整理过《孙子算经》、《测圆海镜》、《益古演段》、《数书九章》、《四元玉鉴》、《杨辉算法》等。
疏解调日法和求一术
调日法是中国古代天文学家用分数来近似表达天文基本数据的一种数理方法，但是“元明以来畴人子弟，罔识古义，竞天知其说者。”李锐在读《宋书·律历志》的时候，注意到其中周琼转述“宋世何承天更以四十九分之二十六为强率，十七分之九为弱率，于强弱之际以求日法”的意义，他解释道：何氏以26/49和19/17为上、下限，将朔望月的奇零部分表示为(26×15＋9×1)/(49×15＋17×1)＝399/752，即选取强、弱二率适当的加权平均来近似表达观测值，这就是调日法的本质。上述分数中分子叫作朔余，分母叫作日法。
以此为契机，李锐对51家古代历法进行了考察，试图将每一历法所给出的日法和朔余二值表示成上述带权加成的形式，并以此推测它们是否应用调日法而来。这一工作使调日法这-古代分数近似法重新受到重视，被人称为“尤为抉尽间奥，皆必传之作，不但与秦氏书为羽翼也。”
但是从现代数学的观点来看，位于两个既约分数之间的任何分数都可以表示为它们二者的带权加成形式，因此仅以此来判定古代历法的数据系由调日法而来是欠严谨的。况且由于精度所限和运算之繁复，古代制历者也不大可能全用这种累乘累加的方法来确定其日法和朔余。李锐大约感到了后一困难，他又创造了一种“有日法求强弱(数)”的方法，其目的仍然是将朔余与日法的比值表示为26/49和9/17的带权加成。若以A表示日法，x和y分别表示强、弱二数，李锐提出的问题相当与求解二元一次不定方程：47x＋17y＝A，其术文提供了一种依赖于求一术的简捷算法，从而在中国数学史上第一次沟通了二元一次不定方程与同余式组这两类问题之间的联系。
研究代数方程论
李锐对代数方程论的兴趣发轫于对秦九韶、李冶等末元数学家着作的整理与研习，但其直接导因却是汪莱在《衡斋算学》第五册中对各类方程是否仅有一个正根的讨论。在为汪莱所作的跋文中，他将汪莱所得到的96条“知不知”归纳为三条判定准则，其中第一条相当于说系数序列有一次变号的方程只有一个正根，第三条相当于说系数序列有偶数次变号的方程不会只有一个正根；它们与16世纪意大利数学家卡当提出的两个命题十分相似。
在《开方说》中，李锐则给出了更一般的陈述：“凡上负、下正，可开一数”，“上负、中正、下负，可开二数”，“上负、次正、次负、下正，可开三数或一数”，“上负、次正、次负、次正、下负，可开四数或二数”；推而广之，他的意思相当于说：(实系数)数字方程所具有的正根个数等于其系数符号序列的变化数或者比此变化数少2(精确的陈述应为“少一个偶数”)。这一认识与法国数学家笛卡儿于1637年提出的判别方程正根个数的符号法则是不分伯仲的。
除了关于方程正根个数的判定法则之外，《开方说》中还有许多其他的重要成果。例如李锐首先引进了负根和重根的概念；他又将方程的非正数解称为“无数”，并声称“凡无数必两，无一无数者”，这里隐约含着虚根共扼出现的思想。李锐又在整数范围内讨论了二次方程和双二次方程无实根的判别条件，创造了先求出一根首位再由变形方程续求其余位数字和其余根的“代开法”，还对末元算书中所包含的各种方程变形法，如倍根变形、缩根变形、减根变形、负根变形，逐一进行了解释并加以完善。
所有这些内容，标志着李锐在方程论领域的工作突破了中国古典代数学的窠臼，成为清代数学史上一个引人注目的理论成果。
14.天下奇才数学家汪莱
汪莱(1768~1813)，是中国古代数学家，字孝婴，号衡斋，徽款县人。
早岁维艰
汪莱祖上以“诗书继世，孝友传家“为家训，其父汪昌早失亲，就此家道中衰。但汪昌博览群书，能诗善文，并曾中举人，撰有《静山堂诗文集》。1768年9月27日，汪莱就诞生在这样一个贫寒的读书人家庭，其出生地在安徽歙县的静山堂。
汪莱自幼秉承文学，6岁能诗，14岁入库。当时款县水、旱不断，家中生活更加艰辛。有一次汪莱奉父母命进城典当衣归途遭恶犬咬啮，在腿上留下了深深的伤疤。这种艰难的活环境，铸就了他日后坚毅、顽强和独立不羁的个性。
舌耕生涯
1788年，汪昌去世，汪莱也开始离家谋生。这一年他刚满20岁，首先来到苏州，在葑门外教馆。在此期间，汪莱结识了着名学者焦循，并开始研读《梅氏历算全书》和《数理精蕴》等数学着作。1792年，汪莱返归故里，在家中自制浑仪、简平仪等并用它们来观测天象，这一期间他完成了一部名为《参两算经》的最早的数学作品。1796~1798年，汪莱先后与自己的同乡好友巴树谷、江玉讨论数学，完成《弧三角形》和《勾股形》两部书稿。1789年，巴树谷将此两书合为一帙刊行，取名《衡斋算学》，这就是汪莱数学着作的最早刊本。同年汪莱乡试不第，巴树谷适有失子之伤，二人“移其情”于数学，“演得三干言”，这就是后来成了《衡斋算学》之三的《平圆形》。1799年，汪莱又应亲戚汪应埔之请“构难题数端往诸算学博士”，此即又一篇《弧三角形》，连同旧着《递兼数理》一道，后来成为《衡斋算学》之四。
1801年，汪莱由歙县来到扬州，在翰林秦恩复家教馆。秦家藏书颇丰，当时的扬州又是学士名流荟萃的中心，汪莱在此读到了宋元数学家秦九韶、李冶的着作，又得以与张敦仁、江藩、钱献之、李锐等相识。在对秦、李算书进行研究的基础上，汪莱写成了关于方程论的《衡斋算学》之五。这年秋天，汪莱离扬州赴六安，途中撰成《衡斋算学》之六。年底，汪延麟在扬州为他刊刻了六卷本的《衡斋算学》。
汪莱与乾嘉时代的另一个大数学家李锐初次会面于1800年。《衡斋算学》之五写成后，他曾分送数人征询意见；其中唯有李锐理解他的用心，赞为“穷幽极微，真算氏之最”李锐又作跋文一篇，后来也被收入《衡斋算学》之中。1804年，李锐应知府张敦仁之邀来扬州充任幕宾，当时焦循也在扬州，汪莱与他们二人交往频繁，时人称他们为“谈天三友”。在此期间，汪莱继续钻研方程论，撰成《衡斋算学》之七。至此，汪莱的主要数学着作都已完成。
1805年，名学者夏銮调任新安训导，到歙县后闻知汪莱贤名，立即前往造访。两人“一见称莫逆，与语终日”，夏蛮称汪莱为“天下奇才”，并令门生胡培恽子夏忻、夏曼从汪学习数学。1806年，汪莱曾应两江总督铁宝之请主持黄河新、旧入海口的高程测算，功成后依然返歙。1807年在歙县以优行第一的成绩考取八旗官学教习，被选调入京参与国史馆的修历工作。在北京期间，汪莱读到明安图《割圆密率捷法》遗稿，对自己当年关于割圆分弧的作品有所检讨。国史馆的工作完成后，汪莱于1811年被分配到安徽石埭县任县学教渝。
潦倒一生
汪莱志大才高，行为举止几近狂放，因此常与社会习俗冲突。他年轻时曾赋诗称“我亦乡间肆志人”，“兴来大叫鬼神惊”。乡试落第后自云“抱下而泣”。夏忻描绘他的外貌为“长身玉立，须眉秀发”，而他的气质为“跪磊不平之气，往往慷慨悲歌。”汪莱生前，学术界除焦循、李锐、夏蛮等少数人外，多数学者都不能理解他的成就。张敦仁曾讥评他的方程论研究“过苦”，后来又将自己的《开方补记》及搜访到手的明安图遗稿对他实行保密。曾与汪莱、李锐都有交游的江藩把他们二人的学术争论加以渲染，说他们因论方程不合“遂如冠仇，终身不相见”，进而批评汪莱“过矣”。稍晚的罗士琳批评他“矫枉过正，未免失于偏。”骆腾风根本没有理解他的原意，就攻击他的方程论是“黯黔之词以欺世”，并以“算学砭愚”为题指名道姓地批评他的着作。种种事实表明，汪莱是被当时以考据相标榜的乾嘉学圈视为异端的人物。
汪莱到石埭后，生活依然清寒。此时他已很少与外界发生联系，但遇县学中有热心数学的生员，则悉心教诲，不厌其烦。他临终前几个月夏銮曾来看望，见其“颜色憔悴，悄然不乐”，就劝他再度着书；汪莱答道：“今世考据家陈陈相因，不过抄袭前言耳，非所发古人所未发也”。1813年12月4日，贫病交扰的汪莱死于任上。汪莱死后，家中萧然，囊无余资，石埭学生百姓感其清廉，输资送其枢归故里，葬于歙县梅岭之将军打坐场。
汪莱生前，《衡斋算学》已出过三种刊本，但都不是足本。他去世后，夏蛮十分关心他的遗稿，特嘱长子夏忻与胡培翠加以搜集整理，后得《衡斋遗书》九卷，但长时间未能付样。1854年，夏蛮四子夏燮调任都阳(今江西波阳)知县，即从胡培翠后人处访得《衡斋遗书》稿本，连同《衡斋算学》一道，刊成《衡斋算学遗书》合刻本。《衡斋遗书》个也包括多种数学作品。“孝婴之学，深妙入微”。
15.数学史话李善兰
李善兰(公元1811年～1882年)，字壬叔，号秋纫，浙江海宁人，出生与一个书香门第，少年时代便喜欢数学。十岁那年，李善兰在读家塾时，从书架上“窃取”中国古代数学名着——《九章算术》“阅之”，仅靠书中的注解，竟将全书426个数字应用题全部解出，自此，李善兰对数学的兴趣更为浓酣。十五岁时，李善兰迷上了利玛窦、徐光启合译的《几何原本》，尽通其义，可惜徐、利二人没有译出后面更艰深的几卷，李善兰深以为憾，常幻想有“好事者或航海译归”，使自己得窥全豹。咸丰二年，他到了上海，结识了英国传教士伟烈亚力与艾约瑟，他们对李善兰的才能颇为欣赏，遂邀请他到墨海书院共译西方格致之书。墨海书院为英国传教士麦都斯所创立。此书馆原为传教而设，其后译书工作从宗教书刊扩张到西方科技领域，郭嵩焘出使英法前路经上海，曾到墨海书院参观，并在日记中写到：
次至墨海书院，有麦都思者，西洋传教人也，自号墨海老人。所居前为礼拜祠，后厅置书甚多，东西窗下各设一球，右为天球，左为地球。麦君着书甚勤，其向相与校定者，一为海盐李壬叔（即李善兰），李君淹博，习勾股之学。
李善兰到墨海书院之后，率先与伟烈亚力合作，翻译《几何原本》后九卷，以续成利玛窦、徐光启的未尽之业。《几何原本》一书，在西方各国亦多为全译，英国虽有一部从希腊文译为英文的完本，但因翻译和校勘粗疏，伪误层见叠出。“毫厘千里所失非轻”。连伟烈亚力自己也承认，“余愧翦陋，虽生长泰西，而此术未深，不敢妄为勘定”。只能就英译本照本宣科，口译为汉语，而谬误之处全凭李善兰从深广的数学知识加以匡正审定。经伟烈亚力和李善兰“四历寒暑”的努力，《几何原本》译本终成完璧，西方近代的符号代数学以及解析几何和微积分以《几何原本》全本为载体，第一次传入我国。
