毕达哥拉斯故事发生在公元前5世纪，那一日爱琴海上恶浪滔天，在风雨中飘摇的木船上，一伙道貌岸然的年轻学者把他们的同学希帕索斯身捆石头抛入了大海，制造了数学史上的一桩特大冤案，指挥这场凶案的正是这些年轻学者的老师，古希腊赫赫有名的大学问家毕达哥拉斯（公元前580年-公元前501年）。毕老夫子是当时希腊政治、科学和宗教的统治集团“友谊联盟”的领袖，该集团由300多位有社会地位、有学问的人士组成。当时是奴隶制社会，“友谊联盟”内部岂有友谊可言，一切以毕达哥拉斯的是非为是非，其他人必须服从，顺之者生，逆之者亡。在数学上，他们形成了影响深远的毕达哥拉斯学派，证明了勾股定理、三角形内角和为180°等重要数学定理，首先提出黄金分割和正多边形与正多面体等精彩概念，对古代的数学发展做出了巨大贡献。他们的旗帜上写着“万物皆数”（也翻译成“数统治着宇宙”），他们说的“数”指的只是自然数或正分数。
公元前470年，毕达哥拉斯的学生希帕索斯请教老师如下的问题：
边长为1的正方形，对角线的长是多少？
事实上，按老师证明的勾股定理，对角线的长l应满足12+12=l2，即l应该是这样的一个自然数或正分数，它的平方等于2。
但是，12=1，22=4，32=9，…，所以l不是自然数。设l=pq，pq是既约正分数，则应有
l2=p2q2=2，p2=2q2（1）
由（1）知p是偶数，令p=2k，k是自然数，则
4k2=2q2，2k2=q2（2）
由（2）知q是偶数，从而p与q有公因数2，与pq是既约分数相违。
正是上述这一问题和导致的矛盾激怒了权威毕达哥拉斯，更要命的是动摇了当时被尊为神圣真理的信念——数只有自然数和正有理数两种。希帕索斯提出对角线问题的挑战性和叛逆性，使得友谊联盟必置希帕索斯于死地，以捍卫他们关于数的既定信念。
正方形的对角线不能没有长度，这是任何人都承认的事实，正是这条直观具体的对角线的客观存在与毕达哥拉斯时代的数学观念之间发生了上述不可调和的矛盾和冲突。杀死一个希帕索斯问题仍然未得到解决，当时人们的思想水平受历史背景和科学水平的局限，几乎人人信奉毕达哥拉斯学派的关于宇宙万物皆自然数或分数的教条，这好似当初人们都相信托勒密太阳绕地球转的地心学说一样，除了无知和对名人权威的盲目崇拜之外，也与大家不善于抽象思维和严格地逻辑推理，一切都与粗糙的直观感觉有关。
数学史上称勾股定理在“万物皆数”（仅承认自然数和分数是数）的信仰统治下算不出正方形对角线的长这一数学困惑为第一次数学危机。
后来数学家把毕达哥拉斯学派所称的数为有理数，这在一定程度上照顾了这位在数学史上做出大贡献的前辈的面子，也迎合了一般人的心理和直觉。上面已严格证明边长为1的正方形之对角线的长不是有理数。称不是有理数的实数为无理数，希帕索斯是发现无理数的第一人。从“友谊联盟”的观点看，无理数是逻辑推理生出的一只怪蛋！再后来许多数学家对无理数的概念和理论做了大量的工作，给出了无理数的准确定义和性质，这件事一直到19世纪才基本完工，代表人物有戴德金、罗素、康托尔和维尔斯特拉斯等人。
由于无理数的引入，排除了第一次数学危机，或者我们应当庆幸第一次数学危机来得早，使无理数这个数学中的主角之一早日登上了数学的舞台。我们应当为希帕索斯喊冤叫屈，佩服其造反精神。相传精明的希帕索斯身高1.41米，体重恰为141磅（约64千克），他这些生理指标暗示他是2的化身，这些传说的真伪已无从考查，人们姑妄谈之，我们姑妄听之，但有一点丝毫不可姑妄，那就是科学精神绝非信仰，科学是批判的、疑问的、创造的、严谨的和求实的，科学工作中不容忍迷信和崇拜。
第二次数学危机
牛顿与莱布尼茨初创微积分时，有些基本概念和细节没来得及加以严格地定义和论证，微积分本来就是讨论无穷过程和极限过程的科学，与人们有史以来习惯了的初等数学有本质区别。从现代高等数学的教学经验来看，即使高等数学已经经过两三百年的改造与完备化，大学一年级的同学接受微积分的思想和概念仍然十分困难，对其中很多概念，例如导数概念，仍然存有类似拒绝和排斥的心理，更何况牛顿与莱布尼茨是破天荒第一次向世人表述微积分！
贝克莱是爱尔兰科克郡的地方主教（1734年）、哲学家。他针对牛顿微积分中的一些不严格之处，发表了一篇叫做《分析学家，或致一位不信神的数学家》的文章，“分析学家”的主要矛头对着牛顿，“不信神的数学家”则攻击哈雷和莱布尼茨。当然，贝克莱的非难也得到了不少人的支持，其中不乏有名的数学家，例如法国著名数学家罗尔和荷兰数学家纽文斯。罗尔就说过“微积分是巧妙的谬论的汇集”，但是罗尔本人在微积分上也做出了许多工作，例如作为微分学基本定理的罗尔定理。贝克莱对牛顿的许多批评还是切中要害的。
下面引用牛顿的手稿《流数简论》中的话，看看当初牛顿在他的微积分中是如何使用“瞬”这个概念而引起贝克莱们的诘难的。
牛顿写道：
设有二物体A与B同时分别从a、b两点以速度p与q移动，所描画的线段为x与y，若A、B作非匀速运动，A从a点移动到c，速度为p的A在某一瞬描画出无限小线段cd=p×o，B在相同时刻从b点移动至g点，在同一瞬内将描画线段gh=q×o。
现设x、y之间的关系方程为
x3-abx+a3-dyy=0（1）
我们可用x+po和y+qo分别代替x与y代入（1）得
x3+3poxx+3ppoox+p3o3-dyy-2dqoy
-dqqoo-abx-abpo+a3=0（2）
得
3poxx+3ppoox+p3o3-2dqoy-dqqoo-abpo=0（3）
其中含o的项为无限小，略之即得
3pxx-abp-2dqy=0（4）
从现代微积分的观点来审视，（4）的结论是完全正确的，如果把p与q按牛顿当年的记号，分别写成x·与y·，则（4）变成
3x2x·-abx·-2dyy·=0
再引用当年莱布尼茨的记号x·=dxdt，y·=dydt，则得
3x2dxdt-abdxdt-2dydydt=0，
为了不混淆，把d写改写成c，则得
3x2dx-abdx-2cydy=0
（3x2-ab）dx-2cydy=0
dydx=3x2-ab2cy（5）
（5）是现代常微分方程论中的一个一阶可分离变量的方程。可见微分方程，即含未知函数y（x）与其导数（牛顿当时称为流数）的方程是牛顿创立微积分时同时产生的，微积分与微分方程是孪生姊妹，微分方程这一数学中心学科的首创权亦应归于牛顿名下。
下面是贝克莱在《分析学家》一书中对牛顿的《流数简论》的批评：
“这种方法究竟是否清楚，是否没有矛盾且可以加以证明，或者相反，只是一种含糊的、令人反感的和靠不住的方法？我将以最公正的方式来提出这样的质疑，以便让你们，让每一位正直的读者做出自己的判断。”
贝克莱的这些质问的确事出有因，上面牛顿对瞬o没有数学定义，一会儿让它作除数，可见o不是零，一会儿把它忽略掉，又认为o为零，这里边似有需要澄清的矛盾。
由于运用牛顿—莱布尼茨的微积分方法总能得出正确结论，所以牛-莱坚信微积分是科学，必须反击贝克莱的攻击，发动微积分保卫战。牛顿、莱布尼茨等人纷纷著文还击贝克莱，无奈由于不能建立严密牢靠的基础，对“瞬”、“流数”等关键词给不出令人不可置疑的定义，所以未能及时驳倒贝克莱，这就是震惊数学界的第二次数学危机。
当然，真理是在牛顿们手里，挑战者贝克莱与第一次数学危机的挑战者希帕索斯不一样，贝氏是出于保守和宗教的偏见行事的，而不是为数学真理而争而论，希帕索斯则是数学上敢于与保守的学说决裂，锐意进取，为创立新的思想体系死不悔改的革新派，是企图跳出传统框架的“异教徒”。
经过柯西、欧拉、波尔察诺和外尔斯特拉斯等众多数学家的努力建设，修筑了微积分的坚实的基础，第二次数学危机才算彻底克服。
微积分的思想博大精深，例如无穷小和微商等，不仅牛顿、莱布尼茨时代，就是今日，也还是个值得细究的问题，它们究竟是实在的东西，还是一种观念，仍然可以讨论；事实上，一种数学概念，可能只是一种解决问题的手段或思维方法，这未必是唯心主义，数学当中莫非不能发明新技术或推理计算的艺术吗？
第三次数学危机
1919年，科学家罗素提出如下的理发师悖论：
村子里仅一名理发师，且村子里的男人都需要刮胡子，理发约定：“给且只给自己不给自己刮胡子的人刮胡子。”
有好事者问理发师：“理发师先生，你自己的胡子谁来刮？”
理发无言以对。因为如果理发师说“我自己的胡子自己刮”，那么根据他与大家的约定，理发师不能给自己刮胡子，即这时他不该给自己刮胡子；如果理发师说“我的胡子不自己刮”，那么根据他与大家的约定，理发师应给自己刮胡子。可见理发师怎么回答也不行！
上述理发悖论可以稍微数学化地来表述，设集合
B={自己刮胡子的人}
若理发师B，即理发师是自己刮胡子的人，但由“约定”，他不该给理发师刮胡子，即理发师B，矛盾！若理发师B，即理发师不自己刮胡子，由“约定”，他应给自己刮胡子，即理发师B，矛盾！
罗素进一步把上述理发师悖论变成下面的一个数学悖论，称为罗素悖论：
“设B={集合A｜AA}，问BB还是BB？”
显然B≠O；若BB，由B的定义，B是B中的一元素时，B应有性质BB，矛盾！于是这里发生了无论如何摆脱不了矛盾的荒唐局面！
在罗素表述悖论时，字字句句都未违反康托尔朴素集合论的观点，为什么出现了自相矛盾的事呢？要害是允许写BB，即谈某些集合自己是自己的元素，亦即允许我们前面提出的“皮囊悖论”的存在；为了排除罗素悖论，保卫已建成的数学大厦，数学家策墨罗、弗兰克尔等抛出一套所谓公理集合公理系统，按他们的公理规定，禁谈BB，从而解除了第三次数学危机。
第三次数学危机出现的前夕，数学界一派升平乐观气氛，1900年，庞加莱在第二次国际数学家大会上自信而兴奋地宣称：“我们可以说，现在的数学已达到了绝对的严格。”过不了几年，罗素悖论犹如晴天霹雳，使数学界一片哗然，希尔伯特惊呼：“在数学这个号称可靠性与真理性的模范里，每个人所学、所教、所用的概念及结构和推理方法，竟导出不合理结果；如果数学思考也失灵的话，那么我们到哪里去找可靠性和真理性呢？”
第一次、第二次和第三次数学危机的出现和排除使数学家们对数学的认识更为清醒了，人们有了思想准备，也许还有第四次、第五次数学危机乃至第n次（n≥3）；但可以相信，人类有能力排除任何数学危机，而且，每次数学危机爆发之日，就是新的数学概念、新的数学理论孕育之时，随着危机的排除，数学则会得到划时代的进展与突破。
