数学之源
数学源起于原始社会人们的结绳记事，那时的人们为适应生产和生活的需要，逐渐产生了数量的概念。他们学会了每捕获一头野兽时，用在绳子上打结的方法来记事、记数：一个绳结就代表一头野兽，两个绳结就代表两头野兽，同时，绳结的大小还表示野兽的大小。于是，数量的概念就在这样的过程中逐渐发展起来。
迄今约五六千年以前，伟大的古埃及文明在非洲的尼罗河流域诞生。古埃及人较早地学会了农业生产。尼罗河每年7月定期泛滥，届时会淹没大片农田，11月洪水逐渐消退。古埃及人通过长期观察，发现当天狼星和太阳同时出现的时候，正是洪水将至的时候。他们还发现：这种现象大约每隔365天发生一次。这样，古埃及人就选择在洪水泛滥之后播种，在明年6月洪水来临之前收割，以获得好收成。另一方面，古埃及的农业制度，是把同样大小的正方形土地分配给每一个人，租种的人每年把他的收获提取一部分交给国王。如果所租种土地被洪水淹没，他可以向国王报告，国王就派人前来调查并测量损失的那一部分，这样，他交的租就会相应地减少。这种对于土地的测量使几何学应运而生。实际上，几何学的原意就是“土地测量”。
因此，数学正是从“打结记数”和“土地测量”开始的。距今两千多年前生活在欧洲东南部的古希腊人，继承和发展了这些数学知识，并将数学发展成为一门系统的理论科学。古希腊文明被毁灭后，阿拉伯人保存和发展了古希腊的文化，又传回欧洲，这为数学的重新繁荣和近代数学的创立奠定了基础。
无理数的发现
毕达哥拉斯及其学派虽然对数学的发展作出过重大贡献，但他们的封闭与保守却束缚了他们事业的发展。比如他们认为：世界上的一切数皆可用两个整数之比来表示。但是毕达哥拉斯死后，其学派成员希伯斯却发现正方形对角线与其边长是不可比的，即正方形对角线长无法用两个整数之比来表示。
这一发现对该学派是一个致命打击，也使学派其他成员惶恐不安，他们妄冈用严守秘密的办法掩盖这个可怕的事实。于是，他们把发现者希伯斯推入大海。然而，此后他们并没有找出这样两个整数：它们之比可用来表示正方形的对角线。实际上，存在不可用两个整数比来表示的数，即无理数。
无理数的名称最先被公元6世纪罗马人卡西奥多拉斯使用。事实上，“无理”二字是希腊文字“不可比”的转译失误所致，也就是说无理数其实应称为“不可比数”。
古希腊的数学
古希腊人从波斯人那里学到了经验，进行了精细的思考和严密的推理，逐渐产生了现代意义上的数学科学。因此从严格意义上讲数学是从古希腊人那里产生的。
古希腊人泰勒斯发现并证明了如下几个命题：所有直角都相等；等腰三角形的两底角相等；圆可以被任一直径所平分。他还曾利用太阳影子计算出金字塔的高度，这其实是利用了相似三角形原理。
泰勒斯之后，以毕达哥拉斯为首的一批学者使数学有了进一步的发展，其最大的成就之一是发现了“勾股定理”（在西方被称为“毕达哥拉斯定理”）。之后，他们正是运用这一定理发现了无理数，从而引发了第一次数学危机，但可惜的是，毕达哥拉斯学派的人否认无理数的存在。
欧几里得在前人基础上取其精华，写成了《几何原本》这本在数学史上享有盛名的著作。我们今天所学习的大部分平面几何知识都源于此书。
欧几里得之后的阿基米德更是开创了古希腊数学发展的新时期，人们称之为亚历山大时期。阿基米德在数学方面的工作，远远超越了他所在的时代，因此后人称他为“数学之神”。他设计过一种大数体系，即使整个宇宙都填满了细小沙粒，也可以毫不费力地把沙粒的数数出来。他还发现了求面积和体积的公式，并发明了以他的名字命名的螺线。
在阿基米德之后，古希腊数学侧重于应用：希帕恰斯、梅尼劳斯、托勒密创立了三角学；尼可马修斯写出了第一本专门的数论典籍——《算术入门》；丢番图则系统地研究了各种方程。这样，算术、数论、代数、几何、三角这几个初等数学的分支全部建立起来了，数学在古希腊诞生。
古阿拉伯人对数学的贡献
提及0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字，我们毫不陌生，它们是古阿拉伯人对数学的贡献，故后人称其为阿拉伯数字。其实，古阿拉伯人对数学的更大贡献，是在数学发展的过程中，吸收、保存了希腊和印度的数学知识，并将它传给欧洲，起到一个“桥梁”的作用。
阿拉伯数字8
在算术上，古阿拉伯人采用和改进了印度的数字记号和进位记法，也采用了印度的无理数运算，但放弃了负数的运算。除代数学的名称的发明外，阿拉伯人还解出一些一次、二次方程，甚至若干次方程，并用几何图形对其解法进行解释。而应用圆锥曲线相交来解三次方程，则是他们的又一大进步。
阿拉伯人在数学研究中的更大贡献是获得了较准确的圆周率：3.1415926535897932。此外，他们在三角运算中引进了正切和余切，给出了平面三角形的正弦定理的证明。他们还首先提出了平面二三角和球面三角的比较完整的珲论。
数学在中国
作为世界文明古国之一的中国，各种科学在当时均领先于世界其他国家，其数学在人类文化发展之初也是处于领先地位的。早在五六千年前，中国就有了数学符号，到三千多年前的商朝，刻在甲骨或陶器上的数字已十分常见。当时，自然数的计数已经采用了十进位制。
当时人们在运算中用的是算筹，即用一些由木、竹等制作的匀称的小棍进行计算。算筹有规则地纵横摆放，就可以表示任何一个自然数。据资料显示：中国算筹法至少在公元前8—前5世纪的春秋时代就已相当完备。而印度正式使用“0”这一数字是在公元876年以后，比中国要晚一千多年。
毕达哥拉斯
毕达哥拉斯为古希腊著名哲学家、数学家、天文学家，是毕达哥拉斯教团创始人。公元前532年左右，他为了逃避撒摩斯的残暴统治而移居意大利南部，并在克洛同（今克洛托那）创办了—座伦理—政治学园。毕达哥拉斯的贡献在于：他提出了在客观世界中和在音乐中有数学的功能作用这一学说，并阐明了单弦的乐音和弦长的关系。归到他名下的其他数学原则和发现有：正方形的边和对角线不可通约，直角三角形的毕达哥拉斯定理等，它们可能是当数学概念发展到较高阶段时由毕达哥拉斯学派提出的。
欧几里得
欧几里得（约前330一前275年）是古希腊著名数学家。约活动于公元前300年前后，其所著的《几何原本》（简称《原本》）闻名于世。他早年大概就学于雅典，学习柏拉图学说。公元前300年左右，在托勒密的邀请下，欧几里得长期在他那里工作。欧几里得是一位温良敦厚的教育家。“在几何里，没有专为国王铺设的大道。”这句话后来成为传诵千古的学习箴言。欧几里得将公元前7世纪以后希腊几何积累起来的丰富成果整理在严密的逻辑系统之中，使几何学成为一门独立的、演绎的科学，后人称之为欧几里得几何学，除了《几何原本》之外，他还有不少著作，可惜大量已失传。《已知数》是除《原本》之外唯一保存下来的他的希腊文的纯粹几何著作，其体例和《原本》前6卷相近，包括94个命题。《图形的分割》现存拉丁文本与阿拉伯文本，论述用直线将已知图形分为相等的部分或成比例的部分。《光学》是早期几何光学著作之一。
《原本》共13卷。除第五卷，第七、八、九、十卷是用几何方法讲述比例和理论之外，其他各卷都是论述几何问题的。这部书作为传播几何知识的教科书达2000年之久，现代初等几何学（即平面几何和立体几何）的内容基本包括在此书内。《原本》之所以具有如此价值，不仅因为欧几里得非常详尽地搜集了当时所知道的一切几何资料，更重要的是他把那些分散的知识用逻辑推理的方法编排成一个有系统的、演绎的几何学体系。他是历史上第一个创造了一个比较完整的数学理论的人。
祖冲之
祖冲之是我国南北朝时期一位杰出的科学家，出生于公元429年，他自幼酷爱数学，并且爱动脑筋提问题。他一生中有许多卓越的成就，其中之一就是对圆周率的计算。
祖冲之
圆周率就是圆周的长度和直径长度的比值，是一个无限的不循环小数，也就是说它是个没完没了的小数，各位数字的变化又没有规律。通常在计算的时候，我们把圆周率定为3.1416，这个数字实际上比圆周率稍微大一点。祖冲之在1500年以前就确定：圆周率在3.1415926和3.1415927之间，比3.1416精确得多。在他之后的1000年，阿拉伯数学家才打破了这个精确程度的纪录。
计算圆周率可不是一件容易的事。祖冲之从圆的内接正六边形开始，先算内接正12边形的边长，再算内接正24边形的边长，再算内接正48边形的边长……边数一倍又一倍地增加，一共要翻11番，直到算出了内接正12288边形的边长，才能得到这样精密的圆周率。
在祖冲之以前，已经有人提出圆周率跟22／7相近似。祖冲之把22／7叫做“约率”，提出了另一个圆周率的近似值355／113，作为“密率”，因为它更加精密，跟圆周率更加接近。过了1000年，德国人奥托和荷兰人安托尼兹才先后提出355／113这个圆周率的近似值，欧洲人当时不知道祖冲之已经提出过“密率”，在他们写的数学史上，把它叫做“安托尼兹率”。日本数学家主张把355／113称为“祖率”，这是十分公允的。
